精品解析：福建省龙岩市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题

龙岩市2024~2025学年第一学期期末高一教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上. 1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性求集合B，再结合Venn图运算求解即可. 【详解】因为，且 图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 2. 若角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角终边上一点，所以. 故选：B. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 若，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数函数的单调性和指数函数的单调性，再利用0，1比较大小即可得解. 【详解】因为，所以． 故选：D. 5. 若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质得到方程，求出，从而，由指数函数性质得到所过定点坐标. 【详解】为幂函数，且在区间上单调递增， 由题意得且，解得， 故， 令得，则， 所以的过定点. 故选：B 6. 分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勒洛三角形的性质与弧长公式，求得等边三角形的边长，利用扇形面积公式以及三角形面积公式，结合图形组合，可得答案. 【详解】设等边的边长为，的长度为，解得， 以为圆心，所得的扇形的面积为， 等边的面积为， 勒洛三角形的面积为. 故选：A. 7. 若，，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角和差的正弦及正切公式计算求解得出，最后应用对数运算化简求值. 【详解】因为， 又因为，所以 所以， ， 则. 故选：A.        8. 若函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由得， 在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 记，因此时，， 函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数， 即函数与函数的交点个数， 令，它在上是减函数，，，，，当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点， 所以的零点个数为3. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数的零点转化为函数的图象交点，并作出图象是求解的关键. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象 C. 的一个对称中心是 D. 当时，函数的值域是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质判断ACD；利用平移变换求出解析式判断B. 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，是的对称中心，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：AC 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性求解即可判断A；结合指数运算利用基本不等式求解即可判断B；变形后利用基本不等式求解判断C；结合指数函数单调性利用基本不等式求解判断D． 【详解】对于A，因为，则，故，当且仅当， 即时等号成立，因为在定义域上单调递增， 所以，故A正确； 对于B，由，所以当且仅当， 即时的最小值为8，故B错误； 对于C，由题得，故 ， 所以当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当，即时时等号成立，此时有最小值8，即， 即，又单调递增且，所以，故D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为单调减函数 B. C. 若，使得成立，则 D. 函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为20 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性及单调性的性质判断A；结合指数运算得，即可判断B；结合函数的对称性，参变分离得在有解，然后利用指数函数的单调性求得函数最值即可判断C；画出两个函数在同一坐标系下的图象，根据对称性和周期性求和判断D. 【详解】对于A，易知当时，，时， 由单调递增可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误； 对于B，易知函数满足， 因此可得关于对称，，即B正确； 对于C，由，即， 即在有解，因为，所以， 所以，所以可得，解得，即C错误； 对于D，画出函数以及的如下图所示： 易知也关于对称，的周期为4， 一个周期与有两个交点，所以与在共20个交点， 即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式的性质、指数幂的运算及对数的运算性质求解. 【详解】 . 故答案为：. 13. 函数（，）在一个周期内的如图所示，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求出的值． 【详解】根据函数（，）在一个周期内的图像， 可得,解得， 再根据最高点的坐标，可得, 结合的范围，可得，所以， 所以， 故选： 14. 若函数的值域为，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先把函数化简结合指数函数的值域应用已知得出，再结合基本不等式计算得出最大值即可. 【详解】， 因为，所以， 所以函数值域为，故， 则 ，因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）用定义法证明函数在区间上单调递增； （2）对任意的都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 取任意，，且， 有， 由，可得，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （2）结合函数的单调性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上单调递增， 可得在上，， 依题意得，， 又，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）若，且，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简得，再利用同角三角函数基本关系求得，即可得解； （2）结合已知角的范围及同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的正弦公式求得，然后根据角的范围求解角即可. 【小问1详解】 ， 由，得，又，所以，所以. 【小问2详解】 由得，所以， 又，所以. 由于，故，，， 所以，，故， ， 所以 ， 又因为，故. 17. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，建立方程，结合对数的运算公式，可得答案； （2）代入（1）所得函数解析式，利用配方法与换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由题意得：，即， 所以， 其中 ， 所以，解得：. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 令，当且仅当时取等号， ， 故的最小值为， 等价于，解得：； 或，无解. 综上：. 18. 已知函数，其中，. （1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值； （2）若，且存在，，使成立，求的取值范围； （3）若，，且不等式对恒成立，求的值. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数对称轴列式求解即可； （2）结合函数的最大值为，令，由题意转化为函数在区间上至少存在两个最大值点，根据正弦函数的性质列不等式求解即可； （3）问题转化为：不等式对恒成立，分类讨论研究的函数值符号，转化为当或时，，当时，，设函数，根据对称性得，由求得，即可得解. 【小问1详解】 当时，，由已知得， 得，由，故当时，有最小正值3； 【小问2详解】 当时，，其最大值为， 由已知条件，存在，，令， 则函数在区间上至少存在两个最大值点， 则，即，所以的取值范围为； 【小问3详解】 时，问题转化为： 不等式对恒成立， 由，则， 当或时，即或时，， 当时，即时，， 所以当或时，， 当时，， 设函数，则在上单调递增，在上单调递减， 且函数的关于直线对称，所以， 所以，解得， 又由，解得， 所以. 19. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数. （1）证明：； （2）求证：函数存在唯一零点且； （3）令，对任意，，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：右边 左边. 所以 （2）证明：当时，，所以单调递增. 又，由于，而， 所以.又， 所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.- 当时，，所以，则在上无零点； 当时，，所以， 则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点 所以，且， 则. 由函数的单调性得函数在上单调递减， 则，故 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证； （2）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定在上有且仅有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证； （3）由题设知对任意，，成立，而，故对于任意成立，结合对数函数性质，继而转化为对于任意成立，结合解不等式以及函数单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，对任意，，都有，求实数的取值范围. 因为对于任意都有成立， 所以成立. 因为当且仅当时等号成立， 所以 即对于任意成立， 又需满足，对于任意成立，则， 由，可得，所以. 式可化为， 即对于任意成立，即成立， 即对于任意成立， 因为，所以对于任意成立， 即对于任意成立，而，所以， 又，可得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛： （1）对于证明连续函数在区间内有唯一零点的问题，可以寻找命题的一个充分条件：在区间上是单调函数，并在区间内存在两个特殊值，，使得； （2）对于由函数不等式恒成立求解参数范围的问题，通常结合函数的单调性将不等式恒成立转化为函数最值问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市2024~2025学年第一学期期末高一教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上. 1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（ ） A. B. C. D. 6. 分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 8. 若函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象 C. 的一个对称中心是 D. 当时，函数的值域是 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为单调减函数 B. C. 若，使得成立，则 D. 函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为20 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 函数（，）在一个周期内的如图所示，则______. 14. 若函数的值域为，且，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）用定义法证明函数在区间上单调递增； （2）对任意的都有成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）若，且，，求的值. 17. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 18. 已知函数，其中，. （1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值； （2）若，且存在，，使成立，求的取值范围； （3）若，，且不等式对恒成立，求的值. 19. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数. （1）证明：； （2）求证：函数存在唯一零点且； （3）令，对任意，，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $