精品解析：广东省惠州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

惠州市2024—2025学年高二第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知为等差数列,,则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，若，则实数等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 已知点，直线与直线平行，则实数等于（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 8. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 若直线与圆相交，弦长最大值为12 C. 直线过定点 D. 当时，直线与圆相切 10. 已知数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 数列的首项不可能为0 B. 当时，偶数项的符号相同 C. 当时，一定是等比数列 D. 当时，有可能是等比数列 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分；其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 过抛物线焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于_______． 13. 在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是：_______．（注：写出一个具体的坐标即可） 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 16. 设数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角（如图所示）．依据此物理定律，解决以下问题． 已知抛物线，其焦点为，直线与抛物线相切于点． （1）求直线的方程； （2）从点发出光线经过抛物线上的点反射，证明：反射光线平行于抛物线的对称轴． 18. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为分别是和的中点． （1）证明：； （2）若点满足，且点在平面内，求的值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市2024—2025学年高二第一学期期末考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知为等差数列,,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列性质: 若,则； 【详解】由于为等差数列，所以,故．故选：A． 2. 已知空间向量，若，则实数等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】即等价于. 【详解】因为且,所以,解得, 故选：D． 3. 已知点，直线与直线平行，则实数等于（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两直线平行，斜率相等，已知直线上的两点，求出斜率即可得解. 【详解】由，则， 故选：B． 4. 椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据离心率越小越接近圆判断；法二：根据越接近越接近圆判断. 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 5. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式:向量在向量上的投影向量为,计算求解； 【详解】向量在向量上的投影向量为．故选：C． 7. 若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于、的不等式，即可判断出点与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆无公共点，则，所以，， 因此，点在圆内. 故选：C. 8. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】双动点，目标求轨迹长，需先确定轨迹，建系列条件找出轨迹即可求解. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 若直线与圆相交，弦长最大值为12 C. 直线过定点 D. 当时，直线与圆相切 【答案】AD 【解析】 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而得到圆心和半径，判断AB两个选项，由直线的方程，令的系数为求得定点，判断C选项，由点到直线的距离判断D选项. 【详解】由圆可化为，故A正确； 弦长最大值为直径，B错误； 由直线方程可化为，则直线过定点，故C错误； 当时，直线即， 圆心到直线的距离，从而直线与圆相切，故D正确． 故选：AD． 10. 已知数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 数列的首项不可能为0 B. 当时，偶数项的符号相同 C. 当时，一定是等比数列 D. 当时，有可能等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】已知，可求出数列的通项，进而逐项分析判断即可. 【详解】由，故A错误； 当时，，所以B正确； 当时，，满足上述，即， 所以当且仅当时，是等比数列，所以C正确；选项D错误． 故选：BC． 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分；其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可得到答案. 【详解】根据抛物线的定义得. 故答案为：4. 13. 在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是：_______．（注：写出一个具体的坐标即可） 【答案】或或 【解析】 【分析】通过数量积公式求夹角,转化为关系式,再赋值计算即可； 【详解】本题为开放题，由,得,则向量坐标满足关系式即可,答案不唯一． 若取可得,因此可得及其共线向量满足条件； 若取,再令,得,因此可得及其共线向量满足条件； 若取,再令,得,因此可得及其共线向量满足条件． 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式. 【详解】正方形数所构成数列的第5项是， 五边形数所构成数列满足，，，，， 所以，， 累加可得，当时成立， 所以. 故答案为：25； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 16. 设数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，，进而可得，故可证； （2）根据裂项相消法可得. 【小问1详解】 当时，， 因为， 当时，， 上述两式相减，得，所以 当时，上式仍然成立，从而的通项公式为， 当时，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）知， 则， 化简得． 17. 我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角（如图所示）．依据此物理定律，解决以下问题． 已知抛物线，其焦点为，直线与抛物线相切于点． （1）求直线的方程； （2）从点发出的光线经过抛物线上的点反射，证明：反射光线平行于抛物线的对称轴． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）抛物线与曲线相切，仅有一个公共解，联立用即可求解； （2）由题可求点坐标，且过P的切线为反射平面，则入射光线可以确定，据对称性即可求解. 【小问1详解】 联立，消去得：， 整理得：① 依题意可知：， 且， 由解得：， 故直线的方程为：； 【小问2详解】 法一：如图所示，由反射角等于入射角，要证反射光线平行于轴， 只需证即可． 由（1）知是方程①的唯一解，则， 代入抛物线方程得，所以有， 因为法线垂直于切线，所以得， 因此光线在处的法线方程为：即． 设法线与轴交点为，令，得，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，即反射光线平行于抛物线的对称轴． 法二： 设点关于切线的对称点为 要证反射光线平行于轴，只需证轴即可． 由（1）知是方程①的唯一解，则， 代入抛物线方程得，所以有， 由对称性得， 解得，即， 所以， 所以轴，即反射光线平行于抛物线的对称轴 法三： 如图所示，设点关于法线的对称点为， 要证反射光线平行于轴，只需证轴即可． 由（1）知是方程①的唯一解，则， 代入抛物线方程得，所以有， 因为法线垂直于切线，所以得， 因此光线在处的法线方程为： 即 由对称性得 解得，即 所以反射光线方程为， 所以轴，即反射光线平行于抛物线的对称轴. 18. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为分别是和的中点． （1）证明：； （2）若点满足，且点在平面内，求的值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】小问1：空间体建系简单，可建系列方程，应用空间向量数量积运算求解，或者应用线面垂直来证明，寻找的平行线即可证得； 小问2：点在面内，则面内的不共线向量和法向量垂直，可计算求，或者借助共面定理，或者先寻找，几何分析求解均可； 小问3：应用空间向量计算求解，或者先分析寻找确定角，再计算求值. 【小问1详解】 法1：连接交于，连接， 由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系， 则 则，则，所以． 法2：连交于，连， 依题意得，，则， 由面，面，则，即有， 由于是平面内两相交直线， 因此面，又面，故； 【小问2详解】 法1：由（1）得， 因此， 设平面的法向量，由，得， 令，则，所以， 由于点在平面内，则，则， 即，解得. 法2：由，得 ， 由题得四点共面得， 法3：由（1）得， 由，则， 由于四点共面，则存在唯一实数，使得， 即， 则，解得， 法4：由面面， 连交于，则面且为中点， 在三角形中，连延长交，则交点即是点， 取中点，连， 易得为三角形中位线，为三角形中位线， 则为线段上靠近三等分点，即； 小问3详解】 法1：， 由（2）可得平面的法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法2：由（1）知面，面， 所以面面，面面， 过于，面，则面， 连接，则为直线与面所成角， 由于，则． 又． 于是直线与平面所成角的正弦值为. 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 【解析】 【分析】（1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得 【小问1详解】 由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； 【小问2详解】 （i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$