1.8 三角函数的简单应用（1知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.8 三角函数的简单应用 课程标准 学习目标 （1）会用三角函数解决一些简单的实际问题； （2）体会可以利用三角函数构建刻画事物周期性变化的数学模型． （1）掌握常见三角函数应用问题的处理方法； （2）了解并掌握数学建模的方法与步骤； （3）能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其他学科与生产、生活有密切联系的问题． 知识点01 三角函数的应用 1、三角函数模型：如果某种现象的变化具有周期性，根据三角函数的性质，结合这一现象的特征和条件，利用三角函数知识，构建数学模型，从而将这一现象转化为一个特定的数学模型，即三角函数模型 常见的三角函数模型． （1）正弦型曲线模型：（其中）． （2）余弦型曲线模型：（其中）． 注意：两个模型中函数的最大值均为，最小值均为，要注意所取自变量的不同． 2、建立三角函数模型的步骤 【即学即练1】（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ） A． B． C．π D． 【即学即练2】（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（    ） A． B．当天下午3：00温度最高 C．温度为是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于 难点：三角函数模型在几何中的应用 首先将几何问题中的边长、角度、面积等几何量转化为三角函数模型，再通过三角函数的周期性、单调性、对称性和最值性质，解决几何问题中的周期变化、最值求解、位置关系等． 【示例1】（23-24高一下·四川泸州·月考）如图，在扇形中，半径，圆心角，B是上的动点，矩形内接于扇形，且，设. (1)用表示线段的长； (2)求矩形面积的最大值． 【示例2】（24-25高一上·福建福州·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 【题型1：三角函数在物理中的应用】 例1．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（    ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 变式1-1．（24-25高一上·全国·练习）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 变式1-2．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高一下·山西朔州·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C．1s D． 【方法技巧与总结】 三角函数模型处理物理学问题的策略： （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性； （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 【题型2：三角函数在生活中的应用】 例2．（23-24高一下·山东青岛·月考）如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（    ） A．北纬 B．北纬 C．南纬 D．南纬 变式2-1．（24-25高一上·全国·课后作业）某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 变式2-3．（23-24高一下·陕西渭南·月考）某大型商场，在气温超过时，才开放中央空调，否则关闭中央空调，如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：时）的大致变化曲线，该曲线满足函数关系. (1)求函数的解析式； (2)根据（1）结论判断，该商场中央空调在本天内何时开启？何时关闭？ 【方法技巧与总结】 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： （1）认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； （2）建立三角函数模型，将实际问题数学化； （3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； （4）根据实际问题的意义，得出实际问题的解； （5）将所得结论返回，转译成实际问题的答案． 【题型3：三角函数在圆周运动中的应用】 例3．（24-25高一上·山东枣庄·月考）是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为 . 变式3-1．（24-25高一上·山东烟台·期末）某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位： 变式3-2．（24-25高一上·福建福州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 变式3-3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，相传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用.作为中国农耕文化的重要组成部分，它体现了中华民族的创造力，为中国农业文明和水利史研究提供了见证.被誉为“水车之都”的兰州建起了一处水车博览园，再现了以前黄河两岸水车林立的壮观景象.如图为一架新制作的水车，其最高点距离水面为18米，最低点在水面下2米，该水车每转一圈，若从水轮左侧距离水面3米的点处开始计算时间（假定水车逆时针方向旋转）. (1)将水轮上的动点距离水面的高度（单位：）表示为时间（单位：）的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点距水面的高度超过？ 【方法技巧与总结】 在解决三角函数在圆周运动中的应用问题时，核心方法是建立三角函数模型（如或 ，通过已知条件（如周期、最高点、最低点等）确定参数（振幅）、（角速度）、（初相）和（偏移量）案．利用三角函数的周期性、单调性和最值性质，结合数形结合思想，分析物体在不同时间的位置、速度或加速度，进而解决实际问题案． 【题型4：利用数据建立拟合函数模型】 例4．（22-23高一下·湖北宜昌·月考）青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲最大的海水浴场．这里三面环山，绿树丛花，现代的高层建筑与传统的别墅巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清波小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度（米）是时间（）（单位：小时）的函数，记作．下表是某日各时刻记录的浪高数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，的图像可以近似地看成是函数的图像． (1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？ 变式4-1．（23-24高一下·湖北武汉·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. (1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； (2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 变式4-2．（23-24高一下·广东佛山·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 变式4-3．（23-24高一下·四川内江·月考）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 【方法技巧与总结】 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第一步：根据原始数据，绘出散点图； 第二步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； 第三步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第四步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 1．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 2．（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间满足函数关系：，则这个简谐运动的振幅是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西柳州·月考）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京延庆·月考）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（，，…，）来表示．已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，则10月份的平均气温为 ． 5．（23-24高一下·四川绵阳·期中）某手表的秒针端点到中心的距离为，秒针绕匀速旋转，当时间时，点与表面上标12的点重合，将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则 ，. 6．（24-25高一上·甘肃白银·期末）（多选）已知一正弦电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在一个周期内，电流不超过30A的时长为 7．（24-25高一上·云南文山·月考）（多选）单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动．已知某单摆运动的振幅为2，单摆离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间（单位：s）近似满足函数关系，其部分图象如图所示，则（    ） A．该单摆运动的周期为 B．该单摆运动的初相为 C．当时间时，该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为 D．该单摆运动在时间上随着的增大而增大 8．（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（    ） A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 9．（24-25高一上·河南郑州·期末）位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 10．（23-24高一下·辽宁朝阳·月考）某工厂有甲、乙两个生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示. (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两个车间都投产时刻的污水瞬时排放量； (3)由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂的两个车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 11．（23-24高一下·广西来宾·月考）忻城县环境优美，准备在泮水生态公园建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计隔离防护栏以及观赏步道？ 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.8 三角函数的简单应用 课程标准 学习目标 （1）会用三角函数解决一些简单的实际问题； （2）体会可以利用三角函数构建刻画事物周期性变化的数学模型． （1）掌握常见三角函数应用问题的处理方法； （2）了解并掌握数学建模的方法与步骤； （3）能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其他学科与生产、生活有密切联系的问题． 知识点01 三角函数的应用 1、三角函数模型：如果某种现象的变化具有周期性，根据三角函数的性质，结合这一现象的特征和条件，利用三角函数知识，构建数学模型，从而将这一现象转化为一个特定的数学模型，即三角函数模型 常见的三角函数模型． （1）正弦型曲线模型：（其中）． （2）余弦型曲线模型：（其中）． 注意：两个模型中函数的最大值均为，最小值均为，要注意所取自变量的不同． 2、建立三角函数模型的步骤 【即学即练1】（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ） A． B． C．π D． 【答案】D 【解析】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，所以， 要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即， 因为，所以令，即，故选：D. 【即学即练2】（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（    ） A． B．当天下午3：00温度最高 C．温度为是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于 【答案】ABD 【解析】时，，， 第二天凌晨3：00最低为，此时， ∴，∴，A对． ，令即时取最大值，对应下午3：00，B对． ，或10，上午11：00或下午7：00，C错． 时，，D对.故选：ABD． 难点：三角函数模型在几何中的应用 首先将几何问题中的边长、角度、面积等几何量转化为三角函数模型，再通过三角函数的周期性、单调性、对称性和最值性质，解决几何问题中的周期变化、最值求解、位置关系等． 【示例1】（23-24高一下·四川泸州·月考）如图，在扇形中，半径，圆心角，B是上的动点，矩形内接于扇形，且，设. (1)用表示线段的长； (2)求矩形面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵且，∴为等边三角形，∴， 又四边形为矩形，∴，∴； 在扇形中，半径，过作的垂线，垂足为， ∴， 在中，． （2）由（1）可知，， ，， ∴， ∴ ， ∵，∴， ∴当，即时，矩形面积的最大值，最大值为 【示例2】（24-25高一上·福建福州·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设与相交于点，则 ， 可得， ， 因为等于到的距离， 所以， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 【题型1：三角函数在物理中的应用】 例1．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（    ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 【答案】B 【解析】因为线长为l cm， 沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是 ， ，且取， 又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 即线长约为cm.故选：B. 变式1-1．（24-25高一上·全国·练习）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 【答案】4 【解析】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 变式1-2．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 故函数的周期为，则，可得， 位移的大小即， 故令，得， ，或, 则，或者， 故总时间为：，故选：C. 变式1-3．（23-24高一下·山西朔州·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C．1s D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 故函数的周期为， ，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.故选：D 【方法技巧与总结】 三角函数模型处理物理学问题的策略： （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性； （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 【题型2：三角函数在生活中的应用】 例2．（23-24高一下·山东青岛·月考）如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（    ） A．北纬 B．北纬 C．南纬 D．南纬 【答案】C 【解析】由题可知，天安门广场的太阳高度角， 由华表的高和影长相等可知，所以. 所以该天太阳直射纬度为南纬故选：C 变式2-1．（24-25高一上·全国·课后作业）某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，又，则， 因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬， 且太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，所以， 则近似满足函数．故选：B. 变式2-2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 【答案】； 【解析】对，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得； 令，即，， 又，令， 则或，解得， 则一天中需要降温的时长为：小时. 变式2-3．（23-24高一下·陕西渭南·月考）某大型商场，在气温超过时，才开放中央空调，否则关闭中央空调，如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：时）的大致变化曲线，该曲线满足函数关系. (1)求函数的解析式； (2)根据（1）结论判断，该商场中央空调在本天内何时开启？何时关闭？ 【答案】(1)；(2)10时开，18时关 【解析】（1）由图知，，所以，解得：. 由图知，，， 所以， 将点代入函数解析式得：，得， 即， 又因为，得，所以. （2）依题意，令，可得， 所以：，解得： 令，得，， 故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭． 【方法技巧与总结】 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： （1）认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； （2）建立三角函数模型，将实际问题数学化； （3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； （4）根据实际问题的意义，得出实际问题的解； （5）将所得结论返回，转译成实际问题的答案． 【题型3：三角函数在圆周运动中的应用】 例3．（24-25高一上·山东枣庄·月考）是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 由题意可知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达点,即，所以， 过点作垂直地面，过点作， 则， 所以， 由，可得， 所以，解得， 令 所以，，且， 所以当时，可得取最小值为， 故答案为：. 变式3-1．（24-25高一上·山东烟台·期末）某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为 单位： 【答案】40 【解析】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，，或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 变式3-2．（24-25高一上·福建福州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 【答案】17 【解析】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样， ，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为， 甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称， 则，整理得， 当且仅当时取等号，所以的最小值是17. 故答案为：17 变式3-3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，相传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用.作为中国农耕文化的重要组成部分，它体现了中华民族的创造力，为中国农业文明和水利史研究提供了见证.被誉为“水车之都”的兰州建起了一处水车博览园，再现了以前黄河两岸水车林立的壮观景象.如图为一架新制作的水车，其最高点距离水面为18米，最低点在水面下2米，该水车每转一圈，若从水轮左侧距离水面3米的点处开始计算时间（假定水车逆时针方向旋转）. (1)将水轮上的动点距离水面的高度（单位：）表示为时间（单位：）的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点距水面的高度超过？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设与之间的函数式为，其中. 依题意可知的最大值为18，最小值为，.解得.. 因为水车每10分钟转一圈，即水车每分钟内所转过的角度为. 所以. 当时，，故， 由图可知，故. 所以函数. （2）由，即，整理得， ，解得. 所以在一圈内，高度大于13米的时间为. 【方法技巧与总结】 在解决三角函数在圆周运动中的应用问题时，核心方法是建立三角函数模型（如或 ，通过已知条件（如周期、最高点、最低点等）确定参数（振幅）、（角速度）、（初相）和（偏移量）案．利用三角函数的周期性、单调性和最值性质，结合数形结合思想，分析物体在不同时间的位置、速度或加速度，进而解决实际问题案． 【题型4：利用数据建立拟合函数模型】 例4．（22-23高一下·湖北宜昌·月考）青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲最大的海水浴场．这里三面环山，绿树丛花，现代的高层建筑与传统的别墅巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清波小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度（米）是时间（）（单位：小时）的函数，记作．下表是某日各时刻记录的浪高数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，的图像可以近似地看成是函数的图像． (1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？ 【答案】(1)，，；(2)上午9：00至下午3：00 【解析】（1）由题知，一天中，从0时到12时是一个周期，即， ∴最小正周期，即，解得， 所以 由，得， 由，得， ∴，． ∴； （2）由得，即, ∴，解得，， 又∵，∴，或，或， 所以，一天内的上午8：00至晚上20：00之间， 有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午3：00． 变式4-1．（23-24高一下·湖北武汉·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. (1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； (2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 【答案】(1)图象见解析，；(2) 【解析】（1）函数简图如下： ， 过点， 则， 的一个解析式可以为 （2）由题意得：即， 或 解得或 又，解得 又 故开放时间共. 变式4-2．（23-24高一下·广东佛山·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 【答案】(1)，；(2)图象见解析，答案见解析 【解析】（1）从数据和图形可以得出： 由题意可知，，得，， ，；由，得， 所以这段曲线的函数解析式为，． （2）货船需要的安全水深为米，所以，进港条件为. 如上图所示，在点后或点后可以进港. ，与在区间有四个交点. 令，即， 因此，由，及得（时）时2分，（时）时10分. 由函数的周期性得：时2分+12时24分=13时26分， 时10分+12时24分=17时34分. 因此，货船可以在1时10分左右进港，早晨5时20分左右出港； 或在下午13时30分左右进港，下午17时40分左右出港．每次可以在港口停留约5小时． 变式4-3．（23-24高一下·四川内江·月考）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 【答案】(1)；(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【解析】（1）观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. （2）①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口， 11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【方法技巧与总结】 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第一步：根据原始数据，绘出散点图； 第二步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； 第三步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第四步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 1．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 【答案】B 【解析】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.故选：B 2．（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间满足函数关系：，则这个简谐运动的振幅是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，这个简谐运动的振幅是.故选：C. 3．（23-24高一上·广西柳州·月考）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点的纵坐标为， 由题意可得，得. 因为起始点在第四象限，所以初相， 由图可知，所以. 所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是.故选:A. 4．（23-24高一下·北京延庆·月考）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（，，…，）来表示．已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，则10月份的平均气温为 ． 【答案】 【解析】由函数， 因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为， 可得且，解得， 所以函数， 令，可得，即为. 5．（23-24高一下·四川绵阳·期中）某手表的秒针端点到中心的距离为，秒针绕匀速旋转，当时间时，点与表面上标12的点重合，将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则 ，. 【答案】 【解析】由题意知，， 所以，两点间的距离， 故答案为： 6．（24-25高一上·甘肃白银·期末）（多选）已知一正弦电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在一个周期内，电流不超过30A的时长为 【答案】ABD 【解析】对于A，由图可知，故A正确； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C，由，得，得． 因为，所以，故C错误； 对于D，由，得， 得，得， 所以在一个周期内，电流不超过30A的时长为，故D正确；故选：ABD. 7．（24-25高一上·云南文山·月考）（多选）单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动．已知某单摆运动的振幅为2，单摆离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间（单位：s）近似满足函数关系，其部分图象如图所示，则（    ） A．该单摆运动的周期为 B．该单摆运动的初相为 C．当时间时，该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为 D．该单摆运动在时间上随着的增大而增大 【答案】ABC 【解析】由图知，则，故A正确； 由单摆运动的振幅为2，得，由，解得，又，所以， 所以，又易得函数图象过点， 则，解得， 又，所以，即，故该单摆运动的初相为，故B正确； ，故C正确； 因为该单摆运动的运动位移与时间近似满足的函数关系式为， 当时，由的图象知在单调递增，在上单调递减，故D错误． 故选：ABC. 8．（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（    ） A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【解析】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：BC 9．（24-25高一上·河南郑州·期末）位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 【答案】(1)，；(2)5分钟或25分钟；(3)当或25分钟时，h最大值为45米 【解析】（1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 10．（23-24高一下·辽宁朝阳·月考）某工厂有甲、乙两个生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示. (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两个车间都投产时刻的污水瞬时排放量； (3)由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂的两个车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】(1)；(2) (3)为满足环保要求,乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 【解析】（1）由图可得：，解得：， ，所以，解得：， 由过点可得： ，因为，所以， 所求函数的解析式为. （2）该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和， 此时甲车间排污量为乙车间为， 根据题意可得时刻的排污量：， 所以. （3）设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，根据题意可得： ， ， 所以， 所以， ∴，∴，∴， 由，得，∴， ∴为满足环保要求,乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 11．（23-24高一下·广西来宾·月考）忻城县环境优美，准备在泮水生态公园建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计隔离防护栏以及观赏步道？ 【答案】(1)平方米；(2)修建观赏步道时应使得，. 【解析】（1）在中，由余弦定理可知， 所以 所以平方米. （2）， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 解得：， 花卉观赏区的面积为 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值为1， ， 当且仅当时取到等号，此时 答：修建观赏步道时应使得，. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$