7.1.2全概率公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2 全概率公式 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 1. 条件概率： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率； 2. 概率的乘法公式： 3. 条件概率的性质：设＞0， 条件 = =. （1）=1; （2）如果B和C是两个互斥事件，则+ （3）设和互为对立事件，则 注意顺序！先发生的事件，写在前面 学习目标 1 2 3 理解全概率公式及其推导过程． 结合古典概型，利用全概率公式求事件的概率． 能用全概率公式计算较复杂的概率问题． 0 新课引入 0 参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇后面有汽车，另外两扇后面都是山羊；参赛者选择了一扇门后，节目主持人会在剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，然后问参赛者是否要换另一扇门？ 三门问题是一个著名的概率问题 换门是否能影响赢得汽车的概率? 具体结果让我们一起来探究一下吧！ 读教材 0 阅读课本P49-P51，5分钟后完成下列问题： 1.？ 我们一起来探究“全概率公式”吧！ 2.试着总结一下贝叶斯公式的使用步骤？ 01 03 02 目录 1 全概率公式 学习过程 2 题型训练 1 新知探究 问题1 如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱有1个红球和4个白球， 2号箱有2个红球和3个白球， 3号箱有3个红球，这些球除了颜色外完全相同.现先从三箱中任取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率？ 解析:如图所示 用表示事件“球取自第号箱”( =1,2,3), 表示事件“取得红球”，其中 , 互斥， 发生总是伴随着 , 之一同时发生， 即= ∪， 且两两互斥. B 1 新知探究 问题1 如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱有1个红球和4个白球， 2号箱有2个红球和3个白球， 3号箱有3个红球，这些球除了颜色外完全相同.现先从三箱中任取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率？ B 解析：由互斥事件概率的加法公式可得： = )+ 再对求和中的每一项用乘法公式可得： = )+ 即= + = 1 新知探究 问题2 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件；求这件产品是合格品的概率？ 解:设=“取到的产品来自第批” （ =1,2） ，B=“取到合格品”， 则 ， = 0 = 0 A2 A1 A2B A1B B 由全概率公式可得： + 0.4 0.95+0.6 0.96=0.956 1 新知探究 思考1：上面两个问题有什么共同点？ 解：上面两个问题中，按照某种标准， 将一个复杂事件表示为多个互斥事件的并，并在其中某个事件生的条件下，事件发生 = ∪， 思考2：如何求在事件发生的条件下，事件B发生的概率？ ····· ····· 1 新知1－－全概率公式 全概率公式 ····· 设Ω是试验的样本空间, , ,…, 为样本空间的一组基事件，若 (1) ∅，其中 (2) ∪… ∪ = Ω, 则称 , ,…, 为样本空间的一个划分. 设，，，是一组两两互斥的事件，， 且，，，，， 则对任意的事件，有. 我们称该公式为全概率公式. ····· ····· 多因一果 1 回到新课引入的问题 换门是否能影响赢得汽车的概率? 解：(1)不换门赢得汽车的概率是，不受选择后事件的影响； (2)设A1＝“最初选择中奖”，A2＝“最初选择没中奖”， B＝“换门后中奖”.则Ω＝A1∪A2，A1，A2两两互斥， P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝1，因此， P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)=×0+×1= 1 新知探究 问题1 如图，1号箱有1个红球和4个白球， 2号箱有2个红球和3个白球， 3号箱有3个红球，这些球除了颜色外完全相同.现先从三箱中任取一箱，再从中任意取出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大? 解:= )+ 即= + = 再由条件概率可得: = = 同理， 因此,该球取自3号箱的概率最大. B 1 新知探究 问题2 两批产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合并任取1件；已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率？ A2 A1 A2B A1B B 解： + 0.4 0.95+0.6 0.96=0.956 由条件概率公式可得： 1 新知1－－全概率公式 贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件， ， 且，，，，， 则对任意的事件，， ，. 称该公式为贝叶斯公式. ····· ····· 由果求因 乘法公式 全概率公式 学以致用 例1 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 解：用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲、乙、其他品牌的事件， B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此， 由全概率公式有P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) =50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率？ 学以致用 例2 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4， 迟到的概率分别为0.25、0.3、0.1、0，求该朋友迟到的概率？ 解：设A1＝乘火车来，A2＝乘船来，A3＝乘汽车来， A4＝乘飞机来，B＝“他迟到”. 则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，A1，A2，A3，A4两两互斥， 给事件命名 1 计算事件概率 2 代入公式计算 3 由全概率公式得P(B)＝ ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145 学以致用 例3 现有12道题四选一的单选题，学生小张对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好猜一个答案，猜对的概率为0.25.小张从12道题中随机选择1道，求他做对该题的概率? 解：=“选到有思路的题”=“选到没有思路的题”， =“选到的题做对”，则= 给事件命名 1 计算事件概率 2 代入公式计算 3 由题可知：= = = = 由全概率公式可得： + = = 思路点拨 全概率公式的应用步骤： 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)拆分：找出条件事件里某一个完备事件组，将样本空间拆分成互斥的事件 分别命名为；命名目标的概率事件为事件； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：代入全概率公式求解， 概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋……＋P(An)P(B|An). 01 03 02 目录 学习过程 1 条件概率及其公式 2 题型训练 2 例1 一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)， 求第二次取到的是黑球的概率？ 解：记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则 ，，故， 题型1－－全概率公式的应用 给事件命名 1 计算对应概率 2 代入公式计算 3 P(B)＝P(AB)＋P(B)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)； 2 例2 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%： 求从这批产品中任取一件是次品的概率？ 解：设事件A＝“任取一件为次品”，事件Bi＝“任取一件为i厂的产品”， 则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02， P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01. ∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3) ＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 题型1－－全概率公式的应用 给事件命名 1 计算对应概率 2 代入公式计算 3 2 例3 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件. (1)求取到的是次品的概率？ 解：记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”， 事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”. 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. 由全概率公式得： +＝3.5% 题型1－－全概率公式的应用 给事件命名 1 计算对应概率 2 代入公式计算 3 2 例3 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件. (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率？ 解：知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%， P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.3.5% 由贝叶斯公式(或条件概率定义)， 题型1－－全概率公式的应用 2 例4 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率？ 解：设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意得， 题型1－－全概率公式的应用 (1)， 发送 收0概率 收1概率 0 0.9 0.1 1 0.95 0.05 2 例4 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率？ 解：设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意得， 题型1－－全概率公式的应用 发送 收0概率 收1概率 0 0.9 0.1 1 0.95 0.05 思路点拨 贝叶斯公式的使用： ①我们把事件B看作某一过程的结果， ②根据题设，每一原因发生的概率已知，即P(An)已知 ③而且每一原因对结果的影响程度已知，即P(B|An)已知 ④如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率， 则用Bayes公式 由果寻因 把A1，A2，A3，……，An，看作该过程的若干个原因； 课堂小结 全概率公式 ····· 设Ω是试验的样本空间, , ,…, 为样本空间的一组基事件，若 (1) ∅，其中 (2) ∪… ∪ = Ω, 则称 , ,…, 为样本空间的一个划分. 设，，，是一组两两互斥的事件，， 且，，，，， 则对任意的事件，有. 我们称该公式为全概率公式. ····· ····· 多因一果 课堂小结 贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件， ， 且，，，，， 则对任意的事件，， ，. 称该公式为贝叶斯公式. ····· ····· 由果求因 乘法公式 全概率公式 于是P(B)＝×＋×＝. 得P(A1|B)＝＝＝. $$