2025年中考数学压轴题训练——二次函数与角度综合

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与角度综合 1．如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，若点在轴上时，和的夹角为，求线段的长度； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 5．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式以及直线的解析式； (2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； (3)E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于和两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过点E作直线轴于H，过点C作于F． (1) 求抛物线解析式； (2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长； (3)在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图所示，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，其中点的坐标是，顶点为点，连接，抛物线的对称轴与轴相交于点．      (1)求的值； (2)求的度数； (3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点，使得是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且．    (1)求点B的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． 11．已知抛物线：． (1)下列有关抛物线的结论正确的有 　 　（填序号）． ①开口向下； ②对称轴在y轴的左侧； ③与y轴的交点坐标为； ④函数值y有最小值； (2)当时，抛物线的顶点坐标为 　 　，将抛物线沿直线 翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为 　 　； (3)如图，设抛物线与y轴相交于点C，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的交点为A，抛物线的顶点为P．是否存在实数m，使得∠PCA＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 12．综合与探究 如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，点是直线上方抛物线上一点，设点的横坐标为，过点作于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)连接，，试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式． (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标． (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标． 14．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为． 求为何值时，四边形是平行四边形； 连接，当时，求点的坐标； 15．如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标； (3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A，C重合)，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值； (3)点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)抛物线的对称轴上存在点P，且点P在x轴上方时，满足∠APB=∠ABC，求PG的长． 18．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为　 　，点D的坐标为　 　；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD，BC． ①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式； ②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年2月10日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)面积的最小值为，此时 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： （2）由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， ∴ （3）设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 2．(1)二次函数的表达式为； (2)的长为或； (3)的值为或6． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）先根据题意得出点的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）分点在点上方和下方两种情况，先求出的度数，再利用三角函数求出的长，从而得出答案； （3）分对称轴在到范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵对称轴为直线，点的坐标为， ∴点B的坐标为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时， 同理，， ∴， ∴； 综上，的长为或； （3）解：若， 则当时，函数有最小值：， 解得， ， ， 若， 即， 则当时，函数有最小值为， 解得：（舍去）； 若， 则当时，函数有最小值：， 解得或， ， ． 综上，的值为或6． 3．(1) (2)存在，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点位于轴的正半轴， ∴， 将点代入得：， 解得， 则抛物线对应的函数表达式为． （2）解：由（1）可知，， ∵，， ∴， 设点的坐标为， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为． （3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则， ∵轴， ， ， ∴， 当时，， 解得或， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， ∴点的坐标为； ②如图，在轴下方作，交轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 综上，存在点，使得，此时点的坐标为或． 4．(1)； (2)存在，； (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，最短路径，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据轴，可得，从而得到，进而得到，可得当最大时，的周长最大，设D点坐标为，求出直线的解析式，可得F点的坐标为，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入抛物线得∶，解得：， ∴抛物线的解析式为∶； （2）解：当时，， 解得：， ∴B点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的周长最大， 设D点坐标为， 设直线的解析式为， 代入B点的坐标，得∶，解得， ∴直线的解析式为∶， ∴F点的坐标为 ∴ ∴当时，取最大值为 ∴周长的最大值为， （3）解：根据题意得：， ①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半， ∴， 以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ ， 整理方程，得∶ 即 设，则原方程为∶， 解得，， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 ∴点M的坐标为或； ②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为， 以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ 整理方程，得∶ 设，则原方程为∶，解得， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 综上所述∶点M的坐标为或． 5．(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）首先根据抛物线对称轴求出，得到，然后利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）设交y轴于点Q，首先证明出，得到，然后求出直线表达式为，然后根据抛物线联立求解即可； （3）根据题意得到，，设，则，表示出，然后解方程求解即可． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即，解得，， ∴，， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 将，代入， 得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）设交y轴于点Q， ∵x轴平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴将，代入得， 解得 ∴直线表达式为， 联立抛物线与直线，得， 解得， ∴； （3）以C，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且为边， ∴， ∵E，F分别是直线和抛物线上的动点， ∴设，则 ∴ 解得，，， 将，，代入 得，，， ∴E点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数和一次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行四边形的性质解决问题． 6．(1) (2)1 (3)在直线l上，存在点G，使，点G的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过，得出，即可求得的长； （3）连接，得出，过D点作，交直线l于，过D点作，交直线l于，则，求得直线的解析式为，求出直线的解析式为，即可求出点的坐标，设的坐标为，再利用两点间距离公式表示，，，根据勾股定理求出n的值， 即可得到的坐标，问题得到解答． 【详解】（1）∵抛物线交轴于和， ∴， 解得， 即所求抛物线的解析式为. （2）在中,令,则， ∴ ∵,轴 ∴轴 ∴点F的纵坐标为3， 把代入，， 解得（舍去）, ， ∴ ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∵,， ∴， ∵， ∴； （3）连接， ∵， ∴， 过D点作，交直线l于，过D点作，交直线l于，则， ∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为，把点C和点E的坐标代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 设的坐标为， 则，，， 由勾股定理得到，， 即 解得， ∴； 综上，在直线l上，存在点G，使，点G的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质、勾股定理等知识，数形结合思想的应用是解题的关键． 7．(1) (2) (3)存在，，和 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分线的性质，解题的关键是： （1）由于抛物线的解析式中只有一个未知数，因此只需将点的坐标代入抛物线中即可求出的值． （2）首先表示出抛物线的顶点式，就可以求出点的坐标，然后过点作的垂线，在中根据、、三点的坐标求出和长度相等，得出的度数； （3）分三种情况，，，，利用二次函数的对称性以及利用线段垂直平分线的性质求出的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ； （2）由（1）可知该抛物线的解析式为， 此抛物线的对称轴， 抛物线的顶点， 过点作，则， ， 所以，， ， 又， ， ； （3）存在． ①延长交抛物线于点，则轴，所以正好是点关于的对称点时， 有，得出点坐标； 由得，点坐标为，对称轴为． ②若以为底边，则， 设点坐标为，根据两点间距离， 得， 即． 又点在抛物线上， ， 即， 解得：，，应舍去； ， 则点坐标，． ③当时，只能在点左边的抛物线上，所以不考虑； 符合条件的点坐标为，和．    8．(1) (2) (3)M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形． （1）根据，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求解析式即可； （3）分点在点的上方和下方两种情况，讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 9．(1)，， (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）令，则，令，则，所以或，由此可得结论； （2）连接，设，则，列出方程求出m的值，进而可以解决问题； （3）在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得：或， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，连接，    设， P是第一象限内抛物线上的一点， ， 则， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P使得，理由如下： 如图2，在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，    在中， ， ， ， ， 轴， ， ， ． 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数，面积问题，角度的存在性等相关内容，解本题（3）的关键是正确画出辅助线，确定点P的坐标． 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：如图所示，设直线交y轴于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 11．(1)③④ (2)； (3)存在实数m，使得，m的值为 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可； （2）当时，，即可得到抛物线的顶点坐标为；由翻折得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，求出．代入得，则．即可得到抛物线的解析式． （3）抛物线的顶点坐标为，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点P的坐标为，求出点A的坐标为，过点A作轴于点B，过点P作轴于点D，证明，则可以得到求出，进一步即可得到m的值． 【详解】（1）解：①∵， ∴抛物线的开口方向向上， ∴①的结论不正确； ②∵抛物线的对称轴为直线，m的值不确定， ∴对称轴在y轴的左侧，也可能对称轴在y轴的右侧， ∴②的结论不正确； ③令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∴③的结论正确； ④， ∵， ∴当时，函数值y有最小值， ∴④的结论正确． 故答案为：③④； （2）当时， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； ∵将抛物线沿直线翻折得到抛物线l2， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴．代入得， ， ∴． 即抛物线的解析式为． 故答案为：；； （3）存在实数m，使得，m的值为．理由： ∵抛物线的顶点坐标为， 将抛物线沿直线翻折，得到抛物线， ∴抛物线的顶点P的坐标为， 把代入，得：， ∴点A的坐标为， 如图，过点A作轴于点B，过点P作轴于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴存在实数m，使得，m的值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 12．(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)存在，或 【分析】（1）将点A、的坐标代入求解即可得到答案； （2）过点作轴于点，交于点，易得，即可得到的最大时的长最大即可得到答案； （3）设，求出的解析式，联立的解析式求出交点坐标F，根据得到，从而得到代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴于点，交于点，    由点A、的坐标得，直线的表达式为：， 则直线和轴的正半轴的夹角为，则， 则， 设点的坐标为：，则点， 则， 即的最大值为，此时，点的坐标为：， 则的最大值为， 故点的坐标为：，的最大值为； （3）解：存在，理由如下： 设，与相交于点F，解析式为：， ∴，解得：， ∴， 联立得， 解得：，， ∴， 设 ∵， ∴，， 解得：， ∴， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 当时，，解得：，， ∴，， ∴ 解得：，，（不符合意义舍去），（不符合意义舍去）， ∴或； 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次和二次函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中． 13．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式． （2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标． （3）根据题意可得，以的关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得 ， 把代入，得 ，解得， 抛物线得解析式为； （2）解：由（1）得：， 如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，   轴， ， ， 即， ， 设D点的坐标为 ，则 ， ，， ∴ 解得（舍去），， 当时，， 点D的坐标为； （3）解：如图，    ∵，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设 ， ， 解得 ， 点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到是问题的解题关键，本题综合难度不大． 14．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，求出，根据平行四边形的性质建立方程，解方程即可得到答案；②证明，得到，由此建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点、点代入中得 ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①令，则， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 如图，设直线与x轴交于T，    ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 经检验，是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 15．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出的值，也就得出了抛物线的解析式． （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标，然后根据点在抛物线对称轴的右边来判断得出的点是否符合要求即可． （3）根据点坐标可求出直线的解析式，由于，由此可求出点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出点的坐标．求的面积时，可先求出，的长度即可求出的面积． 【详解】（1）解：函数的图像与轴相交于， ， ， ， （2）解：假设存在点，过点作轴于点， 的面积等于6， ， 当， ， 解得：或3， ， ， 即， 解得：或（舍去）． 又顶点坐标为： 1.5，． ， 轴下方不存在点， 点的坐标为：； （3）解：点的坐标为：， ，， 当， ， 设点横坐标为：，则纵坐标为：， 即， 解得 或（舍）， 在抛物线上仅存在一点 ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键． 16．(1)抛物线的解析式是y=x2-3x-4； (2)m=4−； (3)存在，m=1.5时，△BEF的周长最小． 【分析】（1）由直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A和点C都在抛物线上，则先求出A，C坐标，皆可满足y=ax2-3x+c．由y=ax2-3x+c中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数a、c，则解析式可求； （2）作辅助线，构建等腰直角三角形，证明△EHC是等腰直角三角形，根据解析式表示D和E的坐标，根据EC=ED列方程可解答； （3）先确定BF+EF=AB，为定值，当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小，再由等腰直角三角形三线合一的性质得：BF=AF=2.5，可解答． 【详解】（1）解：在y=x-4中， 当x=0时，y=-4；当y=0时，x=4． ∴A（4，0），C（0，-4）， 把A（4，0），C（0，-4）代入y=ax2-3x+c中， 得，解得， ∴抛物线的解析式是y=x2-3x-4； （2）解：如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H． ∵OA=OC=4， ∴∠OAC=∠ACO=45°， ∴∠HEC=∠HCE=45°． ∵点D（m，m2-3m-4），E（m，m-4）， ∴EH=HC=m，ED=（m-4）-（m2-3m-4）=-m2+4m． ∴EC=m， ∴当∠ECD=∠EDC时，EC=ED． ∴m=−m2+4m， 解得m=0（舍去）或m=4−； （3）解：存在． ∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合）， ∴0＜m＜4， 在抛物线y=x2-3x-4中， 当y=0时，x2-3x-4=0， 解得x1=-1，x2=4， ∴点B坐标为（-1，0）． ∵∠FAE=∠FEA=45°， ∴EF=AF． 设△BFE的周长为n， 则n=BF+FE+BE=BF+AF+BE=AB+BE， ∵AB的值不变， ∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小． ∵当BE⊥AC时，∠EBA=∠BAE=45°， ∴BE=AE， ∴BF=AF=2.5． ∴m=4-2.5=1.5时，△BEF的周长最小． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形周长的最小值问题，等腰三角形的性质等知识点；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题． 17．(1)，对称轴为x=1 (2)2+ 【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，根据二次函数的性质即可求得对称轴； （2）先根据抛物线解析式求得OB=OC=3，并求出∠ABC=45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB=∠MBP，则由等腰三形判定得MP=MB，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）把A（－1，0）、C（0，3）分别代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为， ∴抛物线的解析式为，对称轴为x=1． （2）令y=0得：， 解得：，， ∴OB=OC=3， ∴∠ABC=45°， ∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB， ∴∠PBA＝（180°－45°）＝67.5°， ∴∠MPB＝∠APB＝22.5°， ∵∠MBP=67.5°－45°=22.5°， ∴∠MPB=∠MBP， ∴MP=MB， 在Rt△BMG中，BG=MG=2，由勾股定理可得：BM＝， ∴MP＝， ∴PG＝MG+MP＝2+． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 18．(1)（3m，0），（m，4m2） (2)①；② 【分析】（1）在二次函数y=-x2+2mx+3m2中，令y=0，即可求出A，B的坐标，将y=-x2+2mx+3m2化为顶点式即可写出点D的坐标； （2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，证CD=DE，由（1）知OC=3m2，OB=3m，求出HE=2m2，DE=2m2，由CD=DE可列出关于m的方程，求出m的值即可；②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，证AC=AE，根据勾股定理列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】（1）在二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2中， 当y＝0时，x1＝3m，x2＝﹣m， ∵点A在点B的左侧，m＞0， ∴A（﹣m，0），B（3m，0）， ∵y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2， ∴顶点D（m，4m2）， ∴故答案为：（3m，0），（m，4m2）； （2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E， 则DH∥OC， ∴∠DEC＝∠OCE， ∵BC平分∠OCD， ∴∠OCE＝∠DCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴CD＝DE， 由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0）， ∴OC＝3m2，OB＝3m， ∵， ∴HE＝2m2， ∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2， ∵CD＝DE， ∴CD2＝DE2， ∴m2+m4＝4m4， 解得：m1＝，m2＝﹣（舍去）， ∴二次函数的关系式为：； ②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE， ∵tan∠DCG＝＝m，tan∠KCB＝＝m， ∴∠DCG＝∠KCB， ∴CK∥AB， ∴∠KCB＝∠EBA， 由对称性知，DH垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB， ∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD， ∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE， ∴AC＝AE， ∴AC2＝AE2＝EH2+AH2， ∴m2+9m4＝4m4+4m2， 解得：m1＝，m2＝﹣（舍去）， ∴二次函数的关系式为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，锐角三角函数，勾股定理等，解题关键是能够作出适当的辅助线构造等腰三角形或直角三角形等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$