精品解析：河南省驻马店市上蔡县2023-2024学年上学期九年级期中教学质量检测数学试卷

2023年秋九年级期中教学质量检测 数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义解题即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程x2＋x－1＝0根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】把a=1，b=1，c=-1代入△=，然后计算△，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为x2＋x－1＝0 ∴ a=1，b=1，c=-1， ∴ △==， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键． 3. 如图，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴A选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意， 故选：D． 4. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义． 根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 6. 下面是蔡国情同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A. 若，则 B. ，则其解为 C. 方程的解为 D. 若有一根为2，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解；分别根据直接开平方法，因式分解的方法解方程，结合方程的解的含义逐一分析即可． 【详解】解：A、若，则，所以A选项错误； B、若，则，解得或，所以B选项错误； C、方程，则， 则方程的解为，，所以C选项错误； D、若有一根为2，则，则，所以D选项正确． 故选D． 7. 如图，直线，若，则的长为（ ） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线， ∴， 即， ∴， 故选：B． 8. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意； 故选：D． 9. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．根据特殊锐角三角函数值代入计算验证即可． 【详解】解：A．，而，因此选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意． 故选：A． 10. 下列命题正确的是（） A. 已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 C. 已知关于x的方程是一元二次方程 D. 位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，无理数的整数部分与小数部分，一元二次方程的定义，位似图形与相似图形的关系等知识点，解题的关键是准确掌握各知识点的定义和性质． 分别根据比例线段的定义判断选项A；根据无理数的整数部分与小数部分的求解方法判断选项B；根据一元二次方程的定义判断选项C；根据位似图形与相似图形的关系判断选项D． 【详解】根据比例线段的定义，如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段叫做成比例线段． 已知，因为，即，所以，b，c，不是比例线段，A错误； 因为，所以，则的整数部分，小数部分． 将代入可得：，B错误； 对于方程，其中，因为，所以，进而，即，满足一元二次方程的定义，所以该方程是一元二次方程，C正确． 位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特殊情况，它要求对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上，D错误． 故答案选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．先把式子变成，再代值计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：， 故答案是：． 14. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边 AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为___________． 【答案】或3 【解析】 【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：①，连接BD，根据折叠的性质可得，所以，，设，则，根据勾股定理即可求得答案；②，根据正方形的判定可得四边形CDEF是正方形，所以，，可得，依据相似三角形的性质可得，设，则，，，列出方程解方方程求解，即可得到CD的长． 【详解】解：分两种情况： 若时，则，， 连接AD，由折叠可得：， 由勾股定理可得：， ∴，， 设，则， 在中， ， 即：， 解得：， ∴； ②若，则，， ∴四边形CDEF是正方形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：x=， 综上所述，CD的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题关键． 三、解答题 16. （1）计算：． （2）计算：． （3）解方程：（用配方法）； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程的方法的综合，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解； （2）运用乘法公式进行二次根式的混合运算即可求解； （3）先移项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法求解； （4）运用提公因式法解一元二次方程即可求解； 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， 解得：； （4）， 移项得，， 提取公因式得，， 或， ∴． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度． （1）画出向上平移个单位得到的； （2）以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的相似比为． （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如上图所示，即为所求； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）分别作出点、、向上平移个单位得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据位似变换的定义作出点、的对应点，再顺次连接即可； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查作图平移变换、位似变换，解题的关键是根据平移变换和位似变换的定义作出变换后的对应点． 19. 位于河南省上蔡县蔡沟乡初级中学院内的银杏树，相传为孔子周游列国时亲手所栽．这棵银杏树唐时遭火灾，生发新树，明时复遭雷击，树外又包生新树，现在枝叶紫茂，状若华盖，令人叹为观止，吸引着方圆百里的游客前来参观瞻仰！某数学课题学习小组欲测量“银杏树”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量．小冯同学先在大树彩子端点F处竖立了一根长为1米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小华同学在的延长线上找到点D，使得点B、C、D在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同平面内，且，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组完成以下问题： （1）求出线段与线段之间的数量关系． （2）求出银杏树的高度（结果精确到1米）． 【答案】（1） （2）约为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大． （1）证明即可求解； （2）证明即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴，即， 解得， 答：银杏树的高度约为米． 20. 2023年9月6日至8日，第25届中国农产品加工业投资贸易洽谈会在河南省驻马店市举行．本届大会为促进农业科技创新和成果转化，加快农产品加工业高质量发展发挥了积极作用．上蔡精心布展，将最富有上蔡特色的、质量品质过硬的商品推介给来自五湖四海的客商和参观展会的游客． （1）其中邵店黄姜受到大家的广泛好评，邵店黄姜展区9月6日销售192件，9月7日、8日该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月8日的销售量达到300件．求9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率； （2）塔桥猪蹄是上蔡特色美食之一，该美食色泽鲜亮、床道鲜香、口感软糯，制作工艺被认定为市级非物质文化遗产．每件塔桥猪蹄成本价为90元，当销售价为130元时，每天可售出20件猪蹄，在农加会期间，商家为扩大销售量，最大程度让利于顾客，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件猪蹄降价1元，那么平均可多售出2件，每件塔桥猪蹄降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 【答案】（1）9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为 （2）当每件塔桥猪蹄降价20元时，商场可以获利1200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为，利用8日的销售量9月6日的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每件塔桥猪蹄降价元，则每件的销售利润为元，每天销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件塔桥猪蹄降价元，则每件的销售利润为元，每天销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵在农加会期间，商家为扩大销售量，最大程度让利于顾客， ∴， 答：当每件塔桥猪蹄降价20元时，商场可以获利1200元． 21. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD． （1）求证：； （2）若BD＝1，CD＝2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴∠ ∴ 即∠ 又平分 ∴∠， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠，根据等腰三角形的性质得到∠，由等角的补角相等得到∠，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得 又， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 已知三条边的长度分别是，记的周长为． （1）当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）； （2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； （3）若x为整数，求的最大值． 【答案】（1）3 （2） （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． （1）把代入三角形的三边中，化简后计算比较即可； （2）利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围，再把三角形的三边求和； （3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，求出三角形的周长． 【小问1详解】 解：当，， ∵， ∴的最长边的长度是3； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由二次根式有意义的条件得， 解得：， 所以，． 所以 ＝ ＝； 【小问3详解】 解：由（2）可得，且． ∴x越大越大， ∴当时，三边为，1，4， ∵， ∴不合题意舍去． 当时，三边为2，2，3，符合三角形三条边的关系， ∴． 即的最大值为7． 23. [教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】 （1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年秋九年级期中教学质量检测 数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2＋x－1＝0根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 3. 如图，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 6. 下面是蔡国情同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A. 若，则 B. ，则其解为 C. 方程的解为 D. 若有一根为2，则 7. 如图，直线，若，则的长为（ ） A. 10 B. C. 3 D. 8. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（） A. 已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 C. 已知关于x的方程是一元二次方程 D. 位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 12. 已知，则__________． 13. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为__________． 14. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 15. 如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边 AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为___________． 三、解答题 16. （1）计算：． （2）计算：． （3）解方程：（用配方法）； （4）解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度． （1）画出向上平移个单位得到的； （2）以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的相似比为． （3）求的面积． 19. 位于河南省上蔡县蔡沟乡初级中学院内的银杏树，相传为孔子周游列国时亲手所栽．这棵银杏树唐时遭火灾，生发新树，明时复遭雷击，树外又包生新树，现在枝叶紫茂，状若华盖，令人叹为观止，吸引着方圆百里的游客前来参观瞻仰！某数学课题学习小组欲测量“银杏树”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量．小冯同学先在大树彩子端点F处竖立了一根长为1米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小华同学在的延长线上找到点D，使得点B、C、D在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同平面内，且，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组完成以下问题： （1）求出线段与线段之间的数量关系． （2）求出银杏树的高度（结果精确到1米）． 20. 2023年9月6日至8日，第25届中国农产品加工业投资贸易洽谈会在河南省驻马店市举行．本届大会为促进农业科技创新和成果转化，加快农产品加工业高质量发展发挥了积极作用．上蔡精心布展，将最富有上蔡特色的、质量品质过硬的商品推介给来自五湖四海的客商和参观展会的游客． （1）其中邵店黄姜受到大家的广泛好评，邵店黄姜展区9月6日销售192件，9月7日、8日该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月8日的销售量达到300件．求9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率； （2）塔桥猪蹄是上蔡特色美食之一，该美食色泽鲜亮、床道鲜香、口感软糯，制作工艺被认定为市级非物质文化遗产．每件塔桥猪蹄成本价为90元，当销售价为130元时，每天可售出20件猪蹄，在农加会期间，商家为扩大销售量，最大程度让利于顾客，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件猪蹄降价1元，那么平均可多售出2件，每件塔桥猪蹄降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 21. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD． （1）求证：； （2）若BD＝1，CD＝2，求的值． 22. 已知三条边的长度分别是，记的周长为． （1）当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）； （2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； （3）若x为整数，求的最大值． 23. [教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $