精品解析：云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二年级数学12月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若复数，则的共轭复数的虚部是（ ） A B. i C. -i D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，，所以，其虚部为. 故选：A 2. 设函数 ，的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 3. 直线的法向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可. 【详解】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 4. 已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的焦点坐标为 C. 双曲线的离心率 D. 双曲线的实轴长为1 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点相同求出双曲线方程为，逐项分析即可判断. 【详解】椭圆半焦距，则，解得，双曲线方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错误； 对于C，双曲线的离心率，C错误； 对于D，双曲线的实轴长为2，D错误. 故选：A 5. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 6. 已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】如下图且，，则l//a，此时，，所以，充分性不成立； 若，因为，所以，必要性成立， 故 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的模长以及坐标表示，利用投影向量的定义计算即可得结果. 【详解】由可得， 即，所以； 因此在上的投影向量为. 故选：D 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.全部选对得6 分，选不全得3 分，多选或选错一个得0 分. 9. 已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 函数为奇函数 D. 函数在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据函数的周期求；再根据求.对于B、C、D：结合三角函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A：由题意可得：，且，解得，故A正确； 可得， 因为，即， 且，可得， 故. 对于B：因为不是最值， 所以的图像不关于直线对称，故B错误； 对于C：是奇函数，故C正确； 对于D：因为，则， 且在上不单调，所以函数在上不单调，故D错误； 故选：AC. 10. 数列 满足，，数列的前n 项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，数列中，，，则，， 因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11. 直线经过抛物线：的焦点为，且与抛物线相交于，两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 以线段为直径的圆与直线相切 C. 当直线的倾斜角为， D. 过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据韦达定理可判断A,利用韦达定理求出中点到准线的距离为，可判断B，再根据求得坐标可判断C，再根据韦达定理分别表示可判断D. 【详解】由题可得焦点为， 设直线的方程为， 联立可得， 所以，A正确； 所以， 所以中点的纵坐标为， 从而中点到准线的距离为， 又因为， 所以以线段为直径的圆与直线相切，B正确； 当直线的倾斜角为时，代入可得 解得 所以 所以 所以不成立，C错误； ， 所以，D正确， 故选:ABD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12. 设等差数列的前n项和为，若，则_________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质计算. 【详解】由题意得，故. 故答案为：20. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： 14. 已知函数，且，则______，曲线在点处的切线方程为_____. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】求出导函数，解方程得值，再求出得切线斜率，即可求出切线的方程． 【详解】函数，求导得， 由，得； 函数，，，， 所以曲线在点处切线方程为. 故答案为：1； 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 15. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边分别是，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及三角函数的性质即可求解； （2）根据已知条件及余弦定理，利用余弦定理的推论及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为， 所以,即， 因为， 所以, 所以，即. 由余弦定理可知，，将代入并整理得，解得或. 又因为为锐角三角形， 所以，即，解得, 所以. 所以的面积为. 16. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 两式相减可得，， 故等比数列的公比为， ， ， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 由得：，， 故，即， ， ， 得：， 故． 17. 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面， 平面，， 四边形为菱形且为中点，，又，， 又，， 平面，，平面. （2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， ， 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型. 18. 已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 【答案】（1）； （2），的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）. 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，利用给定条件求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，由可得，求得的坐标，再求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解. 【小问1详解】 依题意，设双曲线的方程为， 由双曲线过点，得，由双曲线的离心率为，得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则，得，，点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是的轨迹方程为，， 所以的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）. 19. 已知函数 . （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）若方程有个不同的根，求实数 的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为，极小值为，无极大值； （2）作图见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. （2）结合（1）的信息作出函数图象. （3）化方程为或，结合（2）求出的范围. 小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取极小值，无极大值， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为；极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴， 函数的大致图象如图： 【小问3详解】 方程，解得或， 解，得，依题意，方程有2个不等实根， 即直线与函数的图象有2个交点，由（2）知，， 所以实数 的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级数学12月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若复数，则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. i C. -i D. 1 2. 设函数 ，的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 3. 直线的法向量可以为（ ） A. B. C D. 4. 已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的焦点坐标为 C. 双曲线的离心率 D. 双曲线的实轴长为1 5. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.全部选对得6 分，选不全得3 分，多选或选错一个得0 分. 9. 已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 函数为奇函数 D. 函数在上单调递增 10. 数列 满足，，数列前n 项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 11. 直线经过抛物线：的焦点为，且与抛物线相交于，两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 以线段为直径圆与直线相切 C. 当直线的倾斜角为， D. 过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12. 设等差数列的前n项和为，若，则_________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 14. 已知函数，且，则______，曲线在点处的切线方程为_____. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 15. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边分别是，若，求的面积. 16. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 17. 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知原点为中心，坐标轴为对称轴双曲线过点，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 19. 已知函数 . （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）若方程有个不同的根，求实数 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$