精品解析：河南省商丘市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

商丘市普通高中2024—2025学年高一年级期末（上）联合考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码将贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需要动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A 1 B. 3 C. 4 D. 5 2 （ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若a，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若x，，则“”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（ ） A. 的值不可能是0 B. C. 是奇函数 D. 是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值为________. 13. 已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：℃）满足的关系式为，a，，若该食品在0℃时的保鲜时间是128h，在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，则该食品在20℃时的保鲜时间是________h. 14. 已知函数在上的最大值为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间. 16. 已知函数且. （1）若的图象经过点，求不等式的解集； （2）若存在x，使得，求a的取值范围. 17 已知. （1）求； （2）若，且，求. 18. 已知（且）是偶函数. （1）求a的值； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）解关于x的不等式. 19. 给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”. （1）若是上的“单位距函数”，求a的值. （2）若函数在区间上的最小值为. （i）求的表达式； （ii）若，为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 商丘市普通高中2024—2025学年高一年级期末（上）联合考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码将贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需要动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合B，再求并集，从而可得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 所以中元素个数为 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得到. 【详解】. 故选：B 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到. 【详解】， . 故选：C 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数，指数函数单调性和中间值比较大小. 【详解】由于在R上单调递减，， 由于，故， 由于在上单调递增，故， 故. 故选：D 5. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将两个函数名称变成一样，再根据平移规则变换即可. 【详解】， 根据“左加右减”平移规则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到. 故选：A. 6. 若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数单调性得到，故，由于真数大于0，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得且， 由于在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，需在上单调递增， 故，故， 又真数大于0，故在上恒成立， 由于在上单调递减，故只需，解得， 故. 故选：D 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 8. 已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合得到，令，解得，由韦达定理得到，结合单调性求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下： 有3个不同的实数根，，， 故，令，解得， 显然为方程，即的两个根， 故， 故， 因为，在上单调递减， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若a，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若x，，则“”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据并集概念，得到A正确；B选项，由对数函数单调性得到充分性成立，举出反例，必要性不成立，得到B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立；D选项，解不等式得到的解集，根据推出关系得到D正确. 【详解】A选项，A，B均为非空集合且， ，但， 故则“”是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，故，充分性成立， ，不妨设，此时无意义，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件，B正确； C选项，x，，若，此时，充分性不成立，C错误； D选项，，解得， 由于，但， 故“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】B选项，由条件得到，故，并得到，故B正确；举出反例得到AD错误；再由得到，由，得到，从而，C正确. 【详解】B选项，， 又，故， 由可得，即， 由可得， 所以，故， 由可得，即， 所以，B正确； 不妨设，满足和， 此时，，AD错误； 两边同除以得， ，，故，即， 不等式两边同除以得， 所以，C正确； 故选：BC 11. 若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（ ） A. 的值不可能是0 B. C. 是奇函数 D. 是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，赋值，得到或，当时，，排除，得到，；C选项，令得，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】AB选项，中，令得 ，解得或， 令得，又或， 当时，， 因为当时，，故不合要求， 当时，， 由于当时，，故，满足要求， 故，A正确，B错误； C选项，中，令得 ， 由于，故是奇函数，C正确； D选项，满足要求，但不是增函数，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：处理抽象函数问题，常用方法为赋值法，经常赋值0，等，并结合函数奇偶性和单调性来解决问题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，由基本不等式求出最值. 【详解】， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 13. 已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：℃）满足的关系式为，a，，若该食品在0℃时的保鲜时间是128h，在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，则该食品在20℃时的保鲜时间是________h. 【答案】64 【解析】 【分析】根据题意得到方程组，求出，得到解析式，代入，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 故，当时，. 故答案为：64 14. 已知函数在上的最大值为，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用函数的最小正周期公式求出的值，再根据函数图象关于直线对称的性质求出的值，从而得到函数的解析式； （2）利用整体代换计算单调递增区间即可. 【小问1详解】 已知的最小正周期，那么，解得. 因为函数的图象关于直线对称， 对于函数，其图象关于直线对称，所以， 即，可得. 又因为，当时，满足条件，所以. 【小问2详解】 令 解不等式左边：，得到. 解不等式右边：，得到. 所以的单调递增区间是. 16. 已知函数且. （1）若的图象经过点，求不等式的解集； （2）若存在x，使得，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集； （2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围. 【小问1详解】 将代入得，，解得， 故，其在上单调递增， ，故，解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 ， ，解得， 且，故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增，且， 当时，，故， 所以， 又且，解得. 17. 已知. （1）求； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式，结合正弦余弦齐次式，弦化切即可求解; （2）利用同角三角函数的基本关求出，根据二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式求解即可. 【小问1详解】 , . 【小问2详解】 ,且 , , , , , , , . 18. 已知（且）是偶函数. （1）求a的值； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1）4 （2）证明过程见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）变形得到，由得到方程，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）不等式变形为，分，，，和，五种情况，求出不等式解集. 【小问1详解】 ， 故， 由题意得，即， 若且，无解， 若且，解得，负值舍去， 故； 【小问2详解】 由（1）知，， 任取，， 则 ， 因为，，在R上单调递增， 所以，， 故，即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 ，故， 变形为， 当时，，解得，解集为 当时，有两个根，分别为 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式解集； 当时，不等式为，解集为； 当时，，不等式解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”. （1）若是上的“单位距函数”，求a的值. （2）若函数在区间上的最小值为. （i）求的表达式； （ii）若，为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值. 【答案】（1）1 （2）（i）； （ii）， 【解析】 【分析】（1）先得到为奇函数，并分和两种情况，变形后，结合对勾函数单调性和奇偶性得到，从而得到方程，求出答案； （2）（i）化简换元，变形得到，，分类讨论，结合函数单调性，得到答案； （ii）在（i）基础上，得到为整数，从而得到，为区间上“单位距函数”，结合（i）可得单调性，从而得到方程，解得. 【小问1详解】 定义域为R， 且，故为奇函数， 当时，， 当时，，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：任取且， 则 ， 因为且， 所以，，， 故，即， 所以在单调递减，同理可证在上单调递增， 则， 所以，故， 由对称性可知，当时，， 所以，故，解得； 【小问2详解】 （i）， 令，变形为， 由于，则， 当，即时， 在上单调递减， 故， 当，即时， 在上单调递增， 故， 当，即时， ， 综上，； （ii），，由（i）可得， 故 为整数， 因为，所以， 需为整数，则，即时，为整数，满足要求， 为区间上的“单位距函数”，结合（i）可得在上单调递增， 故，其中， ，故，解得. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$