精品解析：辽宁省2024-2025学年高三上学期第二次联合调研数学试题

机密 启用前 辽宁省高三年级第二次联合调研 数学科目试题册 本试题册共7页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，准考证号需使用2B铅笔把对应标号涂黑. 2.选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案标在试卷上无效. 3.非选择题需用0.5mm黑色签字笔在答题卡上各题目指定区域内作答.在试卷和草稿纸上作答无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 辽宁省高三年级第二次联合调研 数学科试卷 命题人：曲剑韦 华良辰 阳明威 校对人：梁伟 赵华年 张鑫方 高崎峰 命题单位：辽宁省数学名师工作室 辽宁省教育培训中心 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两位有效数字）（ ） A. 0.50 B. 0.55 C. 0.70 D. 前三个答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】考虑取5次后没有重复元素的概率，故可得正确的选项. 【详解】考虑反面，取5次后没有重复元素的概率为， 于是所求概率为． 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知， 则， 即复数的虚部为， 故选：C. 3. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围. 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为. 故选：D. 4. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】设为三角形中心，过作，，，得到，，，再以为原点建立直角坐标系，得到直线，直线，直线的方程，利用点到直线的距离，求得点O到直线的距离判断. 【详解】设为三角形中心，过作于，于，于， 由平面，得，平面，则平面， 又平面，于是是二面角的平面角， 因此，同理，， 以为原点建立直角坐标系，如图2，不妨设，则， 由，，得，， 则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 于是，，，，， 而，，为锐角，所以. 故选：B 5. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】由，，又，所以， ，又，所以， 由得（）， 相减得，，， 所以，所以， 再相减得， 则，而， 所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以， ， 对任意，有恒成立，则恒成立， ， 即， 是奇数时，，，∴， 为偶数时，，，∴， 综上，．又是非零整数，所以． 故选：D． 【点睛】思路点睛：数列问题中已知项与和的关系时，一般利用得出数列的递推关系，从而再求解；在含有的不等式参数问题中，需要利用的奇偶进行分类讨论化简不等式得参数范围． 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项，结合边角互化可得，进而根据和差角公式可得，由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，成等差数列，则， 由正弦定理可得, 故, ， 由于，因此，故 ，当且仅当，取等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据等比中项以及正弦定理可得，进而利用正切和正弦的和差角公式得，，即可结合基本不等式求解. 7. 平面上有两组互不重合的点，与，，，.则的范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑的特殊情况，验证选项可得答案. 【详解】当时，由题，有，，. 得.则在以为圆心，半径为1的圆上，则在以为圆心，半径为2的圆上.又，则如下图所示，即时，取最小值为1； 如下图所示，即时，取最大值为3. 则当时，的范围是，验证选项可排除A，B，C. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题因点的情况较为复杂，且又为选择题，故考虑利用特殊值验证选项得答案. 8. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于D、E两点．设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点．下列选项正确的有（ ） A. 点坐标为 B. C. D. 若最小，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量的运算以及坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意得，量角器与轴、轴相切于、两点，且，则，故A正确； 由A可知，，则，则 ，故B错误； 记，则C选项 ，故C正确； 设，则 ， 当时，，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. ，，，则 B. 在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第5项 C. 15人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是 D. 已知函数在上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用常见不等式放缩得到，的大小关系，再利用幂函数的单调性比较，的大小关系即可判断A；分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可判断B；利用插空法及古典概型的概率公式判断C；由的范围求出的范围，再根据余弦函数的性质计算即可判断D. 【详解】对于A：令，则恒成立，所以在单调递增， 所以当时，，即； 令，则恒成立，所以在单调递增， 所以当时，，即； 由诱导公式得，所以，因此； 因为，，故只需比较与的大小， 由二项式定理得，， 所以． 综上，，故A正确； 对于B：由可得， 当，,则， 其展开式的通项为， 令,得,解得； 当,,则， 其展开式的通项为， 令，得，解得. 综上所述：， 所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项，故B错误； 对于C：个人围坐在圆桌旁从中任取人，他们两两互不相邻， 则可先把个人入坐好，再让其余人插空，共有种不同的围坐方法， 所以所求概率是，故C错误； 对于D：当时，因为此时的最小值为， 所以，即. 若，此时能取到最小值，即，代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 在上单调递减，所以存在唯一符合题意； 所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，故D正确； 故选：AD 【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为： （1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系； （2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小； （3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（ ） A. 存在的等比数列，使得为等比数列 B. ，均存在等差数列，使得为等差数列 C. ，均不存在等比数列，使得为等差数列 D. 若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A、B先假设给定描述正确，利用等差、等比数列的性质得到无解、等差数列的公差判断；C根据等差、等比数列的性质有，再应用导数研究方程是否有解判断；D令，可得，讨论研究与的大小关系判断. 【详解】A：若的等比数列，使， 由且，若，则，若，则， 则①， 不妨令，，则， 故，且，仅当时等号成立， 若，方程①中左式恒大于右式，同理，即，结论相同，错； B：若存在等差数列，使得为等差数列，则且， 所以，则， 设等差数列的公差为，则，即， 显然不满足，错； C：若存在等比数列且公比为，使得为等差数列，则， 不妨设，，只需，只需， 则，令，则， 令，则，且， 则在上单调递增，又，故都有， 令，则， 即在上单调递增， 令，且， 则，故在上单调递减，则， 所以无解，对； D：若存在等差数列，使得为等比数列， 令，则， 所以，而， 所以，即， 当时，， 当时，， 当时，， 故的最小值不为，错. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：等差、等比性质得到方程有解，应用反证思想得到矛盾结论判断A、B；对于C，问题化为判断是否存在解；对于D，根据已知得为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则______.（用含n和x的式子表达） 【答案】 【解析】 【分析】由排列组合数的性质可得，进而有，再根据二项式定理求得，且，讨论、并结合二项式展开式的应用求. 【详解】由题设，可得，故，则， 由的展开式通项为，， 所以其第二项为，故，且， 当时，，则， 即，故， 所以； 当时，，则 ， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，令，得到或，得出直线的方程，联立方程组得到，令，利用导数求得的单调性，得到有且仅有2个零点，其中，得到，假设存在常数，利用，求得，代入得，设，求得单调性，得到，使得，进而得出的值. 【详解】解：由函数，可得， 令，可得或， 当或时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为或， 所以直线的方程为，即， 由，可得， 令，可得， 令，可得，当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增， 因为， 所以有且仅有2个零点，其中， 这表明方程的解集为， 即直线与曲线交于另一点，且点的横坐标为， 由，即， 假设存在常数，上的， 则，所以， 代入，可得， 设函数，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以，存在唯一的实数，使得， 此时 ， 所以存在常数，上的，且. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 14. 我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图. 如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数. （1）的定义域是______；（2）的最小值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题设新定义证明“垂棱四面体”可补为长方体，将补成长方体，设长宽高分别为，则，设，且联立直线且与椭圆方程，应用韦达定理及两点距离的坐标表示得到，进而求出定义域及其最小值. 【详解】如图，连接， 由题知，平行且等于，平行且等于， 所以，，故为平行四边形， 所以对角线，则是的中点， 同理也是的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点， 由三条内棱两两垂直，易知为菱形，则， 显然，故，同理， 所以“垂棱四面体”可补为如下图示的长方体， 综上，题设右图可将补成长方体，设长宽高分别为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为， 所以， 显然，，，则， 设，因直线过椭圆焦点，所以， 联立，得，则， 所以，则，又，，， 所以， 则，即， 由为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中为锐角， 所以只需角为锐角，即，则，可得， 由， 所以最大时，最小， 令，则， 由在上单调递增，故， 所以. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：证明“垂棱四面体”可补为长方体，联立直线与椭圆，应用韦达定理及两点距离的坐标表示得到表达式为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，.. （1）若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由； （2）在平面内，设点Q是（1）中的曲线E在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中G为曲线E和的交点,以B为圆心，为半径的圆分别与梯形的边交于两点.当点在曲线段上运动时，求四面体体积的取值范围. 【答案】（1）双曲线 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得与所成的角为，再设，由求解； （2）设，直线CD的方程为：，与双曲线方程联立，根据直线CD与双曲线E交于点C求得G的坐标，设为双曲线的动点，由，以及要使圆B与AB、BC都有交点，得到圆B的半径取值范围，然后根据平面DMN，得到P-BMN体积为，设，则，转化为的面积范围求解. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设与所成的角为， 则 ，所以， 设， 则， 所以，即， 化简得，故曲线是平面ABCD内的双曲线； 【小问2详解】 由（1）知：， 设，则， 所以直线CD的方程为：，代入双曲线方程化简得， 因为直线CD与双曲线E交于点C， 所以，故，则， 则， 故双曲线E在直角梯形ABCD内部的区域满足， 设为双曲线的动点， 则， 当时，，当时，， 而要使圆B与AB、BC都有交点，则， 故满足题意的圆的半径取值范围是， 因为平面DMN，所以P-BMN体积为：， 故问题可以转化为研究的面积，且， 设，则， 所以，则， 所以. 16. 已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. （1）求证：； （2）若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； （3）求的最小值. 【答案】（1）证明：因为 ， 由，则，故，所以， 设， 则， 故在上单调递增， 故当时，，即. 由为锐角，则，所以有， 同理，， 所以，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将用的形式表达，借助不等式性质与不等式得，进而同理得的不等关系，由内角和定理即可得证； （2）结合正、余弦定理化简求得，利用锐角三角形求范围，进而构造齐次式化弦为切可得的范围，整体换元令，将问题转化为不等式对任意，的双变量恒成立问题逐步求解可得； （3）由两角和正切公式化，再整体换元，令，进一步令，转化为求的最值，再利用基本不等式与导数求解最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，且， 则根据余弦定理可得， 化简得，由正弦定理得， 得，由均为锐角，且， 则且， 解得， 则 ， 令，则，， 不等式， 即不等式对任意，恒成立. 所以对任意恒成立， 则， 化简得， 则不等式对任意恒成立， 其否定为：存在，使不等式. 即存在，成立. 即关于的不等式在有解. 由可得，且； ，且，且当时，； 又， 则要使不等式在有解， 则， 故当，或时，不等式对任意恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 在锐角中，， 由，则， 令，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当时等号成立. 令， 则， 令， 则，令，解得， 则当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故在有且仅有一个根，设为，且， 发现，故， 故，由，则，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 所以有， 当且仅当，即时，取到最小值，且最小值为. 此时， 综上可得，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于“元”的变换.如第一问种通过三角恒等变换，对式子的变形，转化为整体元“”的函数求解；再如第二问中通过整体换元，将问题转化为对任意，双变量不等式恒成立，进而分别以为主元变量逐步求解；又如第三问中令，则，通过基本不等式的应用，将多元最值问题转化为一元函数的最值问题求解. 17. 已知函数与互为反函数，若A，两点在曲线上，，两点在曲线上，以A，，，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的.“关联矩形”： （1）若函数为幂函数，且点在图象上，设. ①求曲线在点处的切线方程；②求函数的极值点； （2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）证明：由得其反函数为， 所以和图象关于直线对称，且由其性质可知， 根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，则， 设，其中， 则，，因为“关联矩形”是正方形， 所以，， 所以， 由，得，所以， 所以由得即. 对于函数，则， 故函数在上单调递增，故即， 令， 则且， 则在上单调递增，所以， 所以，因为， 令，则，当时，单调递增， 则， 从而. 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义及反函数的定义分别求得出，利用导数的几何意义求切线方程；由导数研究函数的单调性求极值即可； （2）先由题意设关于直线对称，关于直线对称得，进而设得，再由已知信息结合得到，接着建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 【小问1详解】 根据题意可设，代入可得，即， 则，由反函数的概念知， 所以，则， ①易知， 则曲线在点处的切线方程为：， 整理得； ②令，即， 可知时，，即此时单调递增， 时，，即此时单调递减， 所以函数的极大值点为，没有极小值点； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键1是正确处理四点的关系，从而根据四点之间的关系结合得到，关键点2是建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 18. 一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. （1）求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 （2）四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. （3）过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 【答案】（1）椭圆方程为，抛物线的方程为 （2）四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8； （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，，分两种情况，得到椭圆方程为，并根据焦点坐标得到，求出； （2）先得到直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为，求出四边形GCBD的面积为8，再求出当直线的斜率存在，设直线的方程为， 分别与和联立得到两根之和，两根之积，求出弦长，表达出四边形面积，换元得到，结合函数单调性得到，从而求出最小值； （3）联立直线和得到点M的坐标，并得到点坐标，由得到，并变形得到，结合，得到方程，求出答案. 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 若椭圆的短半轴长与的焦距长相等， 即，此时不合要求， 若椭圆的短半轴长与椭圆的焦距长相等， 即，解得，满足要求， 故椭圆方程为； 椭圆的焦点为，故，解得， 故； 【小问2详解】 显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为，此时直线为， 中，令得，故， 此时，， 设四边形GCBD的面积为，， 当直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 故， 故， 直线，与椭圆联立得， 恒成立， 设，则， 由弦长公式得 ， 设四边形GCBD的面积为， ， 令，则， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 故四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8. 【小问3详解】 由题意得，故直线，联立得 ，设，则， 故，， 故，， 中，令得，故， ， 又，设，故，解得， 所以， 由得， 即，， 即， 其中，， 故，解得， 故的值为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 已知正四棱锥的体积为，高为. （1）现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望. （2）假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率. （i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求； （ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1）的分布列为 （2）（i） （ii）是，该常数为. 【解析】 【分析】（1）先确定该四棱锥的各个参量，再利用分布列和期望的定义得到答案； （2）（i）计算出，并证明； （ii）根据题意，利用对立事件概率公式得到递推关系，进而利用数列知识凑项，转化为等比数列问题，进而求得通项公式，即可得到结论. 【小问1详解】 该正四棱锥的底面面积，故底面边长，侧棱长. 若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离； 若该蚂蚁沿着或移动，则秒后该蚂蚁与点的距离； 若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离. 所以的分布列为 . 【小问2详解】 （i）每只蚂蚁有的概率得分，有的概率得分. 从而只蚂蚁的总得分为当且仅当恰有一只蚂蚁得分. 故，所以. 设，则，作差即得 . 所以. （ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为分，必然是至多抽取了只蚂蚁. 在得分为分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到分或分，这两者是对立事件， 抽取若干蚂蚁得分分，记为事件，得分分的事件记为， ， 由对立事件的概率关系可得： ， ， ， 所以， 当时，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对概率相关性质的熟练运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密 启用前 辽宁省高三年级第二次联合调研 数学科目试题册 本试题册共7页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，准考证号需使用2B铅笔把对应标号涂黑. 2.选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案标在试卷上无效. 3.非选择题需用0.5mm黑色签字笔在答题卡上各题目指定区域内作答.在试卷和草稿纸上作答无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 辽宁省高三年级第二次联合调研 数学科试卷 命题人：曲剑韦 华良辰 阳明威 校对人：梁伟 赵华年 张鑫方 高崎峰 命题单位：辽宁省数学名师工作室 辽宁省教育培训中心 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两位有效数字）（ ） A. 0.50 B. 0.55 C. 0.70 D. 前三个答案都不对 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ） A. << B. << C. << D. << 5. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 平面上有两组互不重合的点，与，，，.则的范围为（ ）. A. B. C. D. 8. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于D、E两点．设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点．下列选项正确的有（ ） A. 点坐标为 B. C. D. 若最小，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. ，，，则 B. 在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第5项 C. 15人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是 D. 已知函数在上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，对于数列，若，下列说法不正确的是（ ） A. 存在的等比数列，使得为等比数列 B. ，均存在等差数列，使得为等差数列 C. ，均不存在等比数列，使得为等差数列 D. 若存在等差数列，使得为等比数列，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则______.（用含n和x的式子表达） 13. 已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则______. 14. 我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图. 如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数. （1）的定义域是______；（2）的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，.. （1）若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由； （2）在平面内，设点Q是（1）中的曲线E在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中G为曲线E和的交点,以B为圆心，为半径的圆分别与梯形的边交于两点.当点在曲线段上运动时，求四面体体积的取值范围. 16. 已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. （1）求证：； （2）若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； （3）求的最小值. 17. 已知函数与互为反函数，若A，两点在曲线上，，两点在曲线上，以A，，，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的.“关联矩形”： （1）若函数为幂函数，且点在图象上，设. ①求曲线在点处的切线方程；②求函数的极值点； （2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：.（参考数据：） 18. 一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. （1）求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 （2）四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. （3）过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 19. 已知正四棱锥的体积为，高为. （1）现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望. （2）假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率. （i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求； （ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $