广东省肇庆市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

肇庆市2024—2025学年第一学期高二年级期末统一考试 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合．则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 空间中有三个平面与三条直线，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，过的直线与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使 B. 存在实数，使 C. 若为锐角，则 D. 若为一组基底，则 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11. 已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（ ） A. 线段的最小值为 B. 线段的最大值为 C. 当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D. 当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平行六面体中，．若，则的值为____________． 13. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 14. 已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为____________． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 如图，在三棱锥中，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， （1）若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； （2）若，求的值． 17. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面，平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）已知，点是上一动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度． 18. 已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． （1）求的轨迹方程； （2）设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 19. 已知抛物线，焦点为．斜率存在的直线与抛物线交于两点． （1）若直线的倾斜角为，且．求直线的方程； （2）给定一个正实数，分别过点作的切线，设交于点． （i）证明：点在定直线上的充要条件是直线过定点； （ii）已知直线与轴交于点，且．证明：． 肇庆市2024—2025学年第一学期高二年级期末统一考试 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【15题答案】 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，，所以为直角三角形， 又因为， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，平面，所以平面． （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）设点． 以为直径圆的方程为，即． 以为直径圆与圆的方程相减即为直线的方程，即． 整理得． 令，解得． 所以直线过定点． （ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）设过点，的切线方程为， 联立得，即． 则由相切得，整理得，解得． 所以过点的切线方程为． 同理过点的切线方程为． 两方程联立得，所以点． 充分性：设过定点的直线． 联立得，由韦达定理得． 点的横坐标为，所以点在定直线上． 必要性：点在定直线上，则． 设过点的直线． 联立得．由韦达定理得． 解得，则直线过点. 综上，点在定直线上的充要条件是直线过定点. （ii）如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为． 连接．与交于点．由抛物线定义得． ．则． 则，所以． 由知，所以．因此与全等，所以． 同理可得，与全等，所以． 则，所以． 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $