精品解析：河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

焦作市普通高中2024-2025学年（上）高二年级期末考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 2. 甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求，，结合条件概率公式求结论. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：C. 3. 已知直线与互相垂直，则（ ） A. 或0 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或（方程不为直线，舍去）. 故选：D. 4. 西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ） 附：若，则，，． A. 0.4545 B. 0.1827 C. 0.2718 D. 0.1359 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性以及已知概率计算求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：D 5. 过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故选：B. 6. 某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（ ） A. 0.55 B. 0.42 C. 0.28 D. 0.12 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 7. 已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 8. 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，，，进而得到则，，，代入，结合计算即可. 【详解】设椭圆的方程为，，，， 则，，，所以， 而，则． 由得，又，可得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 10. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D. 第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据组合数公式：，可得答案； 对于B，根据二项式系数的求和公式，可得答案； 对于C，根据组合数公式：，以及组合数计算方法，可得答案； 遂于D，根据二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知曲线，则（ ） A. 不经过第二象限 B. 当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C. 上点的横坐标的取值范围是 D. 上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【详解】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查了曲线与方程、直线与圆及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是根据曲线方程得到相应的曲线，利用直线与圆、直线与双曲线的位置关系求解距离范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求的坐标，利用空间向量求直线夹角. 【详解】因为，， 设直线与所成的角为， 则， 所以线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 第13届中国电子信息博览会将于2025年4月在深圳举行．某公司要从，，，，，共6个不同的展位中选3个分别展示甲、乙、丙3种不同的电子产品，且主推产品甲必须在展位，则共有_____种不同的展示方法． 【答案】20 【解析】 【分析】运用分步乘法原理，结合排列知识计算即可. 【详解】因为主推产品甲必须在A展位，所以需从B，C，D，E，F共5个不同的展位中任选2个分别展示乙、丙，故共有（种）不同的展示方法. 故答案为：20. 14. 已知为直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴的正半轴、轴的负半轴分别交于点C，D，则（为坐标原点）面积的最小值为_____.附：椭圆在其上一点处的切线方程为. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用表示直线的方程，进而表示点的坐标，得到的面积，根据的关系，利用基本（均值）不等式求面积的最小值. 【详解】设，，.如图： 根据给出的结论，可得切线的方程为：， 切线的方程为：. 因为直线、均过点，所以， 所以直线方程为：. 令得：；令，得：. 由题意可得：，. 因为，且，所以. 所以， 当且仅当即时取“”. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于点，的坐标都满足方程，所以直线的方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点，且其一个方向向量为． （1）求的方程； （2）若与圆相交于，两点，求弦的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出方程. （2）利用圆的弦长公式求出弦的长. 【小问1详解】 由直线的一个方向向量为，得直线的斜率， 所以的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知的方程为， 则圆的圆心到直线的距离为， 又圆的半径，所以. 16. 为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据． 月份 月 月 月 月 月 月份代码 销售总额亿元 （1）求关于的线性回归方程； （2）该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中． 【答案】（1） （2）有的把握认为购买电动汽车与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据已知求出，然后利用最小二乘法直接求出线性回归方程即可； （2）根据已知列出列联表，然后直接利用公式求出，进而得出结论. 【小问1详解】 由题可知，， 所以，， 故所求的线性回归方程为． 【小问2详解】 由题可得列联表如下． 性别 购买种类 合计 非电动汽车 电动汽车 男 女 合计 因为， 故有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，且平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作的垂线，交于点，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 由，为的中点，可得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 如图，过点在平面内作的垂线，交于点. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由题可知，在梯形中，，所以， 故，，， 则，. 易知平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，则. 设二面角的平面角为，则， 故，即二面角的正弦值为. 18. 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； （2）为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； （3）以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【答案】（1）0.5 （2）分布列见解析， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积之和为建立方程求得参数值，利用矩形面积的意义以及概率加法公式，可得答案； （2）利用分层抽样的概念以及比例可得每个区间的人数，根据超几何分布求得分布列，结合数学期望的计算公式，可得答案； （3）利用二项分布的概率公式，根据组合数的对称性与二项式系数的单调性，可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． 【小问2详解】 由题可知，该地区高一学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 【小问3详解】 由（1）可知从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 19. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. （1）求的方程； （2）若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 【答案】（1） （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线的斜率存在且不等于0和， 设切线的方程为， 与的方程联立，消去，整理得， 由， 整理得， 设切线，的斜率分别为，，则， ①由题可知直线的方程为， 令，得， 因为，的方程为，，所以，， 所以， 故是的中点，即. ②因为，，，的高相等， 所以，即. 由上述过程可知，，，. 所以，，，. 又，所以， ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由题意建立方程求得，进而求得，即可得解. （2）①设，设出切线方程并与双曲线联立，根据判别式及韦达定理得，求出直线的方程及的坐标，进而求出点P，Q坐标，通过计算中点坐标证明即可； ②根据三角形面积公式，将所证等式化为线段长度的比例关系，通过①中的坐标，计算相关线段长度，即可证明. 【小问1详解】 由题可知，由直线与轴交于点，且， 可得，若，则，即，无解， 若，则，即， 则，故的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 焦作市普通高中2024-2025学年（上）高二年级期末考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与互相垂直，则（ ） A. 或0 B. C. 0 D. 4. 西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ） 附：若，则，，． A. 0.4545 B. 0.1827 C. 0.2718 D. 0.1359 5. 过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 6. 某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（ ） A. 0.55 B. 0.42 C. 0.28 D. 0.12 7. 已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D. 第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 11. 已知曲线，则（ ） A. 不经过第二象限 B. 当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C. 上点的横坐标的取值范围是 D. 上任一点到直线的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为______. 13. 第13届中国电子信息博览会将于2025年4月在深圳举行．某公司要从，，，，，共6个不同的展位中选3个分别展示甲、乙、丙3种不同的电子产品，且主推产品甲必须在展位，则共有_____种不同的展示方法． 14. 已知为直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴的正半轴、轴的负半轴分别交于点C，D，则（为坐标原点）面积的最小值为_____.附：椭圆在其上一点处的切线方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点，且其一个方向向量为． （1）求的方程； （2）若与圆相交于，两点，求弦的长度． 16. 为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据． 月份 月 月 月 月 月 月份代码 销售总额亿元 （1）求关于的线性回归方程； （2）该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，且平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 18. 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； （2）为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； （3）以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 19. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. （1）求的方程； （2）若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $