期末提分练案-专题 二次函数与几何图形的综合课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

期末提分练案 专题 二次函数与几何图形的综合 北师大版 九年级下册 1 2 3 返回 4 2. [2024天津宁河区期末]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. 5 (1)求该抛物线的表达式； 6 (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长. 【解】因为抛物线所表示的二次函数的表达式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 所以抛物线的顶点F的坐标为(1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝1. 当x＝0时，y＝－3，所以点C的坐标为(0，－3)． 7 返回 8 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，连接AB，AM. 9 (1)求这条抛物线的表达式和顶点M的坐标； 【解】因为抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于B点，令x＝0，得y＝3，所以B(0，3)，所以OB＝3.因为OA＝OB，所以OA＝3，所以A(3，0)．把A(3，0)的坐标代入y＝ －x2＋bx＋3，得－9＋3b＋3＝0，解得b＝2，所以这条抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.因为y＝－x2＋2x＋ 3＝－(x－1)2＋4，所以顶点M的坐标为(1，4)． 10 (2)求sin∠BAM的值； 11 (3)如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标. 12 返回 13 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点. 14 (1)求抛物线的表达式； 15 (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标. 16 返回 17 5. [2024西安碑林区校级模拟]如图，已知抛物线L：y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，顶点为C，将抛物线L向左平移5个单位长度，得到抛物线L′. 18 (1)求A，B，C三点的坐标； 【解】令x2－2x－3＝0，则x＝－1或x＝3，∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)． ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴C(1，－4)． ∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－4). 19 (2)M为抛物线L上一动点，N为抛物线L′上一动点，是否存在M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在． 由题意得L′：y＝(x－1＋5)2－4＝x2＋8x＋12. 设点M，N的坐标分别为(m，m2－2m－3)，(n，n2＋8n＋12)， 20 返回 21 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接AB.若函数y＝(x－h)2的图象与线段AB有交点，则h 的取值范围是____________. －≤h≤ 【点拨】易知函数y＝(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝h，点A，B所在直线为y＝2.在y＝(x－h)2中，令y＝2，则(x－h)2＝2，解得x1＝h－2，x2＝h＋2.当x2＝－时，h＝－；当x2＝时，h＝，即当－≤h≤时，抛物线右半部分(x>h)与线段AB有交点． 当x1＝－时，h＝；当x1＝时，h＝，即当≤h≤时，抛物线左半部分(x<h)与线段AB有交点．∴当－≤h≤时，该函数的图象与线段AB有交点． 【解】将点A(－1，0)，B(3，0)的坐标分别代入y＝x2＋ bx＋c， 得 解得 所以该抛物线所表示的二次函数的表达式为y＝x2－2x－3. 设直线BC的表达式为y＝mx＋n(m≠0)， 将点B(3，0)，C(0，－3)的坐标分别代入y＝mx＋n， 得 解得 所以直线BC的表达式为y＝x－3. 当x＝1时，y＝1－3＝－2， 所以点E的坐标为(1，－2)，所以EF＝|－2－(－4)|＝2. 【解】连接BM.因为A(3，0)，B(0，3)，M(1，4)， 所以易得BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20， 所以BM2＋AB2＝AM2， 所以△ABM是直角三角形，且∠MBA＝90°， 所以sin∠BAM＝＝＝. 【解】因为OA＝OB，∠BOA＝90°，所以∠OAB＝45°. 因为∠MAQ＝45°，所以∠BAM＝∠OAQ. 因为sin∠BAM＝，所以sin∠OAQ＝，所以易得tan∠OAQ＝， 所以＝＝，所以OQ＝1，所以Q(0，1)． 【解】将点P(4，－3)，A(0，1)的坐标分别代入y＝ax2＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋1. 【解】设B(x，y)．∵P(4，－3)，A(0，1)， ∴AB＝，AP＝＝4，BP＝， 当AB＝AP时，＝4， ∵y＝－x2＋1，∴x＝4或x＝－4.当x＝－4时，y＝－3，∴B(－4，－3)； 当AB＝BP时，＝， ∵y＝－x2＋1，∴x＝－2＋2或x＝－2－2. 当x＝－2＋2时，y＝－5＋2， 当x＝－2－2时，y＝－5－2， ∴B(－2＋2，－5＋2)或B(－2－2，－5－2)． 综上所述，点B的坐标为(－4，－3)或(－2＋2，－5＋2)或(－2－2，－5－2)． 当AB为平行四边形的边时，易知点A向右平移4个单位长度得到B，则点M(N)向右平移4个单位长度得到N(M)， 则解得或 则易得点M，N的坐标分别为， 或，. $$