精品解析：陕西省咸阳市渭城区部分学校2024-2025学年九年级上学期阶段测试二数学试题

2024∼2025学年度第一学期阶段测试 九年级数学（SZ） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 3. 如图是某个装饰品的示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（ ） 5 20 30 40 60 800 ■ a ■ b A. B. C. D. 7. 如图，，连接、交于点O，点E、F分别在、，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 请写出一个一元二次方程，使它的一个解为：______．（写出一个即可） 10. 若四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为，则______． 11. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．它是由四个全等的直角三角形围成的，若正方形的面积为25，正方形的面积为1．则的值为_______． 12. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为____． 13. 如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 计算：． 16. 求证：无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 17. 如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 18. 如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 19. 为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践”四组（依次记为A，B，C，D）．小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再从四组题目中随机抽取一组． （1）小安抽到C组题目的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率． 20. 已知抛物线与x轴的交点是，，经过点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）设该抛物线的顶点为M，求的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）以O为位似中心，在y轴右侧作，使与位似，且与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）在（1）的条件下，分别写出点、、的坐标． 22. 某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，顾客得到优惠，且该商场每天销售A玩具可以获利4000元． 23. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 24. 已知：如图，在中，是斜边的中线，过点M作的垂线与边和的延长线分别交于点D和点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点A、C的拋物线（a、b为常数，且）与x轴的另一个交点为，抛物线的对称轴l与x轴交于点H． （1）求点A的坐标和抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题背景】 （1）如图①，在正方形中，点E为对角线上一点，连接并延长交于点F，在边上取一点G，使得，连接，求证：； 【思考探究】 （2）如图②，点E为正方形的边上一点，连接，过点C作于点F，在边取一点G，使得，连接、，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图③，点E为菱形的边上一点，连接，点F在线段上，连接，，在边上取一点G，使得，连接、，若点G为的中点，的面积4，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年度第一学期阶段测试 九年级数学（SZ） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 一个不透明的袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为0.2， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：A． 3. 如图是某个装饰品的示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，注意看见的棱用实线表示．找到从上面看所得到的图形即可作答， 【详解】解：俯视图即从上面往下看得到的图形， 该装饰品从上面看，可得选项C的图形． 故选：C 4. 已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意； D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，，，于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，勾股定理，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（ ） 5 20 30 40 60 800 ■ a ■ b A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质．根据，当F一定时，P与S成反比例函数，由函数的性质得出结论． 【详解】解：∵F一定， ∴， ∴， ∴当时，P随着S的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，，连接、交于点O，点E、F分别在、，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握“”字相似三角形模型和 “8”字相似三角形模型是解题关键． 根据，证明，根据相似三角形的性质和题干条件即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A、B、D正确，C不能证明，故C错误，符合题意． 故选：C． 8. 将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意和图象的平移“左加右减”得平移后的抛物线解析式为：，根据平移后的抛物线对称轴为直线，计算得，则平移后的抛物线解析式为：，在中，令，则，即可得，掌握图象的平移，二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∵将抛物线向左平移8个单位， ∴平移后的抛物线解析式为：， ∵平移后的抛物线对称轴为直线， ∴， ， ∴平移后的抛物线解析式为：， 在中，令，则， ∴平移后的抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 请写出一个一元二次方程，使它的一个解为：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的概念“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”是解题关键．先确定方程的左边分解因式后，含有因式，再根据一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，写出一个符合条件的一元二次方程为，即， 故答案为：． 10. 若四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为， ∴， 故答案为：． 11. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．它是由四个全等的直角三角形围成的，若正方形的面积为25，正方形的面积为1．则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形各边的长，然后即可计算出的值． 【详解】解：∵正方形的面积为25，正方形的面积为1， ∴，， ∵“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 13. 如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段的垂直平分线性质，含角的直角三角形，垂线段最短，依次计算即可． 【详解】∵P为菱形的对角线上的一定点，，的最小值为2， ∴，， 连接，过点P作， 则，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角度的三角函数值的混合运算，把特殊角度的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 求证：无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵ ， ∴无论m为何值，总大于0， ∴无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的根与的关系①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．先根据一元二次方程中a、b、c的值求出的值，即可证明． 【详解】略 17. 如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】如下图所示，即为所求作的三角形 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，尺规作图—作相等的角，明确从而利用作相等的角是解题的关键．由得出，根据可知，，从而以C为顶点在的上方作，交于点P即可． 【详解】略 18. 如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，先由等边三角形的性质可得，再证明四边形是平行四边形．最后由矩形的判定证明即可． 【详解】略 19. 为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践”四组（依次记为A，B，C，D）．小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再从四组题目中随机抽取一组． （1）小安抽到C组题目的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率． （1）抽取项目有四组，小安抽取一组，根据概率计算公式即可求解； （2）用树状图把所有可能的结果表示出来，再找出小西和小安不同题目的结果，根据概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：小安抽到C组题目的概率是： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图知，共有16 种等可能的结果，小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的有12 种， ∴小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率是 20. 已知抛物线与x轴的交点是，，经过点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）设该抛物线的顶点为M，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后根据三角形面积公式的面积． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得． 抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）以O为位似中心，在y轴右侧作，使与位似，且与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）在（1）的条件下，分别写出点、、的坐标． 【答案】（1） 如图所示． （2），， 【解析】 【分析】本题考查作图——位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质分别找出、、，再依次连接，即可作答； （2）由图读取点、、的坐标，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：，， 22. 某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，顾客得到优惠，且该商场每天销售A玩具可以获利4000元． 【答案】单价定为70元时，该商场每天销售A玩具可以获利4000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程求解．设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，每天可以卖出件，根据“总利润=单件利润×数量”列出方程求解即可． 【详解】解：设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，每天可以卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵顾客得到优惠， ∴． 答：单价定为70元时，该商场每天销售A玩具可以获利4000元． 23. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 【答案】7.7米 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，． 设米， 在中，， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根． 米， （米）， 答：电池板离地面的高度约为米． 24. 已知：如图，在中，是斜边的中线，过点M作的垂线与边和的延长线分别交于点D和点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ， ， ， ， ； （2）9． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及正切的理解等知识， （1）由在中，是斜边的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，即可证得，继而证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得； （2）由，可得在中，，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∴在中，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点A、C的拋物线（a、b为常数，且）与x轴的另一个交点为，抛物线的对称轴l与x轴交于点H． （1）求点A的坐标和抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式可求出点A、C的坐标，设抛物线解析式为两点式，代入点C坐标即可； （2）设点，分情况讨论：①点A为直角顶点；②点C为直角顶点，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，， 当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴为， 设， ①点A为直角顶点，则， ∴， 解得， ∴P的坐标为； ②点C为直角顶点，则， ∴， 解得， ∴P的坐标为； 综上，P的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、勾股定理、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，解题过程中还应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，求出所有符合条件的结果． 26. 【问题背景】 （1）如图①，在正方形中，点E为对角线上一点，连接并延长交于点F，在边上取一点G，使得，连接，求证：； 【思考探究】 （2）如图②，点E为正方形的边上一点，连接，过点C作于点F，在边取一点G，使得，连接、，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图③，点E为菱形的边上一点，连接，点F在线段上，连接，，在边上取一点G，使得，连接、，若点G为的中点，的面积4，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴． 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴， ∴； （3）16 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”是解题的关键． （1）利用证明，即可得到； （2）先证明，得到，．再利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，即可得到； （3）先证明，得到，．再利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． ∵点G为的中点， ∴， ∴． ∵的面积4， ∴的面积16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $