精品解析：河南省周口市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

绝密★启用前 周口市普通高中2024-2025学年高一年级期末（上）联合考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 7 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有3个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若A，B均为非空集合且，则“”是“”必要不充分条件 B. 若a，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若x，，则“”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（ ） A. 的值不可能是0 B. C. 是奇函数 D. 是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则，的最大值为__________． 13. 已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是__________ ． 14. 已知函数在上的最大值为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间． 16. 已知函数且. （1）若的图象经过点，求不等式的解集； （2）若存在x，使得，求a的取值范围. 17. 已知. （1）求； （2）若，且，求. 18. 已知是偶函数． （1）求的值； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）解关于不等式． 19. 给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”． （1）若是上的“单位距函数”，求a的值． （2）若函数在区间上的最小值为． （i）求表达式； （ii）若为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 周口市普通高中2024-2025学年高一年级期末（上）联合考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合B，再求并集，从而可得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 所以中元素的个数为 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可直接得答案． 【详解】． 故选：B. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到. 【详解】， . 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数以及对数函数的性质判断的取值范围，即得答案. 【详解】因为，所以． 故选：D. 5. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将两个函数名称变成一样，再根据平移规则变换即可. 【详解】， 根据“左加右减”平移规则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到. 故选：A. 6. 若函数有意义，且在区间上单调递减，则a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数单调性得到，故，由于真数大于0，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得且， 由于在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，需在上单调递增， 故，故， 又真数大于0，故在上恒成立， 由于在上单调递减，故只需，解得， 故. 故选：D 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 8. 已知函数，若方程有3个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有3个不同的实数根，可得函数的图象与直线有3个交点，由图象可得，是方程的根，当时，可求得，进而计算可求得的取值范围． 【详解】如图，画出的大致图象．方程有3个不同的实数根， 即函数的图象与直线有3个交点， 由图可知．易知：是方程的根， 即的根，所以． 当时，令，可得，所以时，． 所以． 所以的取值范围是． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若a，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若x，，则“”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”， 则“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B，由，得，从而，但由只能得到， 不能得到，则“”是“”充分不必要条件，B正确； 对于C，等式成立的前提是，则“”不是“”的充要条件，C错误； 对于D，若，则，必有，反之不成立，则“”是“”的充分不必要条件，D正确 故选：ABD 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】B选项，由条件得到，故，并得到，故B正确；举出反例得到AD错误；再由得到，由，得到，从而，C正确. 【详解】B选项，， 又，故， 由可得，即， 由可得， 所以，故， 由可得，即， 所以，B正确； 不妨设，满足和， 此时，，AD错误； 两边同除以得， ，，故，即， 不等式两边同除以得， 所以，C正确； 故选：BC 11. 若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（ ） A. 值不可能是0 B. C. 是奇函数 D. 是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，赋值，得到或，当时，，排除，得到，；C选项，令得，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】AB选项，中，令得 ，解得或， 令得，又或， 当时，， 因为当时，，故不合要求， 当时，， 由于当时，，故，满足要求， 故，A正确，B错误； C选项，中，令得 ， 由于，故是奇函数，C正确； D选项，满足要求，但不是增函数，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：处理抽象函数问题，常用方法为赋值法，经常赋值0，等，并结合函数奇偶性和单调性来解决问题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则，的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 故，当且仅当， 即时取等号，所以的最大值为． 故答案为：． 13. 已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是__________ ． 【答案】64 【解析】 【分析】根据指数函数模型列式求解． 【详解】由该食品在时的保鲜时间是，得，所以， 由在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，得， 所以，所以该食品在时的保鲜时间是． 故答案为：64. 14. 已知函数在上的最大值为，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期可求得，利用对称轴可求得，可求解函数的解析式； （2）利用的单调递增区间为，可求的单调递增区间. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，即， 又，所以， 所以． 【小问2详解】 因为的单调递增区间为， 所以令，得， 所以的单调递增区间为. 16. 已知函数且. （1）若的图象经过点，求不等式的解集； （2）若存在x，使得，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集； （2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围. 【小问1详解】 将代入得，，解得， 故，其在上单调递增， ，故，解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 ， ，解得， 且，故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增，且， 当时，，故， 所以， 又且，解得. 17. 已知. （1）求； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，结合正弦余弦齐次式，弦化切即可求解; （2）利用同角三角函数的基本关求出，根据二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式求解即可. 【小问1详解】 , . 【小问2详解】 ,且 , , , , , , , . 18. 已知是偶函数． （1）求值； （2）用单调性的定义证明在上单调递增； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质根据即可求解， （2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解， （3）根据一元二次不等式的解的特征，结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数，其定义域为， 所以，即， 所以（负值舍去）． 当时，，满足，是偶函数， 所以． 【小问2详解】 由（1）知． ，且，有 ， 由，得， 所以，即， 所以在上单调递增． 【小问3详解】 由（1）知，故原不等式为， 可得． 若，得，原不等式的解集为， 若，原不等式等价于， 因为，所以原不等式的解集为， 若，原不等式等价于， 当时，原不等式的解集为， 当，即时，原不等式的解集为， 当，即时，原不等式解集为． 19. 给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”． （1）若是上的“单位距函数”，求a的值． （2）若函数在区间上的最小值为． （i）求的表达式； （ii）若为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）， 【解析】 【分析】（1）当时，，根据题意可得，求解即可； （2）（i），令，分，，三种情况讨论可求得的表达式；（ii）由（i）知，当时，，，结合已知可求得的值. 【小问1详解】 因为， 当时，，当且仅当时取等号， 所以，此时； ，此时． 因为为上的“单位距函数”， 所以， 所以． 【小问2详解】 （i）． 设， 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时，； 当，即时，在上单调递减， ． 综上， （ii）由（i）知，当时，， ， 因为为整数，所以为整数， 因为，所以，所以，即． 由题意知为区间上的“单位距函数”，由（i）知在区间上单调递增， 所以 ， 所以． 【点睛】方法点睛：求含参数的函数的最小值，常通过换元法，通过分类讨论求得函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $