精品解析：福建省福州市马尾区三牧中学2024-2025学年八年级上学期期中质量检测数学试卷

福州三牧中学2024-2025学年第一学期八年级数学期中考试卷 （满分150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的几组线段，（　　）可以拼成一个三角形． A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ） A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 4. 下列不能用平方差公式运算的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A B. C. D. 7. 如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 8. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 9. 如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合)，这样的三角形能画出(　　) A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，、交于点，连接、、下列结论：①；②；③平分；④其中结论正确的序号是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． 12. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____． 13. 计算： ______． 14. 若是一个完全平方式，则的值是 ______ ． 15 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______. 16. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点，，，______． 三．解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）． （2）． 18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 19. 先化简，再求值：[（x+2y）2-x（x-2y）]÷2y，其中x=3，y=-1． 20. 如图，中，，垂足为．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）； （1）作的平分线，交于点 （2）为上的动点，在上确定一点，使的最短． 21. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 22. 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：，，求的值． 解：，，即 又，，得． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则______． （2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 23. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如：；；；因此，，，这三个数都是神秘数． （1）28是不是神秘数？为什么？ （2）设两个连续偶数为和（其中为非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由． 24. 如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°． （1）求证：△CBE为等边三角形； （2）若AD=5，DE=7，求CD长． 25. 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州三牧中学2024-2025学年第一学期八年级数学期中考试卷 （满分150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 2. 下面的几组线段，（　　）可以拼成一个三角形． A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】A、，以拼成一个三角形，符合题意； B、，不可以拼成一个三角形，不符合题意； C、，不可以拼成一个三角形，不符合题意； D、，不可以拼成一个三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ） A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选C． 4. 下列不能用平方差公式运算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟记是解题关键．根据平方差公式的特点：两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，逐一判断即可． 【详解】解：A、中，相同，2和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； B、中，和两项都相同，不可以用平方差公式，符合题意； C、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； D、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式的应用，积的乘方的应用，掌握运算法则是解本题的关键；根据以上运算的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、原式不能合并，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 6. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键；因此此题可根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，进而问题可求解． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是； 故选A． 7. 如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和都等于360°，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∵∠1+2+∠3+∠4＝280°， ∴∠5＝360°﹣280°＝80°， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形外角和等于360°是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线性质，并将周长转化成已知边得长度是解题的关键． 9. 如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合)，这样的三角形能画出(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，找出对称轴就可以确定轴对称图形的个数. 【详解】如图，由已知可得，可以选择的对称轴有EF,CG,AH, 所以，与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合）能画出3个. 故选C 【点睛】本题考核知识点：轴对称. 解题关键点：理解轴对称的定义. 10. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，、交于点，连接、、下列结论：①；②；③平分；④其中结论正确的序号是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】证明证明，再利用全等三角形的性质即可判断①；由可得，再由，证得即可判断②；分别过作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，可无法得到平分，可判断③；由平分结合即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故②符合题意； 分别过作，垂足分别为，如图： ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ， ，与题干条件互相矛盾，故③不符合题意； ∵平分，， ，故④符合题意． 综上，正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 如果一个多边形内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的关系，设这个多边形的边数为，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____． 【答案】10或11 【解析】 【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11． 故答案为：10或11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 13. 计算： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，逆向运用积的乘方运算法则计算即可．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则的值是 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出结论即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 即， 故答案为：或． 15. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°， ∴BD=AD=6， ∴CD=BD=6×=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、含30°角的直角三角形、等腰三角形的判定以及角的平分线的定义．解题的关键是熟练掌握有关性质和定理． 16. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点，，，______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形判定和性质、角平分线的性质定理、三角形内角和定理等知识．过点F作，垂足分别为，在上截取，根据角平分线性质定理得到，证明，则，证明，得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：过点F作，垂足分别为，在上截取， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故答案为： 三．解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算： （1）直接利用平方差公式进行计算即可； （2）先进行多项式乘以多项式的运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质．先根据，利用两直线平行，同位角相等，可得，再结合，，利用可证，从而有． 【详解】证明：∵， ， 又，， ∴在和中， ， ∴， ． 19. 先化简，再求值：[（x+2y）2-x（x-2y）]÷2y，其中x=3，y=-1． 【答案】3x+2y；7 【解析】 【分析】先根据整式的混合运算法则把原式化简，再将，代入即可解答. 【详解】解：原式=（x2+4xy +4y2-x2+2xy）÷2y =（6xy+4y2）÷2y =3x+2y． 当x=3，y=-1时， 原式=3×3+2×（-1）=7． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题关键是熟练的掌握整式混合运算法则. 20. 如图，中，，垂足为．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）； （1）作的平分线，交于点 （2）为上的动点，在上确定一点，使的最短． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、轴对称的性质等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）以点D为圆心，长为半径画弧，交于点，连接交于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求， 【小问2详解】 如图，点P即为所求， 21. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出．先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵是高， ∴ ∴ ∵角平分线， ∴ ∴ ∴ 故 22. 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：，，求的值． 解：，，即 又，，得． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则______． （2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和变形式，是解题的关键： （1）利用完全平方公式变形式进行计算即可； （2）设两个正方形的边长分别为：，根据题意得到， 进而求出的长，再利用面积公式求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 设两个正方形的边长分别为：，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴放花卉场地的面积为． 23. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如：；；；因此，，，这三个数都是神秘数． （1）28是不是神秘数？为什么？ （2）设两个连续偶数为和（其中为非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由． 【答案】（1）28是神秘数，理由见解析 （2）两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义——“神秘数”，熟练掌握新定义，整式的乘法运算和平方差公式，是解题的关键． （1）根据“神秘数”定义，只需看28能否写成两个连续偶数的平方差即可，； （2）运用平方差公式进行计算．平方差公式： ． 【小问1详解】 解：∵， ∴28是“神秘数”； 【小问2详解】 解：两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下： ∵ ， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数． 24. 如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°． （1）求证：△CBE为等边三角形； （2）若AD=5，DE=7，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE=∠CEA，再得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案； （2）首先在AE上截取EM=AD,连接CM进而得出△ACD≌△ECM，进而得出△MCD为等边三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵CA=CB，CE=CA， ∴BC=CE，∠CAE=∠CEA， ∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°， ∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°， ∴∠DAC=∠CEA=15°， ∴∠ACE=150°， ∴∠BCE=60°， ∴△CBE为等边三角形； （2）在AE上截取EM=AD，连接CM． 在△ACD和△ECM中， ， ∴△ACD≌△ECM（SAS）， ∴CD=CM， ∵∠CDE=60°， ∴△MCD为等边三角形， ∴CD=DM=7﹣5=2． 【点睛】本题考查的是等边三角形和全等三角形，熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质是解题的关键. 25. 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值． 【答案】（1）作图见解析；（2）20或40． 【解析】 【详解】试题分析：（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法． （2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验--分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值． 解：（1）如图所示， （2）如图3 ①、②作△ABC． ①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20． ②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40． 点睛：本题主要考查利用等腰三角形的性质进行作图.解题的关键在于作图过程中要充分利用等腰三角形的性质作图. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$