1.1 向量（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.1 向量 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点 3 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 通过对向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念的学习过程，提升学生的数学抽象核心素养. 新课导入 几何和代数是数学的两个重要组成部分.几何研究图形，直观形象易懂，但不易于计算.代数研究数的运算，有现成规则可以遵循，但容易陷入数的海洋而不易理解算式的实际意义.向量既可以画作几何图形，又可以进行代数运算，还可以通过坐标转化为数的运算，兼具几何与代数的优点.向量的出现将发挥沟通几何与代数的桥梁作用. 本章我们将从物理、几何、代数三个角度来学习平面向量及其运算的几何意义和代数意义，并尝试运用向量来刻画和解决现实生活、数学和物理中的一些问题. 温故知新 我们已经学了很多量，并且知道这些量可用实数（带单位）来表示其大小，如一个物体的质量、两点之间的距离、一个图形的面积等等. 很多时候只描述量的大小还不够.例如，一艘船或一架飞机要去某地，除了需知道到目的地的距离外，还需知道目的地的方向.又如，要描述一个物体的运动速度、作用在物体上的力，除了需知道它们的大小之外，还需知道它们的方向.这些量都需要从大小和方向两方面来描述. 现实世界存在许多需要从大小和方向两方面来刻画的量, 下面我们来学习一个基本的数学工具——向量. 一、向量的基本要素及几何表示 新课讲授 新课讲授 我们从物理学中的位移出发.在物理学中，研究物体运动时，常常忽略物体的大小，把它当作一个质点，用点来表示它的位置.质点从位置A运动到位置B,位置的改变称为位移. 位移只刻画起点A与终点B的位置的差别. 如图1.1-1,从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B,其位移就都是相同的，都用带箭头的线段:B表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B,与质点实际运动的路线无关. 一、向量的基本要素及几何表示 新课讲授 新课讲授 通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3)． 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． A（起点） B（终点） 有向线段的三个要素：起点、方向、长度 一、向量的基本要素及几何表示 新课讲授 新课讲授 一、向量的基本要素及几何表示 新课讲授 新课讲授 二、向量的相等 新课讲授 新课讲授 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定． 二、向量的相等 新课讲授 零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 方向任意 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？ P 二、向量的相等 新课讲授 向量的关系 思考3：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ， 就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向相同； 模相等，方向不相同； 模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同； 问题引领，深入思考 二、向量的相等 新课讲授 （1）平行向量： ① 方向相同或相反的非零向量. 向量 与 平行，记作 ② 规定：零向量与任一向量平行， 即 ( 为任意向量) 新 知 生 成 二、向量的相等 新课讲授 长度相等且方向相同向量. A1 B1 A3 B3 A4 B4 A2 B2 2.零向量与零向量相等 3.任意两个相等的非零向量， 都可用同一条有向线段来表示， 并且与有向线段的起点无关。 1.若向量 与 相等，则记为 新课讲授 新课讲授 （3）共线向量： 任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。 一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下，将它平移到任何位置。 新课讲授 新课讲授 （4）相反向量： 长度相等且方向相反向量. 的相反向量记作 典例分析 16 典例分析 17 典例分析 观察图1.1 - 3，图1.1 - 4和图1.1 - 6可以发现，若两个向量相等或相反，则表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行。 18 学后总结 学后总结 学以致用 下列结论中正确的是(　　) ①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|； ③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|. A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 解析：两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等，故④错误． 学以致用 22 学以致用 23 课堂小结 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 例 1 已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，在图 1.1-4 所标出的向量中： （1）找出与 相等的向量； （2）找出几组相反向量。 解：（1） 与 方向相同且长度相等，故 。 与 ， 与 ， 与 分别互为相反向量。 解:(1)如图1.1 - 6，作有向线段 ，使 与 同向且长度相等， 则 即为 的相等向量。 如图1.1 - 6，作有向线段 ，使 与 反向且长度相等， 则 即为 的相反向量。 例2如图1.1-5，已知向量 ， 和点 ，以点 为起点，分别画有向线段表示下列向量： （1） 的相等向量； （2） 的相反向量. 如果向量 的大小 ，就称 是零向量，记作 。 若 ，则这个“有向线段” ，它实际上是一个点， 即停留在起点不动，所表示的位移为零。 我们约定，所有的零向量相等。 当 时， ，从 到 只能有唯一的方向。 而零向量 表示从 到 ，可以是任意方向。 大小 方向 起点 终点 大小 知识点一　向量的定义与表示 1．定义：既有__________又有__________的量叫做向量． 2．表示方法 (1)几何表示法：用以A为__________，B为__________的有向线段 eq \o(AB,\s\up17(→))表示； (2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母， eq \o(a,\s\up17(→))， eq \o(b,\s\up17(→))， eq \o(c,\s\up17(→))…. 3．向量的模：向量的__________叫做向量的长度(或模)，如a， eq \o(AB,\s\up17(→))的模分别记作|a|，| eq \o(AB,\s\up17(→))|. 0 0 1个单位 相等 相同 a＝b 相同 相反 a∥b 知识点二　特殊向量 1．零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作__________． 2．单位向量：长度等于__________长度的向量，叫做单位向量． 3．相等向量：长度__________且方向__________的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作__________． 4．平行向量或共线向量：方向__________或__________的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量a平行于b，记作__________．规定：零向量与任意向量平行． 解析：对于A，因为|eq \o(CH,\s\up17(→))|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，|eq \o(DG,\s\up17(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，所以|eq \o(CH,\s\up17(→))|≠|eq \o(DG,\s\up17(→))|，所以A错误；对于B，因为|eq \o(AE,\s\up17(→))|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，所以B正确；对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量eq \o(DG,\s\up17(→))，eq \o(HF,\s\up17(→))共线，所以C正确；对于D，因为|eq \o(DG,\s\up17(→))|＋|eq \o(HF,\s\up17(→))|＝eq \r(22＋22)＋eq \r(32＋32)＝5eq \r(2)≠10，所以D错误．故选BC. 练习2：(多选)(2024·山东菏泽一中高一下月考)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(　　) A．向量eq \o(CH,\s\up17(→))，eq \o(DG,\s\up17(→))的模相等 B．|eq \o(AE,\s\up17(→))|＝eq \r(10) C．向量eq \o(DG,\s\up17(→))，eq \o(HF,\s\up17(→))共线 D．|eq \o(DG,\s\up17(→))|＋|eq \o(HF,\s\up17(→))|＝10 $$