专题8 二元一次方程组的应用（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学下册章节单元小结及期中期末复习讲义与提优测试卷（人教版2024）

专题8 二元一次方程组的应用（原卷版） 类型一 比赛得分问题 1．（2024春•平湖市期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜x场，负y场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2020秋•通川区期末）2019年11月，我区组织了一次职工篮球联赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段，在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格． （1）若乙队初赛获得4场胜利，问乙队是否有资格参加决赛？请说明理由． （2）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场． 类型二 行程问题 3．（2024•安徽一模）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇，相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地，求两人的速度分别是多少？ 4．（2024秋•怀化期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 类型三 工程问题 5．（2023春•玄武区期末）3台大收割机和1台小收割机同时工作4小时共收割小麦7.2公顷，2台大收割机和3台小收割机同时工作3小时共收割小麦5.7公顷，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 6．（2024春•嘉禾县月考）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． （1）甲、乙工程队每天各施工多少米？ （2）若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 类型四 租车问题 7．（2024秋•南明区期末）为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用45座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 类型五 利润问题 8．（2023春•密云区期末）某公益团体组织“义卖助学，奉献爱心”活动，计划购进红、白两种颜色的文化衫通过手绘设计后进行出售，并将所获利润全部捐资助学．已知该公益团体花费了2400元从批发商城购买了红、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价格及手绘后的零售价格如表所示： 类别 每件批发价格（元） 手绘零售价格（元） 红色文化衫 25 45 白色文化衫 20 35 （1）该公益团体购进红、白文化衫各多少件？ （2）这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该公益团体“义卖助学”活动所获的利润． 9．（2024秋•市中区期末）本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2700元，票价信息如下： 地点 票价 历史博物馆 10元/人 民俗展览馆 20元/人 （1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？ （2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？ 类型六 配套问题 10．（2024春•交口县期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 类型六 面积问题 11．（2019春•济宁期中）如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是5m2，广告牌所占的面积是30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3m2，设长方形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 12．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm． （1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组： ①；②；③；④． 以上四个方程组中，能正确反映题意的有 　；（请直接填写序号） （2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程． 13．（2022•雁塔区模拟）如图，在长方形ABCD中，放入8个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知小长方形的长是宽的3倍多1cm，求出小长方形的长和宽． 14．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的 　宽　的和，另一种是3个小长方形的 　 　的和，可得方程 　 　． 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 　个小长方形的长和 　 　个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 　个小长方形的长与空白小正方形的 　 　的和，可得方程 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 二元一次方程组的应用（解析版） 类型一 比赛得分问题 1．（2024春•平湖市期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜x场，负y场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】设该队胜x场，负y场，根据9场比赛中得到12分列二元一次方程组即可． 【完整解答】解：设该队胜x场，负y场，由题意得 ， 故选：A． 【总结提升】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 2．（2020秋•通川区期末）2019年11月，我区组织了一次职工篮球联赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段，在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格． （1）若乙队初赛获得4场胜利，问乙队是否有资格参加决赛？请说明理由． （2）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场． 【思路引领】（1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设甲队初赛阶段胜x场，则负了（10﹣x）场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【完整解答】解：（1）没有资格参加决赛．因为积分为4×2+（10﹣4）×1＝14＜15． （2）设甲队初赛阶段胜x场，则负了（10﹣x）场， 由题意，得：2x+1×（10﹣x）＝18， 解得：x＝8， 所以，10﹣x＝10﹣8＝2， 答：甲队初赛阶段胜8场，负2场． 【总结提升】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． 类型二 行程问题 3．（2024•安徽一模）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇，相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地，求两人的速度分别是多少？ 【思路引领】（1）设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h，由题意：出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由路程÷速度即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h， 由题意得：， 解得：， 答：小魏的速度为16km/h，小梁的速度为4km/h． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024秋•怀化期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【思路引领】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是（74﹣x﹣y）千米，利用时间＝路程÷速度，结合往、返所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值（即甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路的长度），再将其代入（74﹣x﹣y）中，即可求出甲地到乙地的行驶过程中下坡路的长度． 【完整解答】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是（74﹣x﹣y）千米， 根据题意得：， 解得：， ∴74﹣x﹣y＝74﹣30﹣16＝28． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 类型三 工程问题 5．（2023春•玄武区期末）3台大收割机和1台小收割机同时工作4小时共收割小麦7.2公顷，2台大收割机和3台小收割机同时工作3小时共收割小麦5.7公顷，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 【思路引领】设1台大收割机每小时收割小麦x公顷，1台小收割机每小时收割小麦y公顷，根据“3台大收割机和1台小收割机同时工作4小时共收割小麦7.2公顷，2台大收割机和3台小收割机同时工作3小时共收割小麦5.7公顷”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【完整解答】解：设1台大收割机每小时收割小麦x公顷，1台小收割机每小时收割y公顷． 由题意得：． 解得：． 答：1台大收割机每小时收割小麦0.5公顷，1台小收割机每小时收割0.3公顷． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．（2024春•嘉禾县月考）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． （1）甲、乙工程队每天各施工多少米？ （2）若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【思路引领】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用＝甲工程队费用+乙工程队费用求解”即可解题． 【完整解答】解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意，得： ， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则60a+40a＝1200， 解得a＝12， w＝3000×12+2000×12＝60000（元）． 答：需支付的总费用为60000元． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 类型四 租车问题 7．（2024秋•南明区期末）为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用45座客车x辆，师生共y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据“若学校租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【完整解答】解：∵若学校租用45座客车x辆，则15人没有座位， ∴45x+15＝y； ∵若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满， ∴60（x﹣1）＝y， ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 类型五 利润问题 8．（2023春•密云区期末）某公益团体组织“义卖助学，奉献爱心”活动，计划购进红、白两种颜色的文化衫通过手绘设计后进行出售，并将所获利润全部捐资助学．已知该公益团体花费了2400元从批发商城购买了红、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价格及手绘后的零售价格如表所示： 类别 每件批发价格（元） 手绘零售价格（元） 红色文化衫 25 45 白色文化衫 20 35 （1）该公益团体购进红、白文化衫各多少件？ （2）这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该公益团体“义卖助学”活动所获的利润． 【思路引领】（1）设公益团体购进红色文化衫x件，白色文化衫y件，根据购进红、白两种颜色的文化衫100件共需2400元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×数量，列式计算即可． 【完整解答】解：（1）设公益团体购进红色文化衫x件，白色文化衫y件， 依题意得：， 解得：， 答：公益团体购进红色文化衫80件，白色文化衫20件； （2）（45﹣25）×80+（35﹣20）×20＝1900（元）． 答：该公益团体“义卖助学”活动所获的利润为1900元． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2024秋•市中区期末）本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2700元，票价信息如下： 地点 票价 历史博物馆 10元/人 民俗展览馆 20元/人 （1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？ （2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？ 【思路引领】（1）设参观历史博物馆的有x人，参观民俗展览馆的有y人，根据等量关系：①一共150名学生；②一共支付票款2000元，列出方程组求解即可； （2）原来的钱数﹣参观历史博物馆的钱数，列出算式计算可求能节省票款多少元． 【完整解答】解：（1）设参观历史博物馆的有x人，参观民俗展览馆的有y人， 依题意，得， 解得． 答：参观历史博物馆的有30人，则参观民俗展览馆的有120人； （2）2700﹣150×10＝1200（元）， 答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款1200元． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系，列出二元一次方程． 类型六 配套问题 10．（2024春•交口县期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】本题的等量关系为：生产茶杯人数+生产茶壶人数＝120；茶杯量＝8×茶壶量． 【完整解答】解：∵共有120个工人， ∴x+y＝120． ∵每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，8个茶杯和1个茶壶为一套， ∴200x＝8×50y． ∴． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 类型六 面积问题 11．（2019春•济宁期中）如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是5m2，广告牌所占的面积是30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3m2，设长方形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝3，据此列出方程组． 【完整解答】解：依题意得： ． 故选：A． 【总结提升】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 12．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm． （1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组： ①； ②； ③； ④． 以上四个方程组中，能正确反映题意的有 　①②④　；（请直接填写序号） （2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程． 【思路引领】（1）根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组①②④； （2）根据“这发型的边长相等”和“增加的面积＝减少的面积”列方程组求解． 【完整解答】解：（1）解：由题意得：x﹣5＝y+2且xy＝（x﹣5）2＝（y+2）2＝（x﹣5）（y+2）， 故答案为：①②④； （2）设长方形的长、宽各是x cm，y cm， 则：， 解得：， 答：长方形的长为8cm、宽是1cm． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键． 13．（2022•雁塔区模拟）如图，在长方形ABCD中，放入8个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知小长方形的长是宽的3倍多1cm，求出小长方形的长和宽． 【思路引领】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据小长方形的长是宽的3倍多1cm及AD＝BC，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【完整解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：， 解得：． 答：小长方形的长为7cm，宽为2cm． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的 　宽　的和，另一种是3个小长方形的 　长　的和，可得方程 　5y＝3x　． 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 　1　个小长方形的长和 　2　个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 　2　个小长方形的长与空白小正方形的 　边长　的和，可得方程 　x+2y＝2x+2　． 【思路引领】思考1：根据小长方形的宽×5＝小长方形的长×3解答即可； 思考2：根据2个小长方形的宽+1个小长方形的长＝2+2个小长方形的长解答即可． 【完整解答】解：思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和，可得方程5y＝3x． 故答案为：宽，长，5y＝3x． 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与空白小正方形的边长的和，可得方程x+2y＝2x+2． 故答案为：1，2，边长，x+2y＝2x+2． 【总结提升】本题是考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是善于从图形中挖掘出隐含的等量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$