压轴题01 正弦、余弦、正切、余切（三类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题01 正弦、余弦、正切、余切 （三类压轴必考题型+压轴能力测评） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、任意角及其度量 3 类型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 9 类型三、诱导公式 19 压轴能力测评（25题） 26 知识点01.弧度制 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 1.角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 2.应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 3.象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 知识点02扇形弧长与面积 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点04 正弦、余弦、正切及余切的定义 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点06诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 类型一、任意角及其度量 1．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    4．（2024高一下·上海·专题练习）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ．      5．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是 . 6．（2024高一下·上海·专题练习）如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 类型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1．（22-23高一上·上海杨浦·期末）设，，是实数，.若，则的值为 （用，表示） 2．已知，满足是关于方程的两个根中较小的根，则的值为 ． 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 5．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是 . 6．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 7．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（22-23高一上·上海杨浦·期末）已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 9．（1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 10．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 11．求下列各式中角 （1） （2） 12．若是关于x的方程的两根. (1)求a； (2)求的值. 13．若，是关于x的方程，的两根，求： (1)a的值； (2)的值． 14．（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由. （2）若，，求的值. 15．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 类型三、诱导公式 1．（22-23高一下·上海普陀·期末）对于给定的正整数，定义集合．若恰有4个元素，则的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 4．（23-24高三上·上海杨浦·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 5．已知，其中，若函数是奇函数，则 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 8．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角终边上一点，则 ． 9．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 10．已知角是第三象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 11．（22-23高一上·上海浦东新·期末）化简下列各式： (1)； (2). 12．已知是第三象限角，且． （1）化简； （2）若，求的值． 13．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知是第二象限角，则； (1)化简； (2)若，求的值． 14． （23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求：的值 一、单选题 1．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ） A． B． C． D． 2．在平面上，已知定点，动点，当在区间上变化时，动线段所成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图所示，直角中，，将绕着点A顺时针旋转到，再将绕着点顺时针旋转到，点、均在AB所在直线上，则B点运动的轨迹长度为 ，第二次旋转时，边扫过区域图中阴影部分的面积为 8．（23-24高一下·上海·假期作业）化简： . 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则角的取值范围是 ． 10．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 三、解答题 11．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 12．已知角终边上一点的坐标为． (1)化简下列式子并求其值：； (2)求角的集合． 13．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 14．已知 并且α是第二象限的角 (1)求sinα和tanα的值： (2)求的值. 15．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求，的值； (2)求的值． 16．在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合． (1)求的值； (2)求的值． 17．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 18．（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 19．（2024高一下·上海·专题练习）（1）已知是第三象限角，化简； （2）已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦，求的值． 20．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知、是方程的两个实数根． (1)求实数的值； (2)求的值； (3)若,，求的值 21．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 22．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 23．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 24．已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 25．如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角 （1）设线段的长为，将表示为关于的函数 （2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题01 正弦、余弦、正切、余切 （三类压轴必考题型+压轴能力测评） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、任意角及其度量 3 类型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 9 类型三、诱导公式 19 压轴能力测评（25题） 26 知识点01.弧度制 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 1.角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 2.应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 3.象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 知识点02扇形弧长与面积 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点04 正弦、余弦、正切及余切的定义 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点06诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 类型一、任意角及其度量 1．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【答案】 【分析】根据题意，由题中条件结合弧田面积公式求解即可． 【详解】   如图，由题意可得，． 在中，可得，， 则， 所以矢． 由， 得弦， 所以弧田面积弦矢 . 故答案为：． 2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 . 【答案】 【分析】 由弧长公式计算各段弧长，相加即可得到答案. 【详解】 第一次是以B为旋转中心， 以为半径旋转90°, 此次点A走过的路径是第二次是以C为旋转中心， 以为半径旋转90°,此次点A走过的路径是 第三次是以D为旋转中心，以 为半径旋转60°, 此次点A走过的路径是∴点A三次共走过的路径是 故答案为： 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可. 【详解】设线段的中点为，则.    故答案为： 4．（2024高一下·上海·专题练习）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ．      【答案】 【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可． 【详解】    第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是， 故答案为：． 5．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是 . 【答案】①③ 【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6，可以判断①正确：根据运动情况完成一个周期，顶点的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误；利用弧长公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误. 【详解】如下图： 沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下： 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置， 得到，此时顶点的轨迹是以为圆心， 为半径的一段圆弧， 即顶点由原点沿运动至位置； 第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置， 得到，此时顶点的轨迹是以为圆心， 为半行的一段圆弧， 即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期. 对于①，， 所以一个周期，故①正确： 对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线， 不是半圆，故②错误； 对于③，由已知， 的㧓长， 的弧长， 完成一个周期，顶点的轨迹长度为， 故③正确； 如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形 ，扇形与的面积和， ， ， 等边边长为， 完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是： ， 故④错误. 故答案为：①③. 6．（2024高一下·上海·专题练习）如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值 （2）利用垂径定理结合解直角三角形可得． 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 所以， ， 当且仅当，即，取得最大值 （2）设交于，则由垂径定理得， ， 由（1）知，， 所以， 所以． 类型二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1．（22-23高一上·上海杨浦·期末）设，，是实数，.若，则的值为 （用，表示） 【答案】 【分析】确定，展开利用均值不等式计算得到，结合得到，代入计算得到答案. 【详解】，即， 即， 而 ， 当且仅当，即时等号成立， 又，解得， . 故答案为： 2．已知，满足是关于方程的两个根中较小的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可知两根乘积为1，较大根是，是较小根， 可得，结合的范围可得答案. 【详解】是方程的较小根， 且由根与系数的关系可知两根乘积为1， 方程的较大根是， ， ， 即， ， ，或， 当时，，； 当时，，； 由， ， ，． 故答案为：． 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值. 【详解】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 【答案】② 【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可. 【详解】当时，，此时不是象限角，则①错； 是第三象限角，则，，所以， 反之，若，则，是第三象限角， 所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确； 若满足，但角和角的终边不相同，则③错； 当时，满足，但，不满足，则④错； 所以真命题的序号为②. 故答案为：② 5．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到，求得或，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 解得或， 又由 因为，或，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 7．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令换元，得到关于的表达式，代入已知等式求得，从而求得的值； （2）利用三角函数的基本关系式化简所求即可得解； （3）利用立方和公式将所求转化为与的表达式，从而得解； （4）利用完全平方公式，结合配方法即可得解. 【详解】（1）因为， 令，则，， 所以，整理得，解得或， 又，故，即， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为，， 所以 . （4）因为， 所以 . 8．（22-23高一上·上海杨浦·期末）已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； （2） . 9．（1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出角终边上任意一点，然后根据任意角的三角比定义表示出六个三角比，分别计算等式的左右两边，说明左边右边即可完成证明； （2）根据二倍角的正弦公式以及正切、余切的半角公式化简等式的左边，当化简至左边右边即可完成证明. 【详解】（1）设是角终边上任意一点，且， 则由任意角的三角比定义，有，，，，，， ∴左边，右边. ∴左边右边，即原式成立； （2）证法一：左边右边. 证法二：. 10．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，构造齐次式求解即可； （2）根据，并结合求解即可. 【详解】解：（1）因为 所以， （2）因为，所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 11．求下列各式中角 （1） （2） 【答案】（1）或（）；（2）或（）. 【分析】（1）结合特殊角的三角函数值求得. （2）先求得，结合特殊角的三角函数值求得. 【详解】（1），， 或， 解得或（）. （2），， ， 注意到，所以解得， 所以或（）. 12．若是关于x的方程的两根. (1)求a； (2)求的值. 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【详解】（1），或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． （2）由（1）， ． 13．若，是关于x的方程，的两根，求： (1)a的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【详解】（1），或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． （2）由（1）， ． 14．（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由. （2）若，，求的值. 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2） 【分析】（1）假设存在实数，根据是第二象限角，可得、求出参数的取值范围，再根据平方关系求出参数的值，得出矛盾，即可说明； （2）首先求出，再通分计算可得. 【详解】解：（1）假设存在实数，使，， 因为是第二象限角， 所以，，解得， 又，即，解得， 与矛盾，故不存在实数满足题意； （2）因为，所以， ， ． ． 15．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 类型三、诱导公式 1．（22-23高一下·上海普陀·期末）对于给定的正整数，定义集合．若恰有4个元素，则的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征，结合诱导公式求解. 【详解】当时，的取值为，共个， 根据诱导公式可知：，，，…， 若恰有4个元素，则的值为6或7， 故选：B． 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合. 故选：D 3．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 4．（23-24高三上·上海杨浦·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 5．已知，其中，若函数是奇函数，则 【答案】 【分析】由是奇函数得，结合可得结果. 【详解】若是奇函数，则. 不妨设，则，则， 即，又，则. 故答案为：. 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【答案】/－0.6 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【详解】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 8．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解. 【详解】由诱导公式知， ， 因为角终边上一点， 所以， 所以原式. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 10．已知角是第三象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值； （2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果． 【详解】解：（1）tanα，sin2α+cos2α＝1， ∴或，而角是第三象限角，则， 故； （2） . ∵， ∴原式. 【点睛】方法点睛： 已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可. 11．（22-23高一上·上海浦东新·期末）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简计算作答. （2）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式化简计算作答. 【详解】（1）. （2）. 12．已知是第三象限角，且． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式先逐部分化简，然后可得化简后的； （2）先根据诱导公式求得的值，然后根据同角的三角比求解出的值，最后由的表示求解出其结果. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 又因为是第三象限角，所以， 所以. 13．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知是第二象限角，则； (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简即可； （2）利用诱导公式得到，通过的范围可得，即可求解 【详解】（1） （2）因为，所以， 因为是第二象限角， 所以, 所以. 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求：的值 【答案】5. 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及切化弦求出，再利用齐次式法求值即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 一、单选题 1．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解. 【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为， 以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， 当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次， 设第次滚动时，点的路程为，则，， ，， 因此，点所走过的路程为. 故选：B. 2．在平面上，已知定点，动点，当在区间上变化时，动线段所成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，确定点的轨迹图形，结合图象可求得线段所形成图形的面积. 【详解】解：因为，所以点在单位圆上， 由于，， 所以，是其与轴正方向的有向角为， ，则， 记点，，所以，点的轨迹是劣弧， 所以，动线段所形成图形为阴影部分区域， 因为，因此，阴影部分区域的面积为. 故选：D. 3．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为， 故，故，即，解得或. 因为，则，故. 故选：A 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得. 【详解】依题意，，，，， 给定，可求出，，，，①正确； 已知的两个三角比的值，如给出与的值，由于，相当于只给出其中一个值， 显然值的正负不确定，此时不能确定的其余四个三角比的值，②错误； 由的值，可求出的值，由及可求出， 进而可求出，因此的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值，③正确； 由的值，可求出的值，由结合的符号可求出， 进而可求出，，，④正确， 所以所有正确的命题有3个. 故选：B 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 【答案】D 【分析】原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可. 【详解】如果集合A有100个元素，等价于单位圆盘n等分后，即相应横坐标的所有可能数为100， 则可能是和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时 还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称）， 即此时， 综上所述，若集合A有100个元素，则或． 故选：D 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用的奇偶性与单调性，结合换元法将问题转化为恒成立，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】因为是在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由， 得， 所以， 令，则， 所以，即， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为恒成立，所以. 故选：C. 二、填空题 7．如图所示，直角中，，将绕着点A顺时针旋转到，再将绕着点顺时针旋转到，点、均在AB所在直线上，则B点运动的轨迹长度为 ，第二次旋转时，边扫过区域图中阴影部分的面积为 【答案】 / 【分析】由题意，可知三角形ABC旋转过程中形成的几何图形，然后根据弧长公式和扇形面积公式求解即可. 【详解】解：在中， ，，， ，，， ≌≌， ，，，，， 点运动轨迹是以A为圆心的弧，及 以为圆心的弧，的长为，的长为， 点运动的轨迹长度为 故答案为：， 8．（23-24高一下·上海·假期作业）化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简求值. 【详解】原式=. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先构造函数，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得，由单调性可得，则答案可求. 【详解】构造函数，令， 则 ， 所以在R上单调递增， 原式变形得，即 所以，又，则. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】用换元法，设，由已知方程有唯一解，故判别式等于零，再结合同角三角函数平方和为解出. 【详解】，设，则 是唯一的， ，与联立得 设，则 在上有唯一解，设， 或（舍）或 当时，最大值为2，符合题意， 当时，取值可能大于2，故舍， 综上， 故答案为：. 三、解答题 11．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式； （2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意，可算得，． 因为，所以， 所以，. （2）解：根据题意，可知 ， 当时，. 综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为. 12．已知角终边上一点的坐标为． (1)化简下列式子并求其值：； (2)求角的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再由三角函数的定义直接求值； （2）利用角的定义及终边相同的角的表示即可求解. 【详解】（1） . 因为角终边上一点的坐标为， 所以,所以. 所以. （2）因为角终边上一点的坐标为，所以角终边在第四象限，且角终边与x轴正方向的夹角为，所以. 所以角的集合为. 13．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简得，平方得，进而可求解， （2）根据诱导公式以及立方差公式即可求解. 【详解】（1）由可得，将其两边平方得， 由于，故，进而得，因此， （2） 14．已知 并且α是第二象限的角 (1)求sinα和tanα的值： (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解； （2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解. 【详解】（1），并且是第二象限的角， ，                     （2）                       . 15．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）由题意知，， ∴， ； （2）原式， 由（1）知，， ∴． 16．在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义结合同角三角关系可得，，进而结合诱导公式运算求解； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，， 因为，即，且，解得， 即，． 又因为， 可得， ． 所以． （2）由（1）知， 所以． 17．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 18．（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】因为，两边平方得原式通分、化简，代入求值； 根据同角平方和的关系，即可求解，即可联立方程求解正余弦的值，进而根据代入正切的公式即可求值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以． 所以； （2）因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 由可得． 所以． 19．（2024高一下·上海·专题练习）（1）已知是第三象限角，化简； （2）已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由已知的范围结合同角三角函数基本关系式化简求值． （2）设出直角三角形的一个锐角，写出一元二次方程的判别式，根据判别式恒大于等于，得到方程的根的情况，利用同角间的三角函数关系，可得结论． 【详解】（1）是第三象限角， ； （2）不妨设直角三角形的一个锐角为， 方程中，， 当，方程恒有两实根， 又， 所以， 解得， 当时，，，满足题意， 当时，，这与是锐角矛盾，应舍去． 综上，. 20．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知、是方程的两个实数根． (1)求实数的值； (2)求的值； (3)若,，求的值 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用韦达定理结合平方关系即可求解； （2）切化弦化简即可求解； （3）由韦达定理求出即可求解. 【详解】（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 由， 则， 所以；满足. （2） ； （3）因为，所以①，， 所以， 因为,，所以，，②， 所以由①②可得， 所以． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用诱导公式化简并代入求值. （2）求出，利用诱导公式及齐次式法求值. 【详解】（1）依题意，，则，，， 所以原式. （2）由（1）知，， 所以原式. 22．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)弧度 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【详解】（1）因为弧度， 所以； （2）由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 23．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，  ； (2) 【分析】（1）求出点的坐标，再根据三角函数的定义求解即可； （2）任取的终边上一点，，分两种情况，根据三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为点的横坐标为， 所以， 即点的坐标为， 所以， 所以， ， （2）设的终边上任一点为， 则， 当时，， 所以， ， 所以； 当时，， 所以，， 所以； 综上：的值为0． 24．已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先可根据韦达定理得出，然后与联立，解得的值和的值，最后将的值代入中检验，即可得出结果； （2）通过同角三角函数关系将转化为，求出的值，然后通过即可得出结果. 【详解】（1）因为是方程的两根， 所以， 又， 则，解得（舍去）或， 所以或， 将或代入中易知当时不成立， 故； （2），即， 则，则，解得或， 因为，所以， 故. 25．如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角 （1）设线段的长为，将表示为关于的函数 （2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小 【答案】（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时. 【分析】（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数. （2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值. 【详解】 （1）过点作轴于点, 在中, 即:， 由此可得点的坐标为 点是抛物线上的点,将其代入可得: ,即: 解得:    故: 表示为关于的函数为: （2）根据（1）得: 表示为关于的函数为: 由题意可知: 可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为. 可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为. 可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为. , , 设“蝴蝶形图案”面积为: 令: 为锐角 则 可得: 则, 故时, 即: 化简为:  (为锐角)解得: 综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时. 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为关于的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$