阶段拔尖专训-辅助圆模型 课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册

阶段拔尖专训 辅助圆模型 北师大版 九年级下册 1 如图，若P为动点，且AB＝AC＝AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB长为半径. 圆的定义：平面内到定点的 距离等于定值的所有点构成 的集合. 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧. 模型1 动点定长模型(圆的定义) 2 3 返回 【答案】A 4 2. 如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，求∠CAD的度数. 5 返回 【解】∵AB＝AC＝AD， ∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上． ∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC. ∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CBD＝44°. ∴∠CAD＝88°. 6 如图，固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A，B，C三点共圆，AB为直径. 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧. 模型2 定边对直角模型(直角对直径) 7 3. [2024河南]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，则AE的最大值为________，最小值为________. 8 9 10 返回 11 4. [2024连云港月考]如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，求线段DP的最小值. 12 【解】∵动点F，E的速度相同，∴DF＝AE. 又∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AD＝AB＝2，∠BAE＝∠ADF＝90°. 13 返回 14 如图，固定线段AB所对同侧动角∠P＝∠C，则A，B，C，P四点共圆. 根据圆周角定理：在同圆 或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角都相等. 寻找隐圆技巧：若AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆. 模型3 定边对定角模型(定弦定角模型) 15 5. [2024厦门月考]如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为________. 16 17 返回 18 6. 如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为______________. (0，6)或(0，－6) 19 返回 20 7. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别是BC和AC上的动点，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，求CF的最小值. 21 【解】∵△ABC是等边三角形，AB＝6， ∴AB＝BC＝6，∠ABC＝∠BCE＝60°. 又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)． ∴∠BAD＝∠CBE. ∴∠AFE＝∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC＝60°. ∴∠AFB＝120°. 22 返回 23 如图，若在同一平面上A，B，C，D四个点满足∠ABC＋∠ADC＝180°，则A，B，C，D四点共圆. 寻找隐圆技巧：(1)四边形对角互补； (2)四边形外角等于其内对角. 模型4 四点共圆模型(对角互补模型与等弦对等角) 24 25 返回 26 9. [2024西安长安区月考]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，求DE的最小值. 27 【解】∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴A，B，C，D四点共圆．连接BD，取BD的中点为点O，则圆心为点O，连接AO，CO，取AO的中点为F，连接EF，DF，如图． ∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°. ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形． ∴OA＝AD＝2. 28 返回 29 1. [2024盐城期中]如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为(　　) A. 2 B. C. 3　 D. 【点拨】如图，连接AM. ∵点B和点M关于直线AP对称， ∴AM＝AB＝3. ∴M在以A圆心，3为半径的圆上． ∴当A，M，C三点共线时，CM最短． 此时AC＝＝5，∴MC＝5－3＝2.故选A. 2＋1 2－1 【点拨】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°. ∴点E是在以AB为直径的圆上运动．∵CD＝1，且CD是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动． ∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠CBA＝45°. ∵AB为定值，∴当cos∠BAE最大，即∠BAE最小时，AE最大，当cos∠BAE最小，即∠BAE最大时，AE最小． 如图①，连接CE，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，则∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴AD＝＝2. ∵＝，∴∠CEA＝∠CBA＝45°. ∴∠ECD＝45°＝∠CED. ∴DE＝CD＝1. 此时AE＝2＋1，即AE的最大值为2＋1. 如图②，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小． 同理可得AD＝2，DE＝1. 此时AE＝2－1， 即AE的最小值为2－1. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF.∴∠ABE＝∠DAF. 易知∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠FAD＋∠BEA＝90°. ∴∠APE＝90°.∴∠APB＝90°.由题易知点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧， 设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，AG＝BG＝AB＝1.在Rt△GAD中，DG＝＝＝.∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG－PG＝－1，即线段DP的最小值为－1. ＋1 【点拨】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC. ∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°. 过点O作OD⊥BC，垂足为点D. ∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1. 又∵∠BOC＝90°，∴OD＝BC＝1. ∴OB＝＝. ∵BC＝2保持不变， ∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大． ∴当高过圆心时，△ABC的面积最大． 此时BC边上的高为＋1， ∴△ABC的最大面积是×2×(＋1)＝＋1. 【点拨】如图，在x轴的上方作等腰直角三角形ABF， FB＝FA，∠BFA＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F. ∵A(－2，0)，B(3，0)，△ABF是等腰直角三角形， ∴易得F(，)．∴FC＝FA＝. 设C(0，m)，则＋＝，解得m＝6或－1(不合题意，舍去)．∴C(0，6)．根据对称性可知C′(0，－6)也符合条件．综上所述，点C的坐标为(0，6)或(0，－6)． 易知点F的运动路径是以点O为圆心的如图所示的，连接OB，OC，OC交于点N，当F与N重合时，CF的值最小，最小值为CN的长．由∠AFB＝120°， AB＝6，易知ON＝OB＝2，∠OBC＝90°. ∴OC＝＝＝4. ∴CN＝OC－ON＝4－2＝2.∴CF的最小值为2. 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝________. 【点拨】如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC. ∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，四边形EFCB的对角互补． ∴B，C，F，E四点共圆．以O为圆心，OB长为半径作⊙O， 则∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD. ∴＝＝. 又∵F为OA的中点， ∴∠AFD＝90°，AF＝1，∴DF＝＝. 易知EF是△AOC的中位线． 又∵OC＝OA＝2，∴EF＝OC＝1. ∵DF－EF≤DE，∴当D，E，F三点共线时，DE取得最小值，最小值为－1. $$