精品解析：山东省济宁市实验中学2025年高三上学期1月月考数学试题

济宁市实验中学2022级高三上学期1月月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，得，解得，所以， 又，. 故选：D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将原式变形，由复数除法运算可得，再由复数的模的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 3. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 则. 故选：C 4. 要得到的图象，只需把图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的伸缩变换求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变. 故选：A. 5. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的性质先求，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为是相互垂直的单位向量， 所以，. 又，，所以， 所以， 又， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 6. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】分恰有个部门所选的旅游地相同、四个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数. 【详解】①恰有个部门所选的旅游地相同， 第一步，先将选相同的个部门取出，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种； ②四个部门所选的旅游地都不相同的方法有种， 根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种． 故选：B 7. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800 人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.94 B. 0.96 C. 0.75 D. 0.78 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的均值，再利用分层抽样方差的计算方法求出方差作答. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:(小时)， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：. 故选：A 8. 已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（ ） A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件变形得到，再结合条件求得，再通过赋值求的值. 【详解】由条件，可知，，，以上三个式子相加得：， 又，所以， ，，，…，， 以上式子相加得， 所以. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，若，则（ ） A. B. z在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 的虚部为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算法则化简，然后根据条件，解得，逐个判断选项即可； 【详解】， 因为，所以，解得， 则，，A正确． z在复平面内对应的点为在第一象限，B错误． ，C正确． ，虚部为3，D正确． 故选：ACD. 10. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措．在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近个月的出口额情况统计，若已求得关于的线性回归方程为，则（ ） 月份编号 出口额/万元 A. 与成正相关 B. 样本数据的第40百分位数为 C. 当时，残差的绝对值最小 D. 用模型描述与的关系更合适 【答案】AD 【解析】 【分析】A项由表中数据的变化及回归方程中项的系数可知；B项利用百分位数定义及求解步骤即可得；C项由样本中心点代入方程求出，利用回归方程求出估计值与相应样本数据作差求出残差，再比较绝对值大小即可；D项由散点图可知. 【详解】A项，由图中表格数据可知，当的值增加时，的相应值也呈现增加的趋势， 又由回归方程中，项的系数，也可以看出与成正相关，故A正确； B项，样本数据的个取值从小到大依次是， 由，则第40百分位数为第个数据，故B错误； C项，， ， 将代入，得，即， 令，得，所以相应残差的绝对值为， 令，得，所以相应残差的绝对值为，故C错误； D项，如下图作出散点图， 可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型的周围”， “样本点分布在某一条指数函数曲线的周围”这样的描述更贴切， 所以用模型描述与的关系更合适些，故D正确. 故选：AD. 11. 已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若点坐标为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件化简即可得圆的方程判断A；根据圆心到直线的距离及圆的性质判断B；根据切线及圆的几何性质判断C；利用,，利用三点共线即可求解D. 【详解】因为、，设， 由，得，化简得：， 故曲线的方程为，故A正确； 曲线的圆心， 到直线的距离为， 可知直线与圆相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，故B错误； 在中，，故C正确； 直线中，令，得，即， 设点，满足,故， 化简可得， 由于在，即， 故，， 故,因此，， ， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：根据，利用待定系数法求解，进而根据以及三点共线求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在终边上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，再由余弦的二倍角公式：即可求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为： 13. 由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数. 【答案】52 【解析】 【分析】由特殊位置法与特殊元素法分类讨论，利用分类与分步计数原理即可解决. 【详解】根据题意，对该没有重复数字的三位偶数进行分类讨论， 第一类：0在个位数时，先填百位，有5种方法，再填十位，有4种方法，故能组成个没有重复数字的三位偶数； 第二类，0不在个位数时，先填个位，只有2、4两种方法，再填百位，0不能在此位，故有4种方法，最后填十位，有4种方法，故能组成个没有重复数字的三位偶数； 综上，一共可以组成个没有重复数字的三位偶数. 故答案为：52. 14. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的共线关系可得，即可由斜率公式得斜率表达式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】解：根据题意可设，，， 又，，， ，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求函数最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值； （2）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期为，最大值为， （2），单调增区间为 【解析】 【分析】(1)将函数化为的形式，再求函数的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时的值即可； (2)根据图象变换求出的解析式，再求其单调递增区间即可. 【小问1详解】 所以周期； 当，即时，. 【小问2详解】 由题意知，， 由，得， 所以函数的单调增区间为. 16. 设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； （1）求数列的通项公式； （2）若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，在根据，作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）依题意可得，则，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为是与的等差中项，可得， 当时，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为， 可得数列是首项和公比均为的等比数列， 所以； 【小问2详解】 若是以为首项，为公差的等差数列， 则， 可得， 数列的前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，利用等腰三角形性质得到，再结合线面垂直判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 得到平面；又面，故， 因为，为中点，所以， 因为，面，所以面， 【小问2详解】 过点作的垂线交BC于点， 因为平面，且，平面， 所以，， 故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为为的中点，则， 所以，，， 又，所以，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故， 易得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角余弦值为. 18. 在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分别选择①②③，根据椭圆的几何性质，求得的值，即可求解； （2）由题意可以设直线的方程为，联立方程组，求得，，所以，，结合的面积列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：选①条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为. 选②条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，过，则，∴， 所以椭圆的方程为. 选③条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，， 又由，则，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由题意可以设直线的方程为， 由，得， 可得， 设，，所以，， 所以的面积 ， 因为的面积为，所以，解得， 所以直线方程为或. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若有且只有两个零点，求证：. 【答案】（1）极大值0，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过二次求导的方法来求得单调区间和极值. （2）通过换元法化简解析式，将问题转化为,有且只有两个零点，利用导数研究的零点，由此证得. 【小问1详解】 当时,, 令则在上单调递减 ,又故存在唯一的,使即可推出 又, 在上恒为正,在上恒为负, 在上单调递增,在上单调递减, ,无极小值. 【小问2详解】 令则 在上单调递增,在上单调递减,又,有且只有一个零点有且只有两个零点等价于,有且只有两个零点, 令,, 当时,,在上单调递增,不合题,舍. 当时,, 在上单调递增,在上单调递减,又,,所以只需 此时有且只有两个零点,不妨设, 令, 则 ,,在上单调递增, ,, 又,又,在上单调递减,. 【点睛】导数在研究函数过程中，主要是工具的作用，可以求得函数的单调区间、极值、最值和零点等，也可利用导数来证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁市实验中学2022级高三上学期1月月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 已知等差数列前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 4. 要得到的图象，只需把图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标变为原来倍，横坐标不变 D. 纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 5. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C D. 6. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 7. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800 人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.94 B. 0.96 C. 0.75 D. 0.78 8. 已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（ ） A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，若，则（ ） A. B. z在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 虚部为3 10. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措．在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近个月的出口额情况统计，若已求得关于的线性回归方程为，则（ ） 月份编号 出口额/万元 A. 与成正相关 B. 样本数据的第40百分位数为 C. 当时，残差的绝对值最小 D. 用模型描述与的关系更合适 11. 已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若点坐标为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在终边上，则__________． 13. 由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数. 14. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值； （2）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间. 16. 设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； （1）求数列的通项公式； （2）若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若有且只有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$