精品解析：河北省石家庄市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

石家庄市2024～2025学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x)，且函数f(x)在(﹣∞，0)上是减函数，若则a，b，c的大小关系为（ ） A. a<c<b B. c<b<a C. b<c<a D. c<a<b 6. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：，） A. 13年 B. 14年 C. 15年 D. 16年 8. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数（，，）的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是图象的一条对称轴 11. 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的零点个数为1 B. 实数的取值范围为 C. 函数无最值 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点所在区间为，则的值为__________. 13. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 14. 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”.例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为.下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③对于，都有； ④.使得. 其中所有正确结论的编号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，及； （2）若，求的取值范围. 16. 已知不等式的解集是. （1）求常数的值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 17. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值. 18. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市2024～2025学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合， 集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故. 故选：B. 2. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解. 【详解】由已知使用诱导公式化简得：， 将代入即. 故选：A. 5. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x)，且函数f(x)在(﹣∞，0)上是减函数，若则a，b，c的大小关系为（ ） A. a<c<b B. c<b<a C. b<c<a D. c<a<b 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得函数为偶函数，结合偶函数的性质可得（1），，进而分析可得在上为增函数，又由，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数满足，则函数为偶函数， （1），， 又由函数在上是减函数，则在上为增函数， 且， 则； 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查指数对数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 6. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解. 【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，； 令，则，则在上单增，，则. 故选：C. 7. “碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：，） A. 13年 B. 14年 C. 15年 D. 16年 【答案】D 【解析】 【分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程. 【详解】由题意可得，即，所以， 令，即，故，即， 可得，即． 故选：D 8. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解. 【详解】由题意知：， 可得， 且，即， 令，不妨设，可得，则， 即，所以在上单调递减， 则不等式，且，转化为， 因为，所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，因，则，故A错误； 对于B，，因，则，故B正确； 对于C，，因， 则，故C正确； 对于D，，因， 故，故D正确. 故选：BCD 10. 如图，函数（，，）的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析判断. 【详解】观察函数图象知，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则，， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确； 对于D，，直线是图象的一条对称轴，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的零点个数为1 B. 实数的取值范围为 C. 函数无最值 D. 函数在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于ACD，由题可画出大致图象，据此可判断选项正误；对于B，由有6个不同根，可得和共有6个根，其中的两根为，然后由数形结合思想结合二次方程根的分布知识可得答案. 【详解】由题可得的图象大致如下. 对于A，由图可得零点有3个，故A错误； 对于B，由题可得和共有6个根， 即图象与直线，共有6个交点. 其中的两根为，则判别式为或. 注意到，结合图象可得，同号，且一个大于1，一个小于1大于0. 设，则，由图可得， 又函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由函数图象可得无最值，故C正确； 对于D，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点所在区间为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案. 【详解】在上递增， ， 所以的零点在区间， 所以的值为. 故答案为： 13. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数过定点可得，再根据对数函数以及二次函数性质，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得结果. 【详解】由指数函数图象性质可知，令，可得, 因此函数的图象经过定点； 即；所以， 显然，解得或； 即函数的定义域为； 利用二次函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增； 又在定义域内单调递减， 利用复合函数单调性可得的单调增区间为. 故答案为： 14. 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”.例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为.下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③对于，都有； ④.使得. 其中所有正确结论的编号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由经过可求出的解析式，利用图象平移得到解析式，进而可以得到的解析式，就可判断①；求出相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求的值，可判断③，利用，分、、三种情况求的化简式可判断④. 【详解】因为经过，所以， 即，解得， 又，所以，则. 对于①，令函数的周期为T，则 由图可知，将噪声声波曲线向左平移，即可得到降噪反向声波曲线， 所以; 所以， 所以函数是奇函数，故①对； 对于②，因为，当时，， 所以在时单调递增，故②错； 对于③， ，所以恒为0，故③对； 对于④，当时，， 当时，， 当时， ，故④错误； 故答案为：①③ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，及； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），，. （2）. 【解析】 【分析】（1）运用集合交、并、补运算即可. （2）分别解、、时一元二次不等式的解集，结合集合包含关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，又 则，，. 【小问2详解】 因为，所以，又 ①当时，，显然成立； ②当时，，显然不成立； ③当时，，因为，， 所以，即此时. 综上，. 故的取值范围为. 16. 已知不等式的解集是. （1）求常数的值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理，由一元二次不等式的解集求系数； （2）由二次函数单调性的特征，求实数的取值范围； （3）由一元二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围. 【小问1详解】 不等式的解集是， 和3是方程的解，且， ∴，解得. 【小问2详解】 若在上单调递减， 则，解得，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 若关于的不等式的解集为， 则，解得，实数的取值范围为. 17. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解； （2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解； （3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； 【小问2详解】 因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. 【小问3详解】 因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 18. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米. （2）平方米. （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. 【小问3详解】 在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 19. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2） （3）存在，且，理由如下： 由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 【解析】 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $