2.4.1圆的标准方程课件（第1课时）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程 主讲人：某某某 1 创设情境，引入课题 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月， 呼作白玉盘。 又疑瑶台镜， 飞在青云端。 如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写 问题1： 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 1、什么是圆？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 2、确定圆有需要几个要素？ 圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形) 观察分析，感知概念 设圆心是C(a,b),半径是r，如何建立圆的方程？ 问题2： 设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } (x-a)2+(y-b)2=r2 x y O C(a,b) M(x,y) 抽象概括，形成概念 a b r (-2,3) 3 (-2,3) 2 ±2 2 新知1 圆的标准方程 例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上. 辨析理解，深化概念 例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 解: 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25 把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边， 得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边， 得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M1不在这个圆上. 辨析理解，深化概念 练习1写出下列圆的标准方程： (1) 圆心为C(-3,4)，半径是； (2) 圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1). 【答案】(1) (x+3)2+(y-4)2=5 (2) (x+8)2+(y-3)2=25 练习巩固 问题3 探究:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？ M O x y 点在圆内 d=|OM|<r 探究辨析，深化理解 (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. 点与圆的位置关系: M O O M O M 辨析理解，深化概念 10 例2 已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内. (1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3)M3(3,-6). 解:(1) M1代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)2<16，所以点M1在圆内； (1) M2代入圆的方程，(6-3)2+(1+2)2>16，所以点M1在圆外； (1) M3代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点M1在圆上. 练习巩固 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. 概念运用与巩固 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把三个点的坐标代入上式，可得 故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 概念运用与巩固 【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心) 因为A(5,1)，B(7,-3) 所以AB的中点坐标为(6,-1)，且kAB=-2 所以AB中垂线的斜率为， 则AB中垂线方程为y+1=(x-6)，即x-2y-8=0, 同理可得，BC的中垂线方程为x+y+1=0 联立两个中垂线方程，得圆心坐标为M(2,-3) 所以半径r=|AM|= 故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 A B C 概念运用与巩固 例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 概念运用与巩固 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线l，得 故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 概念运用与巩固 例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 几何角度:如何确定圆心呢？ x O A(1,1) B(2,-2) y 圆心 在l上 在AB中垂线上 AB中点 AB斜率 概念运用与巩固 【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心) 因为A(1,1)，B(2,-2) 所以AB的中点坐标为(,-)，且kAB=-3 所以AB中垂线的斜率为， 则AB中垂线方程为y+=(x-)，即x-3y-3=0, 联立中垂线方程与直线l: x-y+1=0，得圆心坐标为M(-3,-2) 所以半径r=|AM|= 故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 x O A(1,1) B(2,-2) y 概念运用与巩固 1.圆的标准方程： 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 2.点与圆的位置关系： 3.求圆的标准方程： （1）几何法，数形结合 （2）待定系数法，计算上必须仔细。 课堂小结 $$