精品解析：河南省濮阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

普通高中2024—2025学年（上）高一年级期末考试 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ） A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 4. 已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，其中，则下列说法中错误的是（ ） A. 若为偶数，则与的值域相同 B. 若为奇数，则与的值域相同 C. 若为偶数，则与的定义域相同 D. 若为奇数，则与的定义域相同 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，且，则方程的根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若且，则的最大值为2 C. 对于任意的，总有 D. 存在，使得 11. 在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（ ） A. 在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B. 在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次 C. 在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次 D. 在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为________. 13. 已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是______． 14. 已知函数的图象是中心对称图形，则其对称中心的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 按要求完成下列各题． （1）求值：； （2）已知点为角终边上一点，求的值． 16. 设集合． （1）当时，求集合的非空真子集的个数； （2）若，求整数的所有可能取值． 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若，求实数的取值范围． 18. 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 （1）运用上述函数模型，求当时的值； （2）若当时，恒成立，求的最小值． 19. 已知函数，给定，定义的“－关联跟踪函数”为． （1）求的取值范围； （2）已知当时，恒成立．若对于任意的都有，求的取值集合； （3）若，证明：轴为函数图象的对称轴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2024—2025学年（上）高一年级期末考试 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】当时，，故不是不等式的解， 不等式可化为，因为，故， 所以且， 所以且， 又， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】取可判断命题，利用函数的零点存在定理可判断命题，即可得出结论. 【详解】取易得命题为假命题，故命题为真命题； 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题. 因此，和都是真命题. 故选：B. 3. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ） A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24，但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖， 因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式中可得，表示出，然后逐个分析判断. 【详解】把两点分别代入可得， 所以，， 对于A，，若，则， 得，此方程无解，所以不成立，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，， 因为在上递减，且， 所以，即，所以，所以不成立，所以C错误， 对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误. 故选：B． 5. 已知函数，其中，则下列说法中错误的是（ ） A. 若为偶数，则与的值域相同 B. 若为奇数，则与的值域相同 C. 若为偶数，则与的定义域相同 D. 若为奇数，则与的定义域相同 【答案】C 【解析】 【分析】分为偶数和为奇数结合对数函数的性质分析判断即可. 【详解】（1）当为偶数时， 的定义域为，的定义域为， 所以与的定义域不相同， 为偶函数，当时，，所以与的值域相同． （2）当为奇数时，与的定义域均为，且， 所以与的定义域与值域均相同． 所以选项C错误. 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简变形可求出，再利用二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 7. 已知函数，若，且，则方程的根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知为函数与的交点，结合函数对称性即可得结果. 【详解】因为，， 可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点， 且点为函数与的交点， 又是图象的一个对称中心， 故关于的对称点也在与的图象上， 结合图象可知：方程的根的个数为3． 故选：C． 8. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将转化为三条直线分别与交点的横坐标，然后结合图象可求得结果. 【详解】由，得，由此可得是方程的根， 则是直线与曲线交点的横坐标； 由，得，则是方程的根， 则是直线与曲线交点的横坐标； 由，得，，则是方程的根， 则是直线与曲线交点的横坐标． 直线，和交于点，曲线经过点， 由函数图象可得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增， 所以，无零点，不能使用二分法，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号， 又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确； 对于C，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增， 因为，所以可以使用二分法，故C错误； 对于D，，无零点，不能使用二分法，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知实数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若且，则的最大值为2 C. 对于任意的，总有 D. 存在，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据不等式的基本性质分析判断，对于B，利用基本不等式结合已知条件分析判断，对于C，根据指数函数的性质和对数函数的性质分析判断，对于D，分别求出的最大值和的最小值的分析判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，故，当且仅当时等号成立，但，故等号无法成立，故B错误； 对于C，对于任意的，所以，故恒成立，故C正确； 对于D，因为，故的最大值在时取到，此时取值为， 因为，所以的最小值在时取到，此时取值为， 故的最大值小于的最小值，不存在，使得，故D错误． 故选：AC． 11. 在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（ ） A. 在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B. 在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次 C. 在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次 D. 在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次 【答案】BC 【解析】 【分析】对取特殊即可排除A选项和D选项；由三角函数的对称性及最值判断B选项和C选项； 【详解】当时，在区间内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误； 由于时，恒星处于最亮状态，即函数取最大值， 可解得，故，则是函数的对称轴， 区间关于对称，故恒星的亮度为的次数一定是偶数次，B正确； 因为当和时，该恒星的亮度均为，且时恒星处于最亮状态，， 故，则，即时取最小值， 在内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次， 在内，由于区间关于对称，且时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次， 故在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故C正确； 当时，，在区间内恒星达到最暗的次数只有1次，故D错误． 故选：BC． 【点睛】方法点睛，本题重点考查的内容是三角函数的图像及性质，通过三角函数的最值及对称性来解决本题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式得出圆心角的弧度数. 【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为，半径为，弧长为，则，解得. 故答案为： 13. 已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围. 【详解】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得， 解得，故的取值范围是． 故答案为： 14. 已知函数的图象是中心对称图形，则其对称中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数的对称性得到对称中心的横坐标为，再设对称中心的坐标为，利用列式即可解得. 【详解】已知图象关于原点对称，故的图象关于点对称， 令，解得， 故对称中心的横坐标为2，故设其对称中心的坐标为， 则，可知，解得， 故其对称中心的坐标为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 按要求完成下列各题． （1）求值：； （2）已知点为角终边上一点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数式与对数式运算法则，可得答案； （2）根据正切函数的定义可得正切值，利用同角三角函数的商式，可得答案. 【小问1详解】 ，，， 故原式． 【小问2详解】 由三角函数的概念可得， 故． 16. 设集合． （1）当时，求集合的非空真子集的个数； （2）若，求整数的所有可能取值． 【答案】（1）14 （2）1和2 【解析】 【分析】（1）把代入并求出，进而求出其非空真子集的个数. （2）利用集合的包含关系，列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 当时，，则， 所以非空真子集的个数为. 【小问2详解】 依题意，，由，得，解得， 所以整数的所有可能取值为1和2． 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案. （2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案. 【小问1详解】 ， 当且仅当即时取等号，故的最小值为2， 【小问2详解】 易知在上单调递增， 因为，故， 整理得，即，解得， 故所求为． 18. 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 （1）运用上述函数模型，求当时的值； （2）若当时，恒成立，求的最小值． 【答案】（1）480 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将表格中的数据代入函数模型，建立方程组，解得函数中的参数，可得答案； （2）利用分离参数整理不等式，再利用换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 将表格数据代入，得，解得 故该函数模型的表达式为， 把代入，得． 【小问2详解】 由题意得当时，恒成立，即， 故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式化为，整理得， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故只需当时，成立即可，把代入得， 解得，故的最小值为． 19. 已知函数，给定，定义的“－关联跟踪函数”为． （1）求的取值范围； （2）已知当时，恒成立．若对于任意的都有，求的取值集合； （3）若，证明：轴为函数图象的对称轴． 【答案】（1） （2） （3）证明：由，得． ①当即时，， 因为，所以为偶函数， 所以其图象关于轴对称． ②当即时，， 则， 所以为偶函数， 故其图象关于轴对称． 综上所述，轴为函数图象的对称轴． 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式对变形，再利用正弦函数的性质可求出其范围； （2）由，化简得，再由当时，恒成立，可得，从而可求出的取值集合； （3）由，得或，然后分别化简，再判断的奇偶性可得结论. 【小问1详解】 ，其中， 故的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得， 则， 又因为当时，恒成立，故只需满足即可， 故满足题意的的取值集合为． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的性质，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查函数奇偶性的应用，第（3）问解题的关键是分情况对化简，再判断其奇偶性，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $