专题04 （特殊）平行四边形的判定与性质（九大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题04 （特殊）平行四边形的判定与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、根据平行四边形的性质与判定求解 3 类型二、根据矩形的性质与判定求解 4 类型三、根据菱形的性质与判定求解 5 类型四、根据正方形的性质与判定求解 7 类型五、（特殊）平行四边形的性质与判定的多结论问题 9 类型六、根据平行四边形的性质与判定证明 10 类型七、根据矩形的性质与判定证明 12 类型八、根据菱形的性质与判定证明 14 类型九、根据正方形的性质与判定证明 16 压轴能力测评 18 知识点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质 （1）边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图： ； （2）角的性质：两组对角分别相等，如图： （3）对角线的性质：对角线互相平分。如图： 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点2：矩形的性质与判定 1.矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。 2.直角三角形斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形 知识点3：菱形的性质与判定 1.矩形的性质： （1）边：菱形的四条边都相等． （2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线） （3）四条边相等的四边形是菱形（边） 知识点4：正方形的性质与判定 1.正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 2.正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 类型一、根据平行四边形的性质与判定求解 【例1】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【例2】如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【变式1-1】如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【变式1-2】如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【变式1-3】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 类型二、根据矩形的性质与判定求解 【例3】如图所示，四边形是张大爷的一块小菜地，已知，，米，米．请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积． 【例4】如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【变式2-2】如图1，在中，，点在边上，过点作交于点，作交于点． （1）求证：． （2）如图2，，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-3】如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 类型三、根据菱形的性质与判定求解 【例5】已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【例6】如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【变式3-1】如图，在 中， ，，是 沿方向平移得到的．连接，和交于点．是线段上一  动点（不与点 重合），连接 并延长交线段于点，问：四边形的面积是否随点的运动而发生变化?若变化，请说明理由：若无变化，求出四边形的面积．    【变式3-2】如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求． 【变式3-3】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 类型四、根据正方形的性质与判定求解 【例7】如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【例8】如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C．2 D．1 【变式4-1】如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即、、、，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场的多少倍？ 【变式4-2】如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．    【变式4-3】如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的长是 ． 类型五、（特殊）平行四边形的性质与判定的多结论问题 【例9】如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例10】如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点，三角尺的两条直角边分别与、交于点、．下列结论：①；②；③；④四边形的面积是一个定值．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点；以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，和．下列结论，，，．正确的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】如图，四边形是菱形，过点A作的平行线交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型六、根据平行四边形的性质与判定证明 【例11】如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【例12】如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【变式6-1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． (1)若，，求的度数． (2)试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 【变式6-2】如图①，E、F分别为线段上的两个动点，且于E，于F，若，，交于点M． (1)求证：， (2)当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 【变式6-3】如图1，在和中，，，． (1)求证：； (2)如图2，是的中线，的延长线交于N，求证：． 类型七、根据矩形的性质与判定证明 【例13】如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【例14】在平行四边形中，过点D作于点E． (1)请你只用无刻度的直尺在边上画出点F，使得连接后四边形是矩形．（要求：保留画图痕迹，并证明你画图的正确性） (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 【变式7-1】如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，． (1)求证：； (2)若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由． 【变式7-2】如图，为中的一条射线，点在边上，于，交于点，交于点，于点，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式7-3】如图，矩形的对角线，相交于点是上一点，平分交于点 (1)求证： (2)求证： 类型八、根据菱形的性质与判定证明 【例15】如图，是的平分线，“”，“”，交于点． (1)是的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”“ ”“ ”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个证明． 【例16】如图，在菱形中，交延长线于点E，点F为点B关于的对称点，连接，分别延长，至点G，H，使．连接，交于点P．    (1)依题意补全图1： (2)猜想和的数量关系并证明． 【变式8-1】如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．过点A作射线，使得，过点E作交射线于点F． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【变式8-2】如图，已知，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：． 【变式8-3】在中，，点为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接CF． (1)如图1，当点在线段上时，求证； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时，求证：． 类型九、根据正方形的性质与判定证明 【例17】如图，点E是正方形中边上一点，且． (1)尺规作图：①以与为邻边作正方形；②作，垂足为H（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证： (3)连接，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 【例18】已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【变式9-1】如图，将正方形的四边各延长一倍．即．连接M，N，P，Q四点，试判断的形状，并予以证明．    【变式9-2】已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【变式9-3】在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： (1)当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，如图③，求证：． 1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点P，点P为的中点．若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 3．如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知矩形中，，．的平分线交于点，交于点，则的长为 ． 6．如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 7．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 8．如图1，，P为的中点，点E为射线上的任意一点（不与点A重合），连接，并使的延长线交射线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接、，是否有，如不是，请说明理由，如果是，请证明． 9．图1，四边形，若，，则把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    (1)我们知道：正方形四边相等，四个内角都是，显然正方形一定是筝形．如图2，正方形中，，试判断四边形是否为筝形，并说明理由． (2)如图3，筝形中，，，，，试说明线段、与之间有什么数量关系，写出理由． 10．四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 11．在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 12．如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． (1)求证：； (2)点落在何位置，并说明理由． 3 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 （特殊）平行四边形的判定与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、根据平行四边形的性质与判定求解 3 类型二、根据矩形的性质与判定求解 7 类型三、根据菱形的性质与判定求解 11 类型四、根据正方形的性质与判定求解 16 类型五、（特殊）平行四边形的性质与判定的多结论问题 21 类型六、根据平行四边形的性质与判定证明 26 类型七、根据矩形的性质与判定证明 31 类型八、根据菱形的性质与判定证明 38 类型九、根据正方形的性质与判定证明 43 压轴能力测评 49 知识点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质 （1）边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图： ； （2）角的性质：两组对角分别相等，如图： （3）对角线的性质：对角线互相平分。如图： 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点2：矩形的性质与判定 1.矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。 2.直角三角形斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形 知识点3：菱形的性质与判定 1.矩形的性质： （1）边：菱形的四条边都相等． （2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线） （3）四条边相等的四边形是菱形（边） 知识点4：正方形的性质与判定 1.正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 2.正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 类型一、根据平行四边形的性质与判定求解 【例1】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式1-1】如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【变式1-2】如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 类型二、根据矩形的性质与判定求解 【例3】如图所示，四边形是张大爷的一块小菜地，已知，，米，米．请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积． 【答案】这个四边形菜地的周长是米，面积是平方米． 【详解】解：过点作交于点，如下图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中利用勾股定理，得（米）， 则这个四边形菜地的周长为： （米）， 这个四边形菜地的面积为 （平方米）， 答：这个四边形菜地的周长是米，面积是平方米． 【例4】如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1】如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 【变式2-2】如图1，在中，，点在边上，过点作交于点，作交于点． （1）求证：． （2）如图2，，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形，且， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴BF=DF，DE=EC， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式2-3】如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）36° 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠AOB：∠ODC＝4：3， ∴∠AOB：∠ABO＝4：3， ∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3， ∴∠ABO＝54°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°−54°＝36°． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 类型三、根据菱形的性质与判定求解 【例5】已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【例6】如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【变式3-1】如图，在 中， ，，是 沿方向平移得到的．连接，和交于点．是线段上一  动点（不与点 重合），连接 并延长交线段于点，问：四边形的面积是否随点的运动而发生变化?若变化，请说明理由：若无变化，求出四边形的面积．    【答案】四边形的面积不会随点的运动而发生变化，面积为． 【详解】解：∵是由沿平移得到的， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积不会随点的运动而发生变化，面积为． 【变式3-2】如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 又点E在边上，点F在边上，且， ， ∴四边形是平行四边形，， 由折叠可知，， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，，设， ， 由勾股定理可知，， ， 解得：，即， 四边形为菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【变式3-3】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 【答案】/59度 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵， ， ∴， ， 故答案为：． 类型四、根据正方形的性质与判定求解 【例7】如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【例8】如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】如图，过点A作于，过点作于，交的延长线于，则， ， ∵， ， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 矩形是正方形， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形三角形是解决问题的关键． 【变式4-1】如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即、、、，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场的多少倍？ 【答案】新建的四边形为正方形．新广场的面积是原广场面积的5倍． 【详解】解：新建的四边形为正方形．新广场的面积是原广场面积的5倍． 理由：四边形为正方形， ，， ． ，，，， ， ， ． 在和中 ， ， ，，． ， ， 即， 同理可得，， ， ， 四边形为菱形． ， 菱形为正方形． 设原来正方形边长为，则新建的正方形边长为：． 新建的面积是原广场面积的5倍． 【变式4-2】如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．    【答案】 180 5 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式4-3】如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的长是 ． 【答案】7 【详解】过点A作，交的延长线于点F， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 类型五、（特殊）平行四边形的性质与判定的多结论问题 【例9】如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴和都是直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，即，结论①正确； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，结论②和④都正确； 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的个数有4个， 故选：D． 【例10】如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点，三角尺的两条直角边分别与、交于点、．下列结论：①；②；③；④四边形的面积是一个定值．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①在四边形中，， 又，， ， 故结论①正确； ②过点作于，于，如图所示： 则， ，， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 故结论②正确； ③， 设， ，，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， 设， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故结论③正确； ④， ， ， 点是上的任意一点， 的大小随点位置的变化而变化， 正方形的面积随点位置的变化而变化， 四边形的面积随点位置的变化而变化，不是一个定值， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 【变式5-1】如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点；以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，和．下列结论，，，．正确的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由作图可知，平分， 而 四边形为平行四边形， ，故①正确； 四边形为菱形， ，②正确； ，故③正确； 而，故④错误． 故选D． 【变式5-2】如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：连接，且令，相交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴只要满足，那么四边形就是平行四边形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故②错误； 只要，则四边形是矩形， ∵， ∴当时，不存在矩形，故③错误； 当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确， 故选：B． 【变式5-3】如图，四边形是菱形，过点A作的平行线交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 无法证明，故④错误； 故选C． 类型六、根据平行四边形的性质与判定证明 【例11】如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【详解】（1）证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【例12】如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式6-1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． (1)若，，求的度数． (2)试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】(1)65° (2)，．理由见解析 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ 四边形是平行四边形， ∴； （2），． 理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． ∴四边形 是平行四边形． ∴，． 【变式6-2】如图①，E、F分别为线段上的两个动点，且于E，于F，若，，交于点M． (1)求证：， (2)当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)成立，证明见详解 【详解】（1）解：连接． ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ； （2）解：成立． 连接． ∵于于， ， 在和中， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 【变式6-3】如图1，在和中，，，． (1)求证：； (2)如图2，是的中线，的延长线交于N，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：过点B作于点M，过点C作，交的延长线于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴； （2）证明：延长，截取，连接，，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 类型七、根据矩形的性质与判定证明 【例13】如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：线段，，之间的数量关系是：． 证明：连接，，． 在中，是的中点， ， ，， ， ，， ∵， ， ，， ， ， ， ． 【例14】在平行四边形中，过点D作于点E． (1)请你只用无刻度的直尺在边上画出点F，使得连接后四边形是矩形．（要求：保留画图痕迹，并证明你画图的正确性） (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：先连接，它们相交于点，再连接并延长交于点，连接，则四边形即为所求； 证明：∵四边形为平行四边形， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【变式7-1】如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，． (1)求证：； (2)若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4秒，见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：设点运动秒，四边形是菱形， 四边形是菱形 ， ， ， ，即， ，即， 点运动秒，四边形是菱形． 【变式7-2】如图，为中的一条射线，点在边上，于，交于点，交于点，于点，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【变式7-3】如图，矩形的对角线，相交于点是上一点，平分交于点 (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质的综合应用，全等三角形的判定，熟练的求解角的大小是解此题的关键． 类型八、根据菱形的性质与判定证明 【例15】如图，是的平分线，“”，“”，交于点． (1)是的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”“ ”“ ”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个证明． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)所得说法正确，证明见解析 【详解】（1）解：是的角平分线， 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴是的角平分线． （2）解：正确． ①如果和是的平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似； ②如果和交换， 理由是：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，正确． ③如果和交换，正确理由与②同理． 所得说法正确． 【例16】如图，在菱形中，交延长线于点E，点F为点B关于的对称点，连接，分别延长，至点G，H，使．连接，交于点P．    (1)依题意补全图1： (2)猜想和的数量关系并证明． 【答案】(1)画图见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：∵四边形是菱形， ，，， ∴， ∵点为点关于的对称点， 垂直平分. . 又， ， ，， ， ， ． 【变式8-1】如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．过点A作射线，使得，过点E作交射线于点F． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②证明见解析； (2)，证明见解析． 【详解】（1）解：补图如下： ① ②证明：∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长到点M，使，连接，， ∵E是中点， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． 【变式8-2】如图，已知，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：， ， ， ， 平行四边形是菱形， ． 【变式8-3】在中，，点为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接CF． (1)如图1，当点在线段上时，求证； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． （2）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理，得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 类型九、根据正方形的性质与判定证明 【例17】如图，点E是正方形中边上一点，且． (1)尺规作图：①以与为邻边作正方形；②作，垂足为H（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证： (3)连接，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形是平行四边形，证明见解析 【详解】（1）解：如图，正方形为所求作的正方形，为所求作的垂线． 根据作图可知：，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接，如图所示： 在正方形和正方形中， ，，， ∴， 即， ∴， ∴． （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴G、 、C 、H在同一直线上， ∵， 在中， ∴， 由（2）可知：， ∴，                    ∵，， ∴，                 ∴，                         ∵， ∴，                            ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【例18】已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式9-1】如图，将正方形的四边各延长一倍．即．连接M，N，P，Q四点，试判断的形状，并予以证明．    【答案】四边形为正方形，证明见解析 【详解】解：四边形为正方形． 理由：四边形为正方形， ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ， 即， 同理可得，， ， ， 四边形为菱形． ， 菱形为正方形．    【变式9-2】已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线与相交于点O，   ，，， ， ，   ， ，   ，   四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形 ； ，，，，   ，，   ，垂足为， ，，   ， ，   在和， ， ， ． 【变式9-3】在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： (1)当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，如图③，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ①解：∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴（SAS）， ∴； ②解：∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴（AAS）， ∴， 由①得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∴根据（1）中的解法同理可得：，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点P，点P为的中点．若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 3．如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵的周长是 ∴ ∵的周长比的周长多 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴． 故选：C． 4．菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在菱形中，， ∵点为的中点， ∴ ∴菱形的边长为1，即， ∵点在的延长线上，， ∴在菱形中，， 连接，交于点， ∴， ∴， ， ∴在菱形中， ， ∵， ∴在中，， ∵点为的中点， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质． 5．已知矩形中，，．的平分线交于点，交于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 6．如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，连接、，连接交于点， 菱形，，， ，，，， 是等边三角形， ， 又E，F分别为边和的中点， ，垂直平分， 点P是上一动点， ， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值4． 故答案为：4． 7．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 8．如图1，，P为的中点，点E为射线上的任意一点（不与点A重合），连接，并使的延长线交射线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接、，是否有，如不是，请说明理由，如果是，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：， ， P为的中点， ， 又， ； （2）解：有； 证明如下： ， ， 四边形为平行四边形， ． 9．图1，四边形，若，，则把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    (1)我们知道：正方形四边相等，四个内角都是，显然正方形一定是筝形．如图2，正方形中，，试判断四边形是否为筝形，并说明理由． (2)如图3，筝形中，，，，，试说明线段、与之间有什么数量关系，写出理由． 【答案】(1)四边形是筝形，理由见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：四边形是筝形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是筝形． （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接，，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 10．四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)44 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ，， ， 平行四边形的面积． 故答案为：44． 11．在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【详解】（1）证明：，，， ． 在与中， ， ． ． （2）解：在中， ，， ，，． 由（1）得：． ，． ． ， ，． ． ，， 是等边三角形， ． （3）解：如图，连接． ，， 是等腰直角三角形． ． ， ． 由（1）得：， 也是等腰直角三角形． 根据折叠的性质，四边形是正方形， ． 是等腰三角形． ． ， ． ，， ． 设，则，． ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 12．如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． (1)求证：； (2)点落在何位置，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点落在的延长线上时，，理由见解析 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴， 由折叠得，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）当点落在的延长线上时，，理由如下： 当点落在的延长线上时， ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴． 61 / 61学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$