精品解析：广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2024-2025学年第二学期高三数学开学考试卷 考试范围：全部；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在后面的答题卡上. 一、单选题（本大题有12小题，每题只有一个是正确的，每题5分共60分.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若， ，则复数（ ） A B. C. D. 3. 下列函数中在区间单调递增的是（    ） A. B. C. D. 4. 数列中，已知，，且，则 A. -6 B. 6 C. -3 D. 3 5. 过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 已知抛物线的焦点为，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 540 B. 135 C. 18 D. 1215 9. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为（ ） A. （，） B. C D. 10. 若离散型随机变量，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为3，4，5，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题(本大题有6小题，每题5分，共30分.) 13. 曲线在点处的切线方程为____________． 14. 已知向量，若，则______． 15. 若二次函数在区间上递减，则的取值范围是______. 16. 过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________． 17. 已知数列的首项，，，2，3，…，则________． 18. 已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________． 三、解答题(本大题有4小题，每题15分，共60分.) 19. 对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据 （1）求的值； （2）已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户； （3）求第50百分位数． 20. 在中，已知，且. （1）求的面积； （2）若，求 21. 设等差数列的公差为，前项和为，已知，，. （1）求数列通项公式； （2）令，求数列的前项和. 22. 已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高三数学开学考试卷 考试范围：全部；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在后面的答题卡上. 一、单选题（本大题有12小题，每题只有一个是正确的，每题5分共60分.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，再求. 【详解】集合， ， 则. 故选：D. 2. 若， ，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件列出关于，的方程，然后求解. 【详解】由，得，则由题意得，根据复数相等的充要条件得，故. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数相等的条件，属于简单题. 3. 下列函数中在区间单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于选项A：上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B：区间上单调递减，故选项B错误； 对于选项C：在上单调递增，在上单调递增； 对于选项D：在上单调递减，在上单调递增，故选项D正确. 故选：D 4. 在数列中，已知，，且，则 A. -6 B. 6 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题设条件，得到数列是以6项为周期的数列，其中，再由，即可求解. 【详解】由题意，数列中，，，且， 可得， 可得数列是以6项为周期的数列，其中， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合立体图，先由面积计算底面半径和侧棱，再利用侧面积公式计算即可. 【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形，面积为8，故边长，即底面半径，侧棱长为. 则圆柱的侧面积是. 故选：C. 6. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法即可求得弦的长. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线距离， 则弦的长 故选：A 7. 已知抛物线的焦点为，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出参数，然后将令，将转化为，结合均值不等式即可求出最值. 【详解】由，得，令得，，令，则，当且仅当，即时取等号． 故选：B． 8. 的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 540 B. 135 C. 18 D. 1215 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，求出，从而可求出二项展开式的通项公式，然后令的次数为零，求出，从而可求出结果 【详解】由题意得，所以，所以展开式的通项， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 故选：B． 9. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为（ ） A. （，） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围． 【详解】由，可得， 由余弦定理得， 因为，可得， 又由 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 故选：B. 10. 若离散型随机变量，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的期望和方差公式求和即可. 【详解】因为离散型随机变量， 所以，． 故选：B． 11. 一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为3，4，5，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，外接球的直径为体对角线的长，进而得，再根据体积公式计算即可. 【详解】解：因为长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为3，4，5 所以，其外接球的直径为体对角线的长，即 所以，球的体积为 . 故选：A 12. 已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出函数在区间上为增函数，由可得，由此可得出，进而可得出原不等式的解集. 【详解】由于函数在上为增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 由于函数为上的偶函数，由可得， ，可得，解得. 因此，关于的不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题. 二、填空题(本大题有6小题，每题5分，共30分.) 13. 曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】因为，所， 所以曲线在处切线方程为 ，即． 故答案为： 14. 已知向量，若，则______． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量， 且， 所以， 解得， 故答案为：1 15. 若二次函数在区间上递减，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合二次函数的性质得到关于a的不等式，确定实数a的取值范围，然后求得的解析式即可确定其取值范围. 【详解】二次函数在区间上递减， 则对称轴：，且：， 该一次函数单调递增，则：， 即的取值范围是. 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数的单调性求解参数取值范围的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________． 【答案】x±3y＋4＝0 【解析】 【分析】取AB的中点为D，则CD⊥AB，利用勾股定理列出方程组，求出圆心到直线的距离即可求解 【详解】设AB的中点为D，则CD⊥AB，设，则， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5.在直角三角形PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝＝25，解得d2＝， 易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋4)， 圆心C(1,0)到直线l的距离为d＝＝， 解得k2＝，k＝±， 所以直线l的方程为y＝± (x＋4)，即为x±3y＋4＝0. 故答案为：x±3y＋4＝0 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，结合勾股定理，关键在于转化成圆心到直线距离问题求解. 17. 已知数列首项，，，2，3，…，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，即可得解； 【详解】解：因为，，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以 故答案为： 18. 已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数及其对称轴求的周期，并由奇函数求上的解析式，进而求得，应用周期性求值即可. 【详解】由题意，且， ∴，即， ∴是周期为4的函数. 令，则，而时， ∴， ∴，即， 而. 故答案为：1 三、解答题(本大题有4小题，每题15分，共60分.) 19. 对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据 （1）求的值； （2）已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户； （3）求第50百分位数． 【答案】（1） （2）200 （3）200 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）先求用电量在150以下的频率，进而可得结果； （3）根据题意结合百分位数的定义运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得. 【小问2详解】 由题意可知：用电量在150以下的频率为， 所以用电量在150以下的有户. 【小问3详解】 因为，所以第50百分位数为200. 20. 在中，已知，且. （1）求的面积； （2）若，求. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数运算得到，利用二倍角公式求得得到,进而利用三角形面积公式计算； （2）利用余弦定理计算即得. 【详解】（1）由，得.∵，∴，∴.∴. （2）对于，又，由余弦定理得，∴. 21. 设等差数列的公差为，前项和为，已知，，. （1）求数列通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用基本量代换，求出公差d，写出通项公式； （2）对的正负讨论，求出的前项和.. 【详解】（1）因为，所以即 解得，又，所以.. （2）因为， 当时，，则， ； 当时，，则， . 综上所述：. 【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式； （2）数列求和常用方法： ①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法． 22. 已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可. 【小问1详解】 ∵椭圆：的焦点坐标为， ∴，即． ∴抛物线C的方程为：． 【小问2详解】 联立方程组消去x，整理得． ∴． ∴，即, ∴, ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $