期末提分练案-专题 求阴影面积的常用技巧 课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册

期末提分练案 专题 求阴影面积的常用技巧 北师大版 九年级下册 1 1 D B π－1 温馨提示：点击 进入讲评 2 3 4 5 6 A 7 8 9 10 C 习题链接 3 返回 【答案】D 4 2. [2024深圳三模]如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠ADB＝30°，点O在BD上. 5 (1)求证：直线AD与⊙O相切； 【证明】连接OA，如图所示．∵OA＝OB，∠ABD＝∠ADB＝30°， ∴∠OAB＝∠ABD＝30°， ∴∠AOD＝∠OAB＋∠ABD＝60°. ∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADB)＝180°－(60°＋30°)＝90°，即AD⊥OA. 又∵OA为⊙O的半径，∴直线AD与⊙O相切． 6 (2)若AB＝12，求图中阴影部分的面积. 7 8 返回 9 10 返回 【答案】B 11 12 (1)求证：CE是⊙O的切线； 13 (2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积. 【解】如图，连接OF与AC交于点M. ∵OA＝OC，∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠ACO＝30°.∴∠BOC＝60°. 由(1)知OC⊥CE，又∵AD⊥CE，∴AD∥OC. ∴∠FAM＝∠OCM＝30°，∠FAB＝∠BOC＝60°. 又∵OA＝OF，∴△AFO为等边三角形． ∴AF＝OA＝OC. 14 返回 15 5. [2024重庆沙坪坝区月考]如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB.若AC＝2，则阴影部分的面积为________. π－1 16 17 返回 【点方法】计算不规则图形的面积时，常常通过割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差． 18 19 返回 20 7. 如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C，解答下列问题： (1)将⊙A向左平移______个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为______， 阴影部分的面积为______； 3 (2，1) 6 21 (2)求BC的长. 22 返回 【点方法】本题利用平移法将图中阴影部分的面积转化为底为3，高为2的平行四边形的面积． 23 24 返回 【答案】A 25 9. 如图，三个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分面积的和. (结果保留π) 26 27 返回 【点方法】利用凑整法可将图中阴影部分拼成一个圆心角为135°、半径是1的扇形． 28 29 返回 【答案】C 30 π－ 1. [2024连云港期末]如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆. 若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是(　　) A. π－20 B. π－20 C. 20π D. 20 【点拨】如图，连接BD，则BD过圆心O. 在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5， ∠A＝90°，∴BD2＝AB2＋AD2＝41. ∴S阴影＝S以AD为直径的圆＋S以AB为直径的圆＋S矩形ABCD－S⊙O ＝π×＋π×＋4×5－π× ＝＋20－＝20. 【解】连接OC，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，如图所示． ∵OA＝OB，OE⊥AB，AB＝12， ∴BE＝AE＝AB＝6. 在Rt△BOE中，∠ABD＝30°， ∴OB＝＝＝4. ∵∠ABC＝60°，∠ABD＝30°， ∴∠OBC＝∠ABC－∠ABD＝30°. ∵OB＝OC，OF⊥BC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°，BC＝2BF. ∴∠BOC＝180°－(∠OCB＋∠OBC)＝120°. 在Rt△BOF中，OB＝4，∠OBC＝30°， ∴OF＝OB＝2，BF＝OB·cos 30°＝6.∴BC＝2BF＝12， ∴S△OBC＝BC·OF＝×12×2＝12， S扇形BOC＝＝16π. ∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC＝16π－12. 3. [2024广元模拟]如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，连接DE，若CD＝CE，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 【点拨】连接OC交DE于点F，如图所示． ∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°. 又∵∠AOB＝90°，∴四边形OECD是矩形． 又∵CD＝CE， ∴四边形OECD是正方形． 易知S△DFC＝S△OFE，∴S阴影＝S扇形COB＝＝. 4. 如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，C为的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC. 【证明】如图，连接BF，OC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD. 又∵CE⊥AD，∴BF∥CE. ∵C为的中点，∴OC⊥BF. ∵BF∥CE，∴OC⊥CE. 又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 又∵∠FMA＝∠OMC，∴△AFM≌△COM. ∴S△AFM＝S△COM.∴S阴影＝S扇形FOC. ∵C为的中点，∴＝.∴∠FOC＝∠BOC＝60°. ∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2. ∴S扇形FOC＝＝π，即阴影部分的面积为π. 【点拨】如图，设以BC为直径的圆与AB交于点D，连接CD.在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝＝2. ∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB. 又∵CA＝CB，∴CD＝BD＝AD＝. 易知D为的中点， ∴S弓形CD＝S弓形BD. ∴S阴影＝S扇形ACB－S△ADC＝π×22－×()2＝π－1. 6. [2024临沂模拟]如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC长为半径作弧交直线EF于点M，N.若AB＝，则图中阴影部分的面积为________. π－ 【点拨】以OD为半径作弧DN，如图． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，OA＝OB＝OD＝OC， ∠ABC＝90°，∠DOC＝90°. ∵AB＝，∴AC＝＝2.∴OC＝OD＝1. ∵∠EOB＝∠FOD，∴S扇形BOM＝S扇形DON， ∴S阴影＝S扇形DOC－S△DOC＝－××＝π－. 【解】如图，连接AC，过点A 作AD⊥BC于点D，则BC＝2DC. 由A(5，1)可得AD＝1. 又∵⊙A的半径AC＝2， ∴在Rt△ADC中，DC＝＝＝. ∴BC＝2. 8. [2024成都一模]如图，将直径AB＝12的半圆绕A点逆时针旋转40°，此时点B到了点B1，则图中阴影部分的面积是(　　) A. 16π B. 12π C. 4π D. π 【点拨】由题意知，S阴影＝S扇形BAB1＋S半圆AB1－S半圆AB， 由题得S半圆AB1＝S半圆AB， ∴S阴影＝S扇形BAB1. ∵∠BAB1＝40°，AB＝12， ∴S扇形BAB1＝＝16π.∴S阴影＝16π. 【解】易知，三个扇形的半径都为1，三个扇形圆心角的度数和为45°＋90°＝135°， ∴阴影部分面积的和为＝π. 10. [2024乐山模拟]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是(　　) A. π－2 B. 2π－2 C. 2π－4 D. 4π－4 【点拨】在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ BC＝2，∴∠A＝∠B＝45°. ∴S阴影＝S扇形CAE＋S扇形CBF－S△ABC＝×2－× 2×2＝2π－4. $$