精品解析：福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高二下学期2月开学联考数学试题

2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟2月开学联考 高二数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm碳素黑中性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. 或0 B. C. 或2 D. 2 2. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A. 若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； B. 若非零向量、、满足，，则有； C. 若、、是空间向量的一组基底，且，则A、B、C、D四点共面； D. 若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 6. 在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ） A. B. C. 当时，的最大值为9 D. 当时，取得最大值 10. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（ ） A. 存在圆心在上的圆与相内切 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值是 D. 点关于的对称点在内 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则_____. 13. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之差为______ 14. 已知直线是曲线与的公切线，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 16. 已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. （1）求数列和通项公式； （2）设求数列前20项和. 17. 已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程． 18 已知函数. （1）若，求曲线处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求实数a的取值范围 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线. （1）求的标准方程； （2）若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟2月开学联考 高二数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm碳素黑中性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. 或0 B. C. 或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【详解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：D 2. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 3. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 4. 已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 5. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A. 若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； B. 若非零向量、、满足，，则有； C. 若、、是空间向量的一组基底，且，则A、B、C、D四点共面； D. 若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的性质判断A、B；由基底的定义，结合向量共面定理判断C、D. 【详解】A：若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则它们与空间任意向量都共面，则必共线，即，对； B：当所成平面与垂直时，不一定成立，错； C：由题设，即，所以A、B、C、D四点共面，对； D：若、、不是空间向量的一组基底，即它们共面， 结合向量加法的几何意义知： 向量、、必共面， 与向量、、是空间向量的一组基底矛盾，对； 故选：B 6. 在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系， 以为坐标原点，以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，设点到直线的距离为， 所以，， 根据点到直线距离公式有：， 所以. 故选：C 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】 由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解. 【详解】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用对数的运算将， 转化为，结合的表达式得到， 从而求解的最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ） A. B. C. 当时，的最大值为9 D. 当时，取得最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D. 【详解】设数列的公差为， 对于A，由，得， 又，所以，故A正确； 对于B，由A知，则，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 又， 所以当时，， 且， 所以当时，的最大值为8，故C错误； 对于D，因为当时，，当时，， 所以当取得最大值时，，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（ ） A. 存在圆心在上的圆与相内切 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值是 D. 点关于的对称点在内 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆内切的条件判断A；借助切线长定理求出面积最小值判断B；求出时对应弦长判断C；求出点关于直线的对称点到圆心距离判断D. 【详解】圆：的圆心，半径 对于A，在直线上取点，，点在圆外， 以点为圆心，为半径的圆与圆相内切，A正确； 对于B，四边形面积， 点到直线的距离，则，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，由，得， 解得，C错误； 对于D，点到直线的距离为，点与点的距离为5， 点与圆心确定的直线斜率为，而直线的斜率为， 即点与确定的直线垂直于，因此点关于的对称点到点的距离为， 则点关于的对称点在内，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，，由题 面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化；对于B选项，作出过的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长即可；对于C选项，以为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出设面的法向量，代入线面角公式即可求范围；对于D选项，取中点为，连接，设外接圆圆心为，外接球球心，由正弦定理可求得，由题可证 四点共圆，得，再构造直角三角形用勾股定理，即可解，最后代入球表面积公式. 【详解】对于A选项，，因为，因此面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化，即为定值，故A选项正确；对于B选项，四边形为过的平面截正方体所得截面， 因为平面平面，且面平面， 面面，又因为为中点，所以为四等分点， 则，故B选项错误；对于C选项，以为坐标原点，建立坐标系如图， 则，，，设，， 所以，，，设面的法向量为，则 ，令，解得，所以 当时，，当时，，当且仅当时等号成立，因此，故C选项正确； 对于D选项，取中点为，连接，设外接圆圆心为，外接球球心，连接，则， 在中设外接圆半径为，由正弦定理， 所以，由题知，故， 所以弦所对的圆周角相等，故四点共圆，故， 设外接球半径为，过作，交于，则中，， 即，在中，， 即，联立解得，因此,故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】立体几何中截面问题与外接球问题一直都是难点，解决于截面有关的问题，关键是利用平行、垂直、平面基本定理找到正确的交点，从而得到正确的截面；解决外接球问题的突破点在于根据几何体的形状，正确的判断出球心的大概位置，然后构造两个直角三角形，利用勾股定理联立两方程，来解决有关问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 13. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之差为______ 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性，即可求出函数在上的最大值与最小值，进而得解. 【详解】因为， 所以， 令或， 所以上单调递减，在、上单调递增， 且， 所以在上的最大值为3，最小值为， 则在上的最大值与最小值之差为4. 故答案为：4 14. 已知直线是曲线与的公切线，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】对于函数，则， 设是曲线上的一点，切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即， 对于函数，则， 根据斜率关系可得：，解得， 可得，可知切点坐标为， 则切线方程为，即， 可得，整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去； 当时，切线方程为，故，； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理可得答案； （2）连接，交于点，取中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出坐标、平面的法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； 【小问2详解】 如图，连接，交于点，取的中点， 因为、分别为、的中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为为菱形，所以， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角正弦值为. 16. 已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解，利用等差数列基本量运算求解； （2）结合等差数列求和公式、等比数列求和公式，根据分组求和法求和即可得解. 【小问1详解】 因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以. 又数列是等差数列，且. 所以. 所以. 【小问2详解】 因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 17. 已知椭圆E：右焦点为F，点在椭圆E上，轴． （1）求椭圆E的方程； （2）过点直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求得，代入点的坐标即可求得椭圆方程； （2）分别写出直线的方程，求得的坐标，表示三角形的面积，根据三角形的面积即可求得直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 轴，， 又点在曲线上， ， 椭圆E的方程为 【小问2详解】 根据题意画如下图： ①当直线l的斜率不存在时，不符合题意 ②设直线l的方程为，， 直线I方程与椭圆方程联立得， ，，得或， ， 直线BA所在的直线方程为：，得 直线CA所在的直线方程为：，得 ， 或舍去 直线l的方程为 18. 已知函数. （1）若，求曲线在处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分类讨论的符号以及根与定义域之间的关系，结合导数与单调性之间的关系分析求解； （3）令，分析可知原题意等价于对任意恒成立，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 若，则，， 可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，即，则有： 当，即时，则，即， 所以在内单调递增； 当，即时，则方程有两个不相等的实根，， 且， 若，即，令，解得；，解得； 则在内单调递减，在内单调递增； 若，即，令，解得或；，解得； 则在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增； 若，在内单调递减，在内单调递增. 【小问3详解】 因为，整理可得， 令，原题意等价于对任意恒成立， 因为， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 即对任意恒成立，可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线. （1）求的标准方程； （2）若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列式化简即可求解轨迹方程. （2）（i）直线的斜率不存在时，显然O、P、Q三点共线；直线斜率存在时，设、，利用点差法求出及，从而可得，即可证明.（ii）由题意设直线和直线的方程为和，联立直线与双曲线方程，韦达定理，求得点P的坐标，同理求出点Q的坐标，利用点到直线距离分别求出这两点到渐近线的距离，从而，利用不等式性质求解范围即可. 【小问1详解】 设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为， ①直线的斜率不存在时，P、Q都在x轴上，O、P、Q三点共线. ②直线斜率存在时，则可设方程为，、，. 由得， 所以，,，所以， 同理，因为，所以，所以，所以O、P、Q三点共线. 综上，O、P、Q三点共线. （ii）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且，       联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $