3.3 垂径定理模型的构建与应用 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

期末提分练案 专题 垂径定理模型的构建与应用 北师大版 九年级下册 1 1 B (6，0) A C 温馨提示：点击 进入讲评 2 3 4 5 6 7 8 9 10 习题链接 返回 1. 如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　) A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M B 3 2. [2024北京东城区月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的半径为________. 4 返回 【点拨】假设△ABC的外接圆的圆心为点G，则点G必在线段AB的垂直平分线上，即点G的纵坐标为2，设点G(a，2)，由图可得：B(1，1)，C(4，4)，由三角形外接圆的性质得GB＝GC，∴GB2＝GC2，∴(a－1)2＋(2－1)2＝(a－4)2＋ (2－4)2，解得a＝3，∴G(3，2)， 5 返回 3. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________. (6，0) 6 7 返回 【答案】A 8 9 10 返回 【答案】C 11 6. 如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围. 12 返回 13 7. [2024晋城期末]如图，AB是⊙O内的一条弦. (1)尺规作图(保留作图痕迹，标明字母)：作弦AB的垂直平分线EF，EF与AB交于点P(垂足为P)，与⊙O交于点E，F(点E在弦AB的上方)，连接OA，OB. 【解】如图所示． 14 返回 (2)在所作的图中，若AB＝24，⊙O的半径为13，求PF的长. 15 【解】如图①所示． 16 (2)求⊙O的半径； 【解】如图②，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB， OC. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC. 又∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上． 17 18 返回 (3)若在同一平面内的⊙P也经过B，C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长. 19 9. 问题情境：如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽. 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的 每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运 动，每旋转一周用时120 s. 20 问题设置：如图②，把筒车抽象为一个半径为r m的⊙O.筒车涉水宽度AB＝3.6 m，筒车涉水深度(劣弧AB中点到水面的距离)是0.6 m. 筒车开始工作时，⊙O上C 处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9 m，经过 85 s后，该盛水筒旋转到点D处. 21 问题解决： (1)求该筒车的半径. 【解】如图，过圆心O作OE⊥AB交AB于点E，交⊙O于 点F，连接OA. 22 23 (2)当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离. 【解】如图，过点C，D分别作CH⊥OF，DG⊥OF，交OF于点H，G. 由(1)知OF＝OC＝OD＝3 m， ∴OE＝OF－EF＝3－0.6＝2.4(m)． ∵C到水面AB的距离是0.9 m， 即EH＝0.9 m， ∴OH＝OE－EH＝2.4－0.9＝1.5(m)． 24 返回 25 10. [2024淄博张店区月考]有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离为18 m，此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于3.8 m. 当洪水泛滥， 水面宽MN＝32 m时是否需要 采取紧急措施？请说明理由. 26 27 返回 28 ∴GB＝＝， ∴△ABC外接圆的半径为. 4. 已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长为2 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为(　　) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 【点拨】如图，连接OB，过O作OF⊥AB，交AB于E，与圆相交于F，则OF＝OB＝2 cm. 由垂径定理得AE＝EB＝AB＝×2＝(cm)， ∴在Rt△OEB中，OE＝＝＝1(cm)， ∴这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为EF＝OF－OE＝2－1＝1(cm)．故选A. 5. 在⊙O中，半径R＝，弦AB＝2，弦AC＝，则∠BAC的度数为(　　) A. 75° B. 15° C. 75°或15° D. 90°或60° 【点拨】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D，E，连接OA，∴AD＝AB＝1，AE＝AC＝. ∵半径为，∴OA＝. ∵cos∠BAO＝＝，∴∠BAO＝45°. ∵cos∠CAO＝＝，∴∠CAO＝30°. ①当两弦在圆心的同侧时， ∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝45°－30°＝15°； ②当两弦在圆心的异侧时， ∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝45°＋30°＝75°. 所以∠BAC的度数为75°或15°.故选C. 【解】如图，作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4 cm. ∵⊙O的直径为10 cm，∴OA＝5 cm. ∴由勾股定理，得OD＝＝3 cm. ∵垂线段最短，半径最长， ∴OP的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm. 【解】由题意得OF＝OA＝13.∵AB＝24，EF⊥AB， ∴AP＝PB＝AB＝×24＝12. 在Rt△APO中，根据勾股定理，得OP＝＝＝5， ∴PF＝PO＋OF＝5＋13＝18. 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆. (1)请用圆规和无刻度的直尺画出⊙O，不写作法，保留作图痕迹； ∵BC＝4，∴BD＝BC＝2. ∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2， ∴AD＝＝6. 设OA＝OB＝r，则OD＝6－r. 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，即 (6－r)2＋22＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为. 【解】⊙P的半径的长为2或2. ∵OE⊥AB，AB＝3.6 m，∴AE＝BE＝AB＝1.8 m. ∵OF＝r m，EF＝0.6 m，∴OE＝(r－0.6) m. ∵OE2＋AE2＝OA2，OA＝r m， ∴(r－0.6)2＋1.82＝r2， ∴r＝3，即该筒车的半径为3 m. ∴OH＝OC，∴∠COH＝60°. 又∵∠COD＝360°－360°×＝105°， ∴∠DOH＝105°－60°＝45°，∴OG＝OD＝ m， ∴GE＝OE－OG＝2.4－＝(m)． 【解】不需要采取紧急措施．理由如下： 如图，连接OM， 由题意易知OD⊥AB，OD⊥MN. ∴AC＝AB＝30 m，ME＝MN＝16 m． 设OD＝OA＝r m. ∵CD＝18 m，∴OC＝(r－18) m. 在Rt△AOC中，由勾股定理，得r2＝302＋(r－18)2，解得 r＝34，∴OM＝34 m. 设DE＝x m，则OE＝(34－x)m. 在Rt△MOE中，由勾股定理得342＝162＋(34－x)2， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4 m. ∵4 m＞3.8 m，∴此时不需采取紧急措施． $$