1.1等腰三角形能力提升训练2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.1等腰三角形能力提升训练 考试范围：1.1等腰三角形；考试时间：50分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分20分，每小题4分） 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 2．如图，在△ABC中，点D是BC上一点．连接AD，已知AB＝5，∠B＝70°，∠C＝35°，若∠BAD＝40°，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 （1题图） （2题图） （3题图） （4题图） 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝70°，中线CD交角平分线BE于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．115° B．125° C．135° D．140° 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A．36° B．38° C．48° D．84° 5．如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 6．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延长AB至点E，连接CE，若△AEC的周长为25，则△BCE的周长为 　 　． 7．已知△ABC为等腰三角形，它的一个外角为100°，则∠B的度数是　 　． 8．如图，点D，E都在△ABC的边上，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点 G，F．若BE+CD＝25，则DE﹣FG＝　 　． 9．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 　 　cm． 10．如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝2，AE＝3，则AC＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分60分） 11．（8分）在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，求∠BAC的度数． 12．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE＝CF，∠BDE＝∠CEF． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 13．（8分）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1：在等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2：在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式：在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）变式中∠B的度数为 　 　． （2）解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 14．（9分）如图，等边△ABC中，D在边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG． 15．（9分）已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝DC，点E在边AB上，∠EBC＝∠EDC． （1）求证：EB＝ED． （2）当∠A＝90°，求证：∠BED＝2∠BDA． 16．（9分）如图所示，已知Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点． 求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD＝2CE． 17．（9分）综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD＝AC． （1）解决问题：小敏的证明思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE．（如图2） 小洁的证明思路：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE．（如图3） 请你任意选择一种思路完成证明． （2）问题升华：如图4，在△ABC中，若∠ACB＝2∠B，∠ACB≠90°，AD是△ABC外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB，AC，CD之间的数量关系又如何？请证明． 参考答案 一．选择题（共5小题，满分20分，每小题4分） 1．解：如图： ∵在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°， 当∠CAP＝∠CPA时，△CAP为等腰三角形； 当∠BAP＝∠APB时，△BAP为等腰三角形； 当∠ABP＝∠BAP时，△BAP为等腰三角形； 当P与C重合时，△APB为等腰三角形； 当P与B重合时，△APC为等腰三角形； 当∠ACP＝∠CAP时，△CAP为等腰三角形； 当∠PAC＝∠APC时，△CAP为等腰三角形； 当∠BAP＝∠BPA时，△BAP为等腰三角形； 综上，满足条件的点P的位置有8个． 故选：C． 2．解：∵∠B＝70°，∠BAD＝40°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝70°， ∴AD＝AB＝5， ∵∠ADB＝∠CAD+∠C， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝35°， ∴∠CAD＝∠C， ∴CD＝AD＝5， 故选：B． 3．解：在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝70°， ∴CA＝CB， ∵CD是△ABC的中线， ∴CD是△ABC的高， ∴∠BDF＝90°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠DBF＝35°， ∴∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝90°+35°＝125°． 故选：B． 4．解：在△ABC中，∠BAC＝108°， ∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是锐角， 由折叠可知∠AC′D＝∠C， ∵△BC′D是等腰三角形， ∴∠B＝∠BDC′， ∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B， ∴∠C＝48°． 故选：C． 5．解：∵AC＝BC，∠C＝40°， ∴∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠C）（180°﹣40°）＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝35°， ∴∠AEB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE＝75°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝15°， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 6．解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AC＝6， ∵△AEC的周长为25， ∴AE+EC＝25﹣AC＝25﹣6＝19， ∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝BE+AB+CE＝AE+EC＝19， 故答案为：19． 7．解：∵一个外角为100°， ∴与其相邻的内角为80°， 如果80°为顶角，当∠B为顶角， ∴∠B＝80°， 当∠B为底角， ∴∠B＝50°， 如果80°为底角，当∠B为顶角， ∴∠B＝20°， 当∠B为底角， ∴∠B＝80°， 综上所述，∠B的度数是20°或50°或80°， 故答案为：20°或50°或80°． 8．解：∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD， ∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC， ∴BE＝EG，CD＝DF， ∵BE+CD＝EG+DF＝25， ∴DE﹣FG＝EG+DF＝25． 故答案为：25． 9．解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PD∥AC ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝10（cm）， 故答案为：10． 10．解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠DCE， ∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠CDE， ∴∠DCE＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∵DE＝2，AE＝3，， ∴AC＝AE+CE＝3+2＝5． 故答案为：5． 三．解答题（共7小题，满分60分） 11．解：分两种情况： 当高AH在△ABC内，在HC上截取HD＝BH，连接AD，如图： ∵AH⊥BC，BH＝DH， ∴AH是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴∠ABH＝ADH＝70°， ∵AB+BH＝CH，CD+DH＝CH， ∴AB＝CD， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠ADH＝∠C+∠DAC， ∴∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABH＝75°， 当高AH在△ABC外，如图： ∵AB+BH＝CH，BC+BH＝CH， ∴AB＝BC， ∴∠C＝∠BAC， ∵∠ABH＝∠C+∠BAC， ∴∠C＝∠BAC＝35°， 综上所述：∠BAC的度数为：75°或35°． 12．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（AAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴， 在△BDE中，由三角形内角和定理，得∠B+∠BED+∠BED＝180°， ∴∠BED+∠BED＝180°﹣∠B＝110°， 又∵∠BDE＝∠CEF， ∴∠CEF+∠BED＝110°， ∴∠DEF＝180°﹣（∠CEF+∠BED）＝180°﹣110°＝70° ∴∠DEF的度数为70°． 13．解：（1）当∠A为顶角，则， 当∠A为底角，若∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×80°＝20°， 若∠B为底角，则∠B＝80°， ∴∠B＝50°或20°或80°； （2）分两种情况： ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个， ②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则， 若∠A为底角，则∠B＝x°或∠B＝（180﹣2x）°， 当且且180﹣2x≠x，即x≠60时， ∠B有三个不同的度数， 综上①②，当0＜x＜90且x≠60，∠B有三个不同的度数． 14．证明：过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝DF＝AF， ∴CD＝BF． 又∵AD＝CE， ∴FD＝CE． 又∵∠DFB＝∠DCE＝60°， 在△BFD和△DCE中， ∴△BFD≌△DCE（SAS）， ∴DB＝DE． 又∵DG⊥BC， ∴BG＝EG． 15．证明：（1）∵BC＝DC， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠EBC＝∠EDC， ∴∠EBC﹣∠CBD＝∠EDC﹣∠CDB，即∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED； （2）∵∠A＝90°， ∴∠BDA+∠ABD＝90°＝∠A， 由（1）得：∠EBD＝∠EDB， ∴∠BDA+∠ABD＝∠BDA+∠EDB＝∠A， ∴∠BED＝∠A+∠ADE＝∠BDA+∠EDB+∠ADE＝∠BDA+∠BDA＝2∠BDA． 16．证明：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠FBE＝∠CBE． ∵CE⊥BD， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°， 又∵BE＝BE， ∴△BEF≌△BEC， ∴BF＝BC，即△BCF等腰三角形． （2）∵BF＝BC，CE⊥BD， ∴CF＝2CE＝2EF， ∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠AFE＝90°， ∴∠ADB＝∠BFE， 又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°， ∴△ABD≌△ACF， ∴BD＝CF＝2CE． 17．解：（1）小敏的证明思路：如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠EAD， 在△ABD与△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED， ∵∠AED＝∠EDC+∠C，∠B＝2∠C， ∴∠EDC＝∠C， ∴DE＝EC， ∴AB+BD＝AE+DE＝AE+CE＝AC． 小洁的证明思路：如图3，延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE，则∠E＝∠BAE， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE， ∴∠ABC＝2∠E． ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∴AE＝AC， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC． ∵∠ADE＝∠DAC+∠C，∠DAE＝∠BAD+∠BAE，∠BAE＝∠E＝∠C， ∴∠ADE＝∠DAE， ∴AE＝DE＝AC， ∴AB+BD＝BE+BD＝DE＝AC． （2）如图在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接DE， ∵AD平分∠CAF， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD与△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠FED， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FED＝2∠B， ∵∠FED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE， ∴BE＝CD， ∴AB＝BE﹣AE＝CD﹣AC． 第4页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$