湖南省长沙市长郡中学2025届高三下学期数学基础训练（五）

长郡中学基础训练（五） 一、单项选择题 1．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中正确的是( )． A．若l∥α，且m∥α，则l∥m B．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n C．若m∥l，且m⊥α，则l⊥α D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β 2．若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )． 　第3题图 A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．以上都不对 二、多项选择题 4．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论正确的有( )． 　第4题图 A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，沿DE将三角形ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则( )． 第5题图 A．平面PED⊥平面EBCD B．PC⊥ED C．二面角P­DC­B的大小为45° D．直线PC与平面PED所成角的正切值为 三、填空题 6．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝，E是PD上的一动点，当点E满足 时，AD⊥EC. 第6题图 7．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.若要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为　　. 　 第7题图 四、解答题 8．如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由． 第8题图 9．如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点． (1)求证：PB∥平面MNC； (2)若AC＝BC，求证：平面PAC⊥平面MNC. 第9题图 10．(多选)已知实数a满足＝2＋i(i为虚数单位)，复数z＝(a＋1)＋(a－1)i，则( )． A．z为纯虚数 B．z2为虚数 C．z＋＝0 D．z·＝4 11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin 2A＋asinB＝0. (1)求A； (2)若点D为边BC上一点，AD⊥AC，AC＝4，AD＝3，求AB. 长郡中学基础训练（五） 一、单项选择题 1．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中正确的是( C )． A．若l∥α，且m∥α，则l∥m B．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n C．若m∥l，且m⊥α，则l⊥α D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β 2．若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的( A )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( A )． 　第3题图 A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．以上都不对 二、多项选择题 4．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论正确的有( ABC )． 　第4题图 A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，沿DE将三角形ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则( AC )． 第5题图 A．平面PED⊥平面EBCD B．PC⊥ED C．二面角P­DC­B的大小为45° D．直线PC与平面PED所成角的正切值为 三、填空题 6．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝，E是PD上的一动点，当点E满足 PE＝ED 时，AD⊥EC. 第6题图 7．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.若要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为　　. 　 第7题图 四、解答题 8．如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由． 第8题图 (1)由已知得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB.又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC. (2)假设在线段AB上存在一点E，使得PB⊥平面CEF.因为CE⊂平面CEF，所以PB⊥CE.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CE.又PA∩PB＝P，所以CE⊥平面PAB.因为AB⊂平面PAB，所以CE⊥AB.设BE＝x，因为AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝，故在AB上存在点E满足题意，且BE＝. 9．如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点． (1)求证：PB∥平面MNC； (2)若AC＝BC，求证：平面PAC⊥平面MNC. 第9题图 (1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC. (2)因为AC＝BC，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥PB，PB∥MN，所以PA⊥MN.又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面MNC. 10．(多选)已知实数a满足＝2＋i(i为虚数单位)，复数z＝(a＋1)＋(a－1)i，则( ACD )． A．z为纯虚数 B．z2为虚数 C．z＋＝0 D．z·＝4 11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin 2A＋asinB＝0. (1)求A； (2)若点D为边BC上一点，AD⊥AC，AC＝4，AD＝3，求AB. (1)因为bsin 2A＋asinB＝0，所以2bsinA·cosA＋asinB＝0，由正弦定理得2bacosA＋ab＝0.因为ab≠0，所以2cosA＋1＝0，即cosA＝－.又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为AD⊥AC，所以∠CAD＝.又因为∠BAC＝，所以∠BAD＝，在Rt△ACD中，AC＝4，AD＝3，所以CD＝5，所以sin∠ADB＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADC＝.在△ABD中，由正弦定理＝，得BD＝×sin∠BAD＝c×＝c，在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，得2＝42＋c2－8c×，解得c＝或c＝(舍去)，所以AB＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$