湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学周测试题（一）

崇阳二中高二下学期数学周测试题（一） 一、单选题(本题共8题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 等比数列中，已知，则（   ） A． B．2 C． D．1 4. 的图象如图所示，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5. 已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 6. 若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（    ） A． B． C． D． 8. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题(本题共3题，每小题6分，共18分) 9. 已知数列的通项公式为，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．为最小项 D．为最大项 10. 关于函数的图象的切线，下列说法正确的是（    ） A．在点处的切线方程为 B．经过点的切线方程为 C．切线与的图象必有两个公共点 D．在点处的切线过点，则 11. 已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分) 12. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 13. 与曲线和都相切的直线方程为 . 14. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数量越多，刺绣越漂亮．现按相同的规律刺绣（小正方形摆放的规律相同），设第个图形包含个小正方形．则 ;的表达式为 ． 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15. （13分）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 16. （15分）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 17. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 18. （17分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点． （1）证明：PF⊥FD； （2）若与平面所成的角为，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值； （3）若PA＝1，求点E到平面PFD的距离． 19．（17分）已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式： (2)记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《崇阳二中高二下学期数学周测试题（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B B D B CD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C【详解】由，得，则. 2．A【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件；当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件.综上可知：是的充分不必要条件. 3．A【详解】若等比数列的公比为， 由题设，则，即，由. 4．B【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 5．B【详解】. 6．B【详解】解：的导数为，设，可得处切线的斜率为， 则，由，且即为，由正切函数的性质可得或可得过点的切线的倾斜角的取值范围是. 7．D【详解】对于A选项，，则，由， 即，，因此，存在“自足点”，A满足条件； 对于B选项，，则，由， 可得，其中，令，则，，所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件； 对于C选项，，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件； 对于D选项，，则， 由，可得， 因为，，所以，， 所以，方程无实解，D选项不满足条件. 8．B【详解】如图，延长交的延长线于点,由于是的角平分线上的一点，且,所以点为的点，所以,又为的中点，所以，故，故，即，将点代入可得，解得，故离心率为， 9．CD 【详解】，当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减，则为最小项，为最大项，故C、D正确，A错误； ，，则，故B错误， 10．ACD【详解】由得， 对于A：由，所以函数在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：设切点为，所以，所以切线方程为， 又切线过点，所以，解得或， 所以过点的切线方程为或，故B错误； 对于C、D：，则在点的切线方程为， 则，即， 因为，则，即，即，所以， 又，当时，又点在函数上，且与点相异，即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点），对于切线，则切点不是坐标原点，所以切线与的图象必有两个公共点，故C、D正确. 11．BCD【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则的最大、最小值分别为和， 当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确. 12． 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 13． 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 所以，解得， 所以该直线的方程为， 故答案为：. 14． 61 【详解】根据图中小正方形摆放的规律可知， 易知，，， ，， 由以上各式的特点可得， ， 又满足上式，所以． 故答案为：61； 15．(1)(2)(3)(4)(5) 16．(1)，．(2) 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②，由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为，又切线过点，所以， 可得，，，解得， 所以切点为，切线方程为．故曲线过点的切线方程为． 17．（1） （2） 【小问1详解】 由椭圆的定义，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 18．（1）证明见解析；（2）；（3）. 【详解】（1）证明：连接AF，则AF＝，又DF＝，AD＝2， ∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF. ∵PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA， 又PA∩AF＝A， ∴DF⊥平面PAF，又PF⊂平面PAF， ∴DF⊥PF； （2）平面，是与平面所成的角，且． ∵DF⊥平面PAF，∴DF⊥PF， DF⊥AF， ∴为平面PFD与平面CFD所成锐角， ∴， 故平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值为； （3）连接EP，ED，EF. ∵S△EFD＝S矩形ABCD－S△BEF－S△ADE－S△CDF＝2－＝， ∴V三棱锥P－EFD＝S△EFD·PA＝××1＝. 设点E到平面PFD的距离为h， 则由V三棱锥E－PFD＝V三棱锥P－EFD得S△PFD·h＝×·h＝， 解得h＝， 即点E到平面PFD的距离为. 19．(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求； （2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可； （ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求． 【详解】（1）由题意，是等差数列，设公差为d， 是正项等比数列，设公比为q，， 由，，，， 可得，， 解得， 则，. （2）（i）由（1）可得，， 则， 则数列的前2n项和； （ii）， 则数列的前n项和 答案第2页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$