精品解析：四川省成都市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024~2025学年度上期期末高一年级调研考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 1 6. 已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知，且，则=（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 的定义域为R B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为R 11. 关于的不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为______． 13. 声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则______． 14. 设函数，若，则=______；若有三个零点，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）分别计算，，和的值； （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么恒等关系？并证明你的结论． 17. 已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． （1）求的解析式； （2）在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 18. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值； （3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 19. 已知函数，其中． （1）判断并证明在上的单调性； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，求图象的对称中心； （3）把集合称作函数关于函数在区间上的倍集．是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上期期末高一年级调研考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词的命题的否定为存在量词命题，可得结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 命题“，”的否定是“，” 故选：D. 2. 如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式，结合题意，可得答案. 【详解】鲁洛克斯三角形的周长为. 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质及充分条件和必要条件的定义分别判断充分性和必要性可得结论. 【详解】若，则，又， 所以， 所以当时，“”可推出“”， 所以当时，“”是“”充分条件， 取，则，，但， 所以当时，由“”不能推出“”， 所以当时，“”不是“”的必要条件， 所以当时，“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简函数解析式，分析函数性质，结合函数性质选择函数的大致图象. 【详解】函数可化为， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 又， 选项ACD，不能同时满足以上要求，又选项B满足以上要求， 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数周期性求解. 【详解】. 故选：D 6. 已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理以及直角三角形的面积公式，利用重要不等式，可得答案. 【详解】设直角三角形的两条直角边分别为，则， 直角三角形的面积为，当且仅当时取等号. 故选：C. 7. 已知，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合同角关系及角的范围求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为，故， 又， 所以，， 又， 所以. 故选：A. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性证明，再证明，，，由此可得结论. 【详解】因为函数为增函数，又，， 所以， 故， 所以， ，又， 所以，又， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的性质列不等式，集合的包含关系列方程可求结论. 【详解】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 10. 设函数，则（ ） A. 的定义域为R B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为R 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式求定义域，应用奇偶性定义判断奇偶性，再由复合函数的单调性判断在上单调性，由换元法及分式型函数的性质求值域. 【详解】由，显然定义域为，A错； 由，即是偶函数，B对； 由在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增，C对； 令，则在上值域为R，即的值域为R，D对. 故选：BCD 11. 关于的不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论，、，进而讨论参数，研究不等式的解集. 【详解】当时，，不等式不成立， 所以不是不等式的解； 当时，，此时，即， 当时，显然不成立； 当时，则，此时无解； 当时，则，又，则解集为； 当时，，此时，即， 当时，恒成立，则解集为； 当时，可得，又，则解集为； 当时，可得，此时无解. 综上，解集可能为、、. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件先确定函数的解析式，结合指数函数性质求结论. 【详解】是函数的反函数， 所以， 所以的图象经过的定点. 故答案为：. 13. 声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数的运算性质结合关系求即可. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若，则=______；若有三个零点，则a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得对数方程，即可求得第一空答案；判断函数的零点的分布情况，由此列出相应不等式组，即可求得第二空答案. 【详解】由，得， 即； 当时，在上单调递增， 当时，， 若有三个零点，则时函数必有一个零点，在时函数必有两个零点， 不妨设时两零点为， 则需满足，解得， （其中需比较的大小，如下：，而，即可得） 即a的取值范围为， 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）化简集合，结合集合运算法则求结论； （2）根据集合的包含关系列不等式可求的范围. 【小问1详解】 化简，． 所以或． 当时，． 所以． 【小问2详解】 因为． 又等价于． 所以， 解得的取值范围是． 16. 已知函数． （1）分别计算，，和的值； （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么恒等关系？并证明你的结论． 【答案】（1）；；； （2）发现结论：． 下面给予证明：，且，有 ． 【解析】 【分析】（1）利用特殊角三角函数值代入运算可得； （2）观察归纳（1）可得规律，利用同角三角函数商的关系与平方关系化简求证即可. 【小问1详解】 ； ； ． 【小问2详解】 略 17. 已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． （1）求的解析式； （2）在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 【答案】（1） （2） 函数的大致图象如图 从“形”的角度直观判断： 因为函数与的图象有且仅有两个交点， 所以方程，即有且仅有个不等实根． 从“数”的角度严格论证如下： 显然，只考虑的情形． ①当时，函数在上单调递增． 而且，，所以在有且仅有一个零点． 所以方程，即在有且仅有个实根． ②当时，由，得，即． 解得，或（舍去）． 所以方程在有且仅有个实根． （或解：因为函数在上单调递增． 且，，所以在有且仅有一个零点． 综上所述，方程有且仅有个不等实根． 【解析】 【分析】（1）根据图象所过的点求不同区间上的解析式，进而写出函数的分段函数形式； （2）根据解析式画出函数大致图象判断实根个数，再讨论不同区间，应用方程思想及零点存在性定理确定各区间零点个数，即可得答案. 【小问1详解】 在曲线段OA中，由，即 又，且，解得 设射线AB：．由，解得 故所求解析式为. 【小问2详解】 略 18. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值； （3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】（1），其中，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题设，则且； 【小问2详解】 由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． 【小问3详解】 解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 19. 已知函数，其中． （1）判断并证明在上的单调性； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，求图象的对称中心； （3）把集合称作函数关于函数在区间上的倍集．是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在上单调递增．证明如下： ，，且， 有 ． 因为，所以，，． 故，即． 所以在上单调递增． （2） （3）存在，，理由如下： 假设存在，使得关于在上的倍集不为空集， 则不等式有解， 所以有解． 令，则，即． 整理，得． 设函数即在内有解． 这里，否则不合题意；此时抛物线的开口向上． 又因为有解，所以． 化简，得，解得或． ①当时，抛物线的对称轴． 所以在内恒有解（至少有）． ②当时，抛物线的对称轴． 要使在内有解，则． 解得，或．又，所以． 综上可知，存在常数，使关于在上的倍集不为空集， 其取值范围是． 【解析】 【分析】（1）应用单调性的定义证明即可； （2）令，应用奇偶性的定义判断的奇偶性，即可得对称中心； （3）问题化为判断是否存在，使在上有解，进而化为在上有解求参数，结合二次函数性质求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为． 令，其定义域为， 则， 所以为奇函数， 所以图象的对称中心为． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三小问解决的关键在于结合定义将问题化为判断是否存在，使在上有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $