第2章二次函数章末检测卷-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第2章二次函数章末检测卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（  ） A． B． C． D． 3．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．根据如表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A． B． C． D． 5．若二次函数的图象经过点，，，则的大小关系正确的为（　　） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 7．二次函数的顶点坐标是 ． 8．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是 ． 9．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 10．已知抛物线与x轴交于A，B两点，若A的坐标是，则B的坐标是 ． 11．已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，则线段的长为 ． 13．自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，则k的值为 ． 三、解答题 15．已知，二次函数中的，满足如表． … 0 1 2 … … 2 … (1)求，，的值； (2)结合表格，直接写出满足什么条件时，随的增大而减小． 16．已知抛物线的对称轴为． (1)求的值； (2)如果将此抛物线向右平移个单位后，新的抛物线经过点，求新抛物线的解析式． 17．已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 18．某公司自主设计了一款成本为100元的保暖衬衣，并投放市场进行试销售，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该公司采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设该保暖衬衣的售价单价为元，每月销售量为件． (1)求出与之间的函数关系式； (2)设该店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该店店主决定每月从利润中捐出780元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11000元，请直接写出该保暖衬衣销售单价的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点．    (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)求抛物线的函数表达式． (3)将正方形沿轴向右平移，使点落在抛物线上，求平移的距离． 20．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线于点D，交该抛物线于点E． (1)求直线的表达式； (2)若的面积取得最大值，求出这个最大值； (3)当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章二次函数章末检测卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C C B 1．D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 2．B 【分析】本题主要考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变次项的系数：关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点． 【详解】解：∵函数的顶点为， ∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为， ∴将函数的图像向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出的长是解题关键．先求出的长，再利用长方形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：米， 则菜园的面积， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的函数值的正负情况即可方程的根的范围． 【详解】根据表中数据得到时，，时，则x取6.18到6.19之间的某个数时，使，于是可判断方程为常数)的一个解的范围是． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线的计算，二次函数增减性是解题的关键． 根据题意可得，图象开口向下，且对称轴直线为，则离对称轴越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∵， ∴图象开口向下，且对称轴直线为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故选：C ． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 7． 【分析】此题考查了二次函数的性质．直接利用顶点式解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是：． 故答案为：． 8．45 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴方程为， ∵点和点B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为， 故答案为． 11． 【分析】本题考查了二次函数的最值，先将点代入二次函数，得出，然后求出，求出最大值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴ ， 当时，有最大值，且为， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴直线的计算，二次函数的对称性，掌握二次函数对称轴直线的计算，二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据题意可得二次函数对称轴直线为，由题意可得点到对称轴直线的距离为，点关于对称轴对称，由此即可求解． 【详解】解：∵点、点， ∴二次函数对称轴直线为， ∵抛物线与轴交于点， ∴点到对称轴直线的距离为， ∵轴， ∴点关于对称轴对称， ∴， 故答案为：4 ． 13．50 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据函数解析式直接将代入求解即可． 【详解】解：∵，刹车距离为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：刹车时的速度为． 故答案为：50． 14． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先求出，设设点C的坐标为，则点D的坐标为，用含c的式子表示出h，再将代入抛物线解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴， ∵抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且， ∴， ∴设点C的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴抛物线， 把点代入得， 解得， 故答案为：． 15．(1)，， (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象与性质，正确求出函数表达式是解答的关键． （1）先由表格数据得到二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故设顶点式求解函数表达式，进而可求解； （2）根据表格数据和二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设函数的表达式为，把代入， 得，解得， ． ，，； （2）解：由表格可知，二次函数图象的对称轴为直线，又， ∴当时，随的增大而减小． 16．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的性质等知识点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴求得m的值即可； （2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则列出平移后的抛物线的解析式，然后将代入解得n即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴，解得：． （2）解：由（1）知，， ∴此抛物线的表达式为， ∵向右平移n个单位后，所得抛物线的表达式为， ∵新的抛物线经过点， ∴，即，解得或11． ∴新的抛物线解析为或， ∴新的抛物线解析为或． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，根据二次函数的定义和性质求出的值是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，，解得或，进而得到； （2）根据二次函数的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： 是二次函数， ，， 或， 当时，随的增大而减小， 函数图象开口向上， ， ； （2）解：有最大值， 函数图象开口向下， ， ， 该函数的表达式为． 18．(1) (2)当销售单价为150元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元 (3) 【分析】对于（1），根据销售量等于原销售量加上每月增加的销售量可得关系式； 对于（2），总利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再讨论极值； 对于（3），先表示出每月的利润，再根据不等关系得出不等式，然后求出一元二次方程的解，最后根据二次函数图象的性质求出解集即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值， 即当时，． 所以当销售单价为150元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元； （3）解：． 根据题意可知． 当， 解得． ∵抛物线开口向下， ∴的解集是． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的关系式，求二次函数关系式，二次函数图象的性质，根据等量关系得出函数关系式是解题的关键． 19．(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，待定系数法求解析式，图形的平移，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的图示，正方形的性质得到，点到轴的距离为，到轴的距离为，由此即可求解； （2）把点代入，运用待定系数法即可求解； （3）令得到，由此即可得到平移距离． 【详解】（1）解：∵三个小正方形的边长均为1，，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点， ∴，则， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 故答案为：；； （2）解：把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：当时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴平移的距离为． 20．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出点和点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，，表示出的长，然后利用得到解析式，配方得到最大值即可； （3）分为和两种情况，利用对应边成比例解题即可． 【详解】（1）解：令，则， 或， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得：， ， （2）解：由（1）可得的解析式为， 轴 设，，的面积为， ， ， 的面积最大值为； （3）解：，， 是直角三角形， 设， ①如图1，当时，， ， ， （舍去）或， ； ②如图2，当时，过点作轴，垂足为点， ，， ， ， ， ， ， ， （舍去）或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$