精品解析：湖南省永州市京华中学2024-2025学年九年级上学期数学期中测试卷

京华中学2024年下期九年级期中练习数学试题卷 试卷说明：本试卷共26题，满分120分时长：120分钟 一、选择题（3×10=30分） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 3. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 4. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数的自变量次数为，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且，据此列出方程与不等式即可求得m的值． 【详解】由题意得： ． ∴且． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键根据反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式． 5. 关于x的方程kx2－4x－2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. k＞2且k≠0 D. 且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得，解得且，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【详解】解：当时，方程变形为， 解得； 当时，， 解得且， 综上所述，k的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和勾股定理求出，根据旋转的性质得到 ，，则是等腰直角三角形，得到，证明三点共线，则，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 7. 已知中，，，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义和勾股定理，根据勾股定理先算出，再根据三角函数的定义分别得到答案即可；解决此题的关键是要熟练应用三角函数的定义． 【详解】解：中，， ∵，， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为， 故选：B． 9. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ） 5 4 2 1 0.5 0.25 20 25 30 40 50 100 200 400 A. 的值为2.5 B. 与之间的函数表达式为 C. 当时， D. 随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压÷电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流=电压÷电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴， ∴， 故A不合题意； ∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， 则，把代入得： 故， 即， 故B不合题意； ∵， ∴I随R的增大而减小，故D不合题意； ∴当时，，故C符合题意． 故选：C． 10. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可. 【详解】解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线， ∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC ∵DB＝DE, ∴∠DBE＝∠DEB 即∠DBM+45°＝∠CDE+45°. ∴∠DBM＝∠CDE. ∵EF⊥AC, ∴∠DFE＝∠BMD=90° 在△BMD和△DFE中 ∴△BMD≌△DFE. 故①正确. 由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C ∴△NBE∽△DCB， 故②错，对应字母没有写在对应的位置上. ∵△BMD≌△DFE， ∴BM=DF, ∵BM=AM=MC， ∴AC=2BM, ∴AC＝2DF. 故③正确 易证△EFC∽△ABC,所以=, ∴EFAB＝CFBC 故④正确 故选C. 【点睛】本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质， 掌握基础知识是解题的关键. 二、填空题（3×8=24分） 11. 在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可． 【详解】解：图上相距的A、B两地的实际距离是： ， 故答案为： 12. 某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有_____个为不合格产品． 【答案】 【解析】 【分析】先求解样本的频率，再利用样本估计总体即可得到答案. 【详解】解： 从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格， 样本的频率 这300个灯泡中估计有（个）， 故答案为： 【点睛】本题考查的是频率的计算，利用样本估计总体，掌握利用样本估计总体是解题的关键. 13. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，水平宽度，则坡面的长度是______米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义可得，进而可得的值，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：迎水坡的坡度是， ， ∵水平宽度， ， ， 故答案为：6． 14. 如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是____（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割点的定义得，，，即可得出结论． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ，，， 故答案为：①③④． 15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、弦图的计算等知识点，明确弦图中的线段关系成为解题的关键． 设,进而得到，然后再根据“与的面积相等”得到方程求解即可． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知,设，, ∵， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴，即：，解得：（舍弃负值） ∴． 故答案为：． 16. 如图，直角三角形纸片ABC，，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是____________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】根据已知可得AE=2，DE=4，，结合相似三角形性质可得，由此即可解题． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出解题的关键. 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算与解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； （2）方程两边同乘以得，化为整式方程，再解方程并检验即可得． 【小问1详解】 解： 移项得，， 整理得，， ∴或， 解得，，； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以得，， 整理得，， 系数化为1得，， 检验：当时，， 则是原方程的增根， ∴方程无解． 20. 某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题： （1）这次活动一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于 度； （4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生大约有多少人？ 【答案】（1）250 （2） 补全条形统计图如图， （3）108 （4）480人 【解析】 【分析】（1）借助足球的人数和占比可求总调查人数． （2）利用总人数分别减去足球、乒乓球、羽毛球的人数可得篮球的人数，完善条形统计图． （3）篮球的占比与360°的乘积便是圆心角的度数． （4）总人数与调查人数中足球人数的占比相乘求解． 【小问1详解】 解：根据题意，足球的人数为80人，占比为32%，80÷32%=250（人）； 【小问2详解】 解：篮球人数为：250-80-55-40=75（人）， 【小问3详解】 解：篮球所对圆心角为×100%×360°=108°． 【小问4详解】 解：该校选足球的人数为1500×32%=480（人）． 答：估计该学校选择足球项目的学生大约有480人． 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，解题关键是扇形统计图和条形统计图中数据相结合解题． 21. 已知关于x的方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程有实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ∴此方程有实数根； （2） 证明：根据题意方程有两个不相等的实数根分别为，， ，，， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （2）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，连接，，点D是线段的中点，连接，连接，恰好过线段的中点E，并交于点G． （1）求证：四边形为菱形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 点是线段的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ，点是线段的中点， 为直角三角形斜边上的中线， ， 四边形为菱形； （2） 证明：由（1）知：， ． ∵， ， ． 四边形为菱形， ， ， ． ， ， ． 设，则， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用中点的定义和平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质和菱形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明和，由相似三角形的性质定理得到，，设，则，通过计算即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 23. 北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形。为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。 （1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？ （2）如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）最大面积为96平方米，此时米，米； （2）小路的宽为1米 【解析】 【分析】（1）设为x米，则为米，列出车棚面积的函数表达式，求出x的取值范围，再求出函数的最大值，同时求出AD和AB的长即可； （2）设小路宽为m米．根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 根据题意得：， 由题意得， 解得0<x≤12， ∵，开口向下， ∴当时，S随x的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值，， 此时AD＝x＝12，AB＝＝8， 答：最大面积为96平方米，此时米，米． 【小问2详解】 解：设小路宽为m米． 根据题意得 解得（舍）， 答：小路的宽为1米． 【点睛】此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题意，列出函数表达式和一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 （1）求过点B的反比例函数的解析式； （2）点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 【答案】（1） （2）D的坐标为或或或； 【解析】 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶角的顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； 【小问1详解】 解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ①当O为顶角的顶点时，， ∴或； ②当D为顶角的顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶角的顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或. 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 25. 如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°． （1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）； （2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 【答案】（1）2米（2）（2＋2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的长； （2）根据主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m， ∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（m）， 答：伸展臂BC的长为2米； （2）如图： 由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D， 在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m， ∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（m）， ∵∠MAB＝30°，BD⊥MN， ∴∠ABD＝60°， ∵∠ABC＝105°， ∴∠CBD＝45°， 在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m， ∴CD＝BC•cos45°＝2×＝2（m）， ∴AC＝CD＋AD＝2＋2， ∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2＋2）米的土石． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键． 26. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若的面积为，求的长． 【答案】 （1）如图1所示（答案不唯一）： （2）是四边形的“相似对角线”，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握“相似对角线”的定义，是解题的关键． （1）根据“相似对角线”的定义，可知为的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点D； （2）由角平分线的定义得，则，从而得出，即可证明结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质得，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图3，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京华中学2024年下期九年级期中练习数学试题卷 试卷说明：本试卷共26题，满分120分时长：120分钟 一、选择题（3×10=30分） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 关于x的方程kx2－4x－2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. k＞2且k≠0 D. 且k≠0 6. 如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ） 5 4 2 1 0.5 0.25 20 25 30 40 50 100 200 400 A. 的值为2.5 B. 与之间的函数表达式为 C. 当时， D. 随的增大而减小 10. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（3×8=24分） 11. 在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是______． 12. 某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有_____个为不合格产品． 13. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，水平宽度，则坡面的长度是______米． 14. 如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是____（填序号）． ①；②；③；④． 15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为______． 16. 如图，直角三角形纸片ABC，，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是____________cm． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 三、解答题 19. 计算与解方程： （1） （2） 20. 某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题： （1）这次活动一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于 度； （4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生大约有多少人？ 21. 已知关于x的方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程有实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 22. 如图，在四边形中，，连接，，点D是线段的中点，连接，连接，恰好过线段的中点E，并交于点G． （1）求证：四边形为菱形； （2）求证：． 23. 北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形。为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。 （1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？ （2）如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 （1）求过点B的反比例函数的解析式； （2）点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 25. 如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°． （1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）； （2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 26. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $