阶段拔尖专训-分类讨论思想在圆中的应用类型 课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册

阶段拔尖专训 分类讨论思想在圆中的应用类型 北师大版 九年级下册 1 1 温馨提示：点击 进入讲评 2 3 4 5 6 D 7 8 9 10 11 相交或相切 12 3或7 习题链接 1. P为半径为12 cm的⊙O上一点，Q为平面内一点，且PQ＝10 cm，求OQ的最值. 【解】如图所示． ∵PQ＝10 cm， ∴点Q在以P为圆心，半径为10 cm的圆上． ∴当O，P，Q三点在同一条直线上时，线段OQ有最值． 类型1 点与圆的位置关系不唯一 3 返回 ∴当点Q在⊙O内时，OQ的最小值OQ1＝OP－PQ1＝12－10＝2(cm)； 当点Q在⊙O外时，OQ的最大值OQ2＝OP＋PQ2＝ 12＋10＝22(cm)． 4 2. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为3，求此圆的半径. 返回 5 3. OA与OB是⊙O的两条半径，且∠AOB＝120°，P为⊙O上一点，求∠APB. 类型2 点在圆上的位置不唯一 6 返回 7 4. 已知A，B两点的坐标分别为(2tan 60°，0)，(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，求点P的坐标. 8 9 返回 10 5. 已知⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于点M，若OM∶OA＝3∶5，求弦AC的长度. 类型3 点在直径上的位置不唯一 11 返回 12 6. 已知AB是⊙O的内接正十边形的一边，AC是⊙O的内接正十五边形的一边，求以BC为边的内接正多边形的中心角的度数. 类型4 弦与弦的位置关系不唯一 13 返回 14 7. ⊙O中，直径MN＝50 cm，弦AB∥CD，且AB⊥MN于点P，CD⊥MN于点Q，AB＝40 cm，CD＝30 cm，求PQ 的长. 15 16 返回 当点O在AB，CD之间时，如图②，PQ＝OQ＋OP＝20＋ 15＝35(cm)． 综上所述，PQ的长为5 cm或35 cm. 17 8. 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数. 类型5 弦所对的圆周角不唯一 18 返回 19 9. [2024菏泽一模]在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，已知直线AB和⊙C有交点，则r的取值范围为(　　) A. r>3 B. r>2.4 C. r<4 D. r≥2.4 类型6 直线与圆的位置关系不唯一 20 【答案】D 返回 21 返回 10. 已知圆O的直径为6 cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3 cm，则直线l与圆O的位置关系是__________. 相交或相切 22 11. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2 cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10 cm处. 若⊙P以2 cm/s的速度由A向B的方向移动，则________s后，⊙P与直线CD相切. 3或7 类型7 切点的位置不唯一 23 24 返回 25 12. 已知在⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为 6 cm，⊙O的半径为10 cm，求AB的长. 类型8 圆心的位置不唯一 26 27 返回 28 【解】如图所示，设⊙O的半径为r， 如图①，当点P在⊙O外时，r＝＝2； 如图②，当点P在⊙O内时，r＝＝5. 综上，此圆的半径为2或5. 【解】如图所示，当P点在⊙O的优弧AB上的P1点时， ∠AP1B＝∠AOB＝×120°＝60°； 当P点在⊙O的劣弧AB上的P2点时， ∠AP2B＝180°－∠AP1B＝120°. 综上，∠APB的度数是60°或120°. 【解】∵A，B两点的坐标分别为(2tan 60°，0)，(0，2)， ∴OA＝2，OB＝2.∴AB＝＝4. ∵∠AOP＝45°，∴点P横纵坐标相等，可设P(a，a)． ∵∠AOB＝90°，∴AB是直径．∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB的中点．设AB的中点为C，则C(，1)． 如图，当点P在x轴上方时，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于点E交CF于点F.∴∠CFP＝90°. ∴PF＝a－1，CF＝a－，PC＝2. ∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得(a－)2＋(a－1)2＝22. ∴a＝1＋.∴点P的坐标为(＋1，＋1)． 当P′点在x轴下方时，可知此时点P′与(＋1，＋1)关于圆心对称．∴P′(－1，1－)． ∴P的坐标为(＋1，＋1)或(－1，1－)． 【解】如图①，∵AB＝10，弦CD⊥AB于点M. 若OM∶OA＝3∶5，∴OA＝OC＝5，OM＝3， ∴AM＝8，CM＝＝4， ∴AC＝＝4； 如图②，同理可得OA＝OC＝5，OM＝3， ∴AM＝2，CM＝＝4， ∴AC＝＝2. 综上所述，弦AC的长为4或2. 【解】如图所示．∵AB是⊙O的内接正十边形的一边，AC是⊙O的内接正十五边形的一边， ∴∠AOB＝＝36°，∠AOC＝＝24°. 当点C在外时，∠BOC＝36°＋24°＝60°； 当点C在上时，∠BOC＝36°－24°＝12°. ∴以BC为边的内接正多边形的中心角的度数为60°或12°. 【解】如图所示，连接OA，OC， ∵MN＝50 cm， ∴OA＝OC＝MN＝25 cm. ∵AB⊥MN于点P，CD⊥MN于点Q，AB＝40 cm，CD＝ 30 cm，∴AP＝AB＝20 cm，CQ＝CD＝15 cm. ∵AP2＋OP2＝OA2，CQ2＋OQ2＝OC2， ∴OP＝15 cm，OQ＝20 cm. ∴当点O在AB，CD同侧时，如图①，PQ＝ OQ－OP＝20－15＝5(cm)； 【解】如图，连接OA，OB.∵OA＝OB＝AB， ∴△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°. 当点P在优弧AB上时，∠P＝∠AOB＝30°； 当点Q在劣弧AB上时，∠Q＝180°－∠P＝150°. ∴弦AB所对的圆周角为30°或150°. 【点拨】过点C作CD⊥AB于D，如图所示． ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5. ∵△ABC的面积＝AB·CD＝AC·BC， ∴CD＝＝＝2.4，即圆心C到AB的 距离d＝2.4，∴以C为圆心的⊙C与直线AB有交点，则r的取值范围是r≥2.4.故选D. 【点拨】当⊙P1在直线CD左侧时，过点P1作P1E⊥CD交CD于点E，如图①， ∴P1E＝2 cm，∠P1EO＝90°. ∵∠AOD＝30°， ∴P1O＝2P1E＝4 cm， ∴PP1＝OP－OP1＝10－4＝6(cm)， 则⊙P向右移动了6 cm，所用时间为＝3(s)； 当⊙P2在直线CD右侧时，如图②，过点P2作P2F⊥CD交CD于点F，则P2F＝2 cm，∠P2FO＝90°. ∵∠COB＝∠AOD＝30°， ∴P2O＝4 cm， ∴PP2＝OP＋OP2＝14 cm， 则⊙P向右移动了14 cm，所用时间为＝7(s)． 综上，3 s或7 s后，⊙P与直线CD相切． 【解】分两种情况： (1)当圆心O在△ABC内部时，如图①，连接AO并延长交BC于点D，连接OB. 易得AD⊥BC，则OD＝6 cm， ∴BD＝＝＝8(cm)， AD＝OA＋OD＝16 cm. ∴AB＝＝＝8(cm)． (2)当圆心O在△ABC外部时，如图②，连接OA交BC于点D，连接OB， 易得AD⊥BC，AD＝10－6＝4(cm)． 同(1)得BD＝8 cm， ∴AB＝＝＝4(cm)． 综上所述，AB的长为8 cm或4 cm. $$