精品解析：山东省济南市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2025年1月济南市高一期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将化为弧度为（ ） A B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. “是第一象限角”是“是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数则（ ） A. B. 不存单调区间 C. D. 在定义域内的任意区间上都不存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为______． 13. 已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式______． 14. 函数所有零点之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）求，； （2）若，且，求实数的取值范围． 16. 已知函数的最小正周期为．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填大了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请在上表补充完整数据，并直接写出实数的值． （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值域． 17. 已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． （1）求利润（单位：万元）关于生产台数函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； （2）当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润多少万元？ 18. 已知函数． （1）解关于的方程：； （2）记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 19. 是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数． （1）求“不动点”； （2）记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”． （ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由； （ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月济南市高一期末学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将化为弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角度制和弧度制转化即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出集合A，再应用元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为集合，则，所以A错误，B正确； 空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误. 故选：B. 3. “是第一象限角”是“是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据逻辑条件的定义判断. 【详解】是锐角，则是第一象限角， 但是第一象限角，不一定是锐角，如， 故“是第一象限角”是“是锐角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，根据解析式特征判断其单调性，利用奇偶性定义判断其奇偶性即可逐一判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 显然为增函数，且因可得函数为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为， 因即不是奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为， 且在每一个区间上为增函数，但不能说函数在定义域上递增，故C错误； 对于D，因的定义域为， 函数在上先增后减，在上先减后增， 故不是定义域上的增函数，故D错误. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用指数函数及对数函数的单调性结合边界值1比较大小即可. 【详解】因为单调递增，单调递增， 所以， 则. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解； 【详解】当时，单调递增，此时，， 所以，解得， 当时，单调递减，此时，， 所以，解得， 所以实数的值可以是或， 故选：AC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，又，所以，B错误； 对于C，由，得，又，所以，C正确； 对于D，由，得，则， 则，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数则（ ） A. B. 不存在单调区间 C. D. 在定义域内的任意区间上都不存在最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析的各种情况，得到各种情况下的答案，应用赋值法结合单调性定义等得到选项答案. 【详解】对于A，已知当是互质的正整数时，. 对于，此时，，且和互质， 根据函数定义可得，所以选项 A 正确. 对于B，若存在，是单调增区间， 当是互质的正整数时，， 是无理数，使得，故不是单调增区间； 若是存在，是单调减区间， 当是互质的正整数时，，是无理数，使得，故不是单调减区间； 即不存在单调区间，所以选项 B 正确. 对于C，分情况讨论的值：当时，，，所以， 当的无理数时，，则， 当是互质的正整数时，， 若，情况不存在. 若，， 若时，当为正整数时，若为整数可写成，则， 不存在，使得，选项 C 错误. 对于D，在任意区间，存在最大值， 则存在有理数（是互质的正整数）， 在区间内，总能找到形如（是互质的正整数）的有理数， ，所以不存在最大值. 所以在定义域内的任意区间上都不存在最大值，选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对当是互质的正整数时，的应用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用任意角的三角函数定义计算即可. 【详解】因为点是终边上一点，则. 故答案为：. 13. 已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式______． 【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇数，是偶数） 【解析】 【分析】通过分析幂函数需要满足的两条性质具体分析. 【详解】幂函数，对于条件①是偶函数且在上单调递减， 而条件②说明函数为偶函数， 根据幂函数性质，当时，幂函数在上单调递减。 又因为是偶函数，对于幂函数， 若（互质），当为偶数时，函数是偶函数, 若写出具体函数解析式, 可以令（满足，是奇数，是偶数）, 此时幂函数,对于，满足②. 对求导，， 在时，，在单调递减，所以满足①， 所以答案为：. 14. 函数所有零点之和为______． 【答案】2 【解析】 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：分析函数的对称性及单调性是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）求，； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得集合，利用补集、交集的定义求解即得； （2）由可得，故可得，解之得参数范围. 【小问1详解】 因为或， 所以 所以 【小问2详解】 因 由，可得，则 所以，解得 则实数的取值范围为． 16. 已知函数的最小正周期为．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填大了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请在上表补充完整数据，并直接写出实数的值． （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值域． 【答案】（1）答案见解析， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据最值求得，根据最小正周期求得，进一步完成表格数据补充即可. （2）先根据三角函数图象变换法则求得，然后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【小问1详解】 由题意，则，完善表格如下： 【小问2详解】 由题意可知，， 因为，所以， 所以， 所以，所以的值域为． 17. 已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． （1）求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； （2）当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1），400万元． （2）生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润820万元． 【解析】 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． 【小问2详解】 当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 18. 已知函数． （1）解关于的方程：； （2）记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）在单调递减，证明见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知方程求出的范围，再利用对数的运算性质求解即得. （2）（ⅰ）利用函数的单调性定义法推理证明其单调性即可；（ⅱ）因，都有，可推得，由（ⅰ）利用在单调递减，可得使得 成立，从而转化成求在上的最小值即可. 【小问1详解】 因， 由，可得， 又， 则有，解得（不合题意，舍去）或， 故原方程的解为． 【小问2详解】 （ⅰ）在单调递减. 证明如下：，且， 所以， 因，则有， 故有，可得，即， 故在单调递减． （ⅱ）若，都有， 则有， 由（ⅰ）可得，在单调递减，则， 所以， 即， 故可得． 即使得 成立， 所以，即求在的最大值， 由二次函数的性质可得，当时，， 故得，即的取值范围为． 19. 是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数． （1）求的“不动点”； （2）记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”． （ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由； （ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”． 【答案】（1） （2）（ⅰ）共有0个，理由见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用不动点定义计算求解即可； （2）（ⅰ）应用周期点的定义计算即可判断；（ⅱ）结合正弦函数的单调性应用周期点的定义即可证明. 【小问1详解】 由题意， 解得．故的不动点为； 【小问2详解】 （ⅰ）的“2-周期点”共有0个． 理由如下： ，故， 等号成立当且仅当． 若是的“2-周期点”， 满足 从而等号必须成立，故． 而由（1）知，是的不动点，即“周期点”．矛盾． 故不存“2-周期点” （ⅱ）注意到单调递增， ，若为的“-周期点”， 则且，．（否则为的不动点．） 若，则由单调递增可知，， 而，故． 类似地，对于任意， 与矛盾，则不存在的“周期点”． 同理可证不存在的“-周期点”． 故对于不存在“-周期点”． 【点睛】关键点点睛：解题及证明的关键点是对新定义的理解及灵活应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$