江苏省无锡市梁溪区无锡外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C C A B D B 一、选择题（共30分） 1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程； B．方程x6+3＝是分式方程； C．方程x7﹣2y+4＝8是二元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2﹣2x+7＝0是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 2．（3分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2， ∴其相似比为2：2， ∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9； 故选：A． 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可． 【解答】解：A．三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故此选项不符合题意； B．三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故此选项不符合题意； C．长度相等的两条弧不一定是等弧，故此选项不符合题意． D．圆中最长的弦是直径，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＞7，即（﹣2）2﹣6×k×（﹣1）＞0， 解得k＞﹣2且k≠0． 故选：C． 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理求出OC＝5＝OA，根据线段的和差即可得解． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE＝CD＝2． 在Rt△OCE中，OE＝3， ∴OC＝＝＝5， ∴OA＝OC＝7， ∴AE＝OA+OE＝5+3＝5． 故选：C． 6．（3分）如图，∠ABC是放置在正方形网格中的一个角，A、B、C都是格点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，根据余弦定义进行解答，即可． 【解答】解：连接AC， 由网格可得，，，， ∴AB2+AC8＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°， ∴． 所以cos∠ABC的值为， 故选：C． 7．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点2+bx+c＞kx+m的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0 【答案】A 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣6），3）， ∴不等式ax+bx+c＞kx+m为：x＜﹣3或x＞6， 故选：A． 8．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，若点O为△ABC的内心（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接并且延长AO交BC于点E，作ED⊥AB于点D，因为点O为△ABC的内心，所以AO平分∠BAC，则ED＝EC，设BC＝12m，则AC＝5m，求得AB＝＝13m，则＝＝sin∠ABC＝＝，所以EB＝EC，由BC＝EC+EC＝12m，求得EC＝m，则tan∠OAC＝＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接并且延长AO交BC于点E，作ED⊥AB于点D， ∵点O为△ABC的内心， ∴AO平分∠BAC， ∵ED⊥AB于点E，EC⊥AC于点C， ∴ED＝EC， 设BC＝12m， ∵tan∠ABC＝＝， ∴AC＝BC＝5m， ∴AB＝＝＝13m， ∵＝＝sin∠ABC＝＝＝， ∴EB＝EC， ∵BC＝EC+EC＝12m， ∴EC＝m， ∴tan∠OAC＝＝＝， 故选：B． 9．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，M为PC的中点，则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB中点E，并连接CE，PE，取CE中点F，连接MF，利用中位线的性质可得出点M的运动轨迹，据此可解决问题． 【解答】解：取BA的中点E，连接CE，取CE中点F， ∵点M和点F分别为CP和CE的中点， ∴MF是△CPE的中位线．又∵AC＝BC＝1， ∴AB＝＝5， ∴PE＝， 则MF＝PE＝， ∴点M在以点F为圆心，为半径的圆上． 连接BF，在Rt△BEF中， ∵EF＝CE＝AB＝， ∴BF＝＝， ∴BM的最小值为：﹣＝． 故选：D． 10．（3分）如图，A（﹣1，1）、B（﹣1，4）、C（﹣5，4），连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，点Q的轨迹长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形，可知点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，且OP：OQ＝：1，得出周长比为：1，求出△ABC的周长即可解决问题． 【解答】解：∵△OPQ是等腰直角三角形， ∴点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同， ∵OP：OQ＝：1， ∴点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为：1， ∵A（﹣1，2），4），4）， ∴AB＝6，BC＝4， ∴△ABC周长＝3+6+5＝12， ∴点Q的轨迹形成的封闭图形周长为12÷＝5， 故选：B． 二、填空题（共24分） 11．（3分）已知，则的值是 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先设＝k，即可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后将其代入，即可求得答案． 【解答】解：设＝k， ∴a＝2k，b＝3k， ∴＝＝． 故答案为：． 12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x1+x2＝　6　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x5﹣6x+2＝4的两根， ∴． 故答案为：8． 13．（3分）小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 　60　米． 【答案】60． 【分析】根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【解答】解：小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：x＝60， ∴她实际上升了60米， 故答案为：60． 14．（3分）如图，乐器上的一根弦AB的长度为18cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，则线段AC的长度为 　（9﹣9）　cm． 【答案】（9﹣9）． 【分析】直接由黄金比值列式计算即可． 【解答】解：∵点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，AB＝18cm， ∴AC＝AB＝﹣9）（cm）， 故答案为：（5﹣9）． 15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是 　80　度． 【答案】80． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角及角平分线定义得∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ABD＝45°，进而得∠BAC＝35°，∠DAC＝∠CBD＝45°，由此可得∠BAD的度数． 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝55°，BD平分∠ABC， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝35°，∠CBD＝∠ABD＝， ∴∠DAC＝∠CBD＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CBD＝35°+45°＝80°， 故答案为：80． 16．（3分）把二次函数y＝x2+4x﹣10向上平移k个单位长度（k＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 　0＜k＜14且k≠10　． 【答案】0＜k＜14且k≠10． 【分析】先写出平移后的抛物线解析式为y＝x2+4x﹣10+k，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4（﹣10+k）＞0且﹣10+k≠0，然后解不等式组得到k的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x﹣10向上平移k个单位长度（k＞8）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝x2+4x﹣10+k， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴Δ＝72﹣4（﹣10+k）＞7且﹣10+k≠0， 解得k＜14且k≠10， ∴k的取值范围为0＜k＜14且k≠10． 故答案为：8＜k＜14且k≠10． 17．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，，D是BC边上一点，线段AD的最大值为 　4+　． 【答案】4+． 【分析】作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC，利用圆周角定理和垂径定理，求出OB，利用勾股定理求出OD，根据AO+OD≥AD，得到当A，O，D三点共线时，AD最大，即可得解． 【解答】解：作△ABC的外接圆，连接OA，OC，过O作OE⊥BC， ∴OA＝OB，BE＝CE＝， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝45°， ∴∠OBE＝45°， ∴OE＝BE，OB＝， ∵BC＝4，CD＝3BD， ∴BE＝2，BD＝， ∵OE＞0， ∴OE＝5， ∴OB＝4， ∵DE＝BE﹣BD＝， ∴OD＝＝＝， ∵AO+OD≥AD， ∴当A，O，D三点共线时， ∴AD＝OA+OD＝4+， 故答案为：3+． 18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m与x轴交A、B两点（点A在点B左侧），则B点坐标为 　（5，0）　；与y轴交于点C，抛物线顶点为D，若△BCD是锐角三角形　m或m　． 【答案】（5，0），m或m． 【分析】令y＝0，则mx2﹣4mx﹣5m＝0，解方程即可求得B点的坐标，求得抛物线的顶点坐标，根据题意顶点到x轴的距离大于AB的一半，据此得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝mx2﹣4mx﹣7m， ∴m≠0． 令y＝mx2﹣4mx﹣5m＝0， ∴x6﹣4x﹣5＝4． ∴x＝﹣1或x＝5． 又∵图象与x轴交A、B两点， ∴A（﹣7，0），0）． ∵y＝mx8﹣4mx﹣5m＝m（x﹣4）2﹣9m， ∴D（5，﹣9m）， ∵△BCD是锐角三角形， ∴|﹣9m|＞， ∴m或m． 故答案为：（5，0），m． 三、解答题（共96分） 19．（8分）计算： （1）； （2）2cos260°﹣1+tan30°tan60°． 【答案】（1）10+； （2）． 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【解答】解：（1） ＝1+6+2× ＝10+； （2）2cos560°﹣1+tan30°tan60° ＝ ＝ ＝． 20．（8分）解方程： （1）x（x﹣3）＝x﹣3； （2）3x2+6x﹣1＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝3； （2）． 【分析】（1）先把方程右边的部分移到左边，然后提取公因式分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，解方程即可； （2）先把常数项移到等号右边，然后利用配方法把方程写成（x+a）2＝b的形式，然后利用平方根定义进行计算即可． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3， x（x﹣8）﹣（x﹣3）＝0， （x﹣8）（x﹣3）＝0， x﹣3＝0或x﹣3＝3， x1＝1，x4＝3； （2）3x4+6x﹣1＝2， 3x2+7x＝1， 3（x4+2x）＝1， 4（x2+2x+3﹣1）＝1， 3（x+1）2﹣4＝1， 3（x+8）2＝4， ， ， ． 21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点P是边BC上一动点（P点不与端点重合），PE交边AC于点E，PD交边AB于点D． （1）求证：△BPD∽△CEP； （2）若AB＝10，BD＝3，CP：BP＝1：4 【答案】（1）证明见解答； （2）CE的长是． 【分析】（1）由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，而∠DPE＝60°，则∠BDC＝∠CPE＝120°﹣∠BPD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BPD∽△CEP； （2）由BC＝AB＝10，CP：BP＝1：4，求得BP＝8，CP＝2，由相似三角形的性质得＝，求得CE＝＝． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝120°﹣∠BPD， ∵∠DPE＝60°， ∴∠CPE＝180°﹣∠DPE﹣∠BPD＝120°﹣∠BPD， ∴∠BPD＝∠CEP， ∴△BPD∽△CEP． （2）解：∵AB＝10，BD＝3， ∴BC＝AB＝10， ∴BP＝BC＝×10＝5BC＝×10＝2， ∵△BPD∽△CEP， ∴＝， ∴CE＝＝＝， ∴CE的长是． 22．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90；非常满意x≥90），下面给出了部分信息： 抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，89； 抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，81，84，86，87，87，89，97，98，98，98，100． 抽取的对A，B款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 m 96 45% B 88 87 n 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　15　，m＝ 　88　，n＝ 　98　； （2）有800名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计对A款自动洗车设备“满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）15，88，98； （2）120人； （3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见详解（答案不唯一）． 【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，再根据中位数和众数的定义求得m，n； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论． 【解答】解：（1）A款设备的“满意”的百分比是， 则a%＝100%﹣45%﹣30%﹣10%＝15%， ∴a＝15， 把A款设备的评分数据从小到大排列，“非常满意”的有45%×20＝9（人） 故排在中间的两个数是按从小到大排列在“满意”的最后两个数，即87， 故中位数； 在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多． 故答案为：15，88； （2）0×15%＝120（人）， 答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为120人； （3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一），理由如下： 两者的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高， ∴A款自动洗车设备更受消费者欢迎． 23．（10分）某地铁检票口有A、B、C、D共4个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 　　； （2）请用“列表法”或“树状图法”求出甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择A检票通道的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果， ∴甲选择A检票通道的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中甲， ∴甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的概率为． 24．（10分）在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD边上确定点E，使BE＝BC．再在CD边上确定点F，作出以F为圆心的圆 （2）在（1）的条件下，若点E在直线AD上，AB＝6，且，则⊙F的半径为 　　．（使用备用图分析） 【答案】（1）见解答． （2）． 【分析】（1）以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，连接CE，作线段CE的垂直平分线，交CD于点F，以点F为圆心，CF的长为半径画圆，则点E和⊙F即为所求． （2）连接EF，由矩形的性质得CD＝AB＝6，∠D＝90°，由锐角三角函数的定义可得.设DF＝3x，则EF＝CF＝5x，CD＝DF+CF＝8x＝6，可得x＝，则CF＝，即⊙F的半径为． 【解答】解：（1）如图①，以点B为圆心，交AD于点E，作线段CE的垂直平分线，以点F为圆心， 则点E和⊙F即为所求． （2）连接EF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝6，∠D＝90°． ∵， ∴． 设DF＝3x，则EF＝CF＝5x， ∴CD＝DF+CF＝8x＝8， ∴x＝， ∴CF＝， 即⊙F的半径为． 故答案为：． 25．（10分）如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，AB＝8，CF＝1 【答案】（1）见解析； （2）阴影部分面积为． 【分析】（1）连接OD，由∠ODB＝∠B，∠C＝∠B，得∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODF＝180°﹣∠AFD＝90°，即可证明DF是⊙O的切线； （2）连接OG，可证明四边形ODFG是正方形，则FG＝OG＝OD＝OB，∠DOG＝90°，设FG＝OG＝OB＝r，则AG＝7﹣r，OA＝8﹣r，由勾股定理得（7﹣r）2+r2＝（8﹣r）2，求得r＝3，则S阴影＝S正方形ODFG﹣S扇形DOG＝． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ODF＝180°﹣∠AFD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接OG， ∵AC与⊙O相切于点G， ∴AC⊥OG， ∴∠OGF＝∠ODF＝∠GFD＝90°， ∴四边形ODFG是矩形， ∵OG＝OD， ∴四边形ODFG是正方形， ∴FG＝OG＝OD＝OB，∠DOG＝90°， 设FG＝OG＝OB＝r， ∵∠OGA＝90°，AB＝AC＝8， ∴AG2+OG7＝OA2，且AG＝8﹣4﹣r＝7﹣r，OA＝8﹣r， ∴（8﹣r）2+r2＝（7﹣r）2， 解得r1＝5，r2＝﹣5（不符合题意，舍去）， ∴S阴影＝S正方形ODFG﹣S扇形DOG＝32﹣＝， ∴阴影部分面积为． 26．（10分）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（x≥6且为正整数）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值； （3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，请直接写出所有符合题意的a值：　110或111或112　． 【答案】110或111或112． 【分析】（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元，根据题意，即可得到结论． （2）根据日销售额＝日售价×日销售量，计算即可． （3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值． 【解答】解（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元， 根据题意得y＝[40﹣4（x﹣6）]＝52﹣2x， ∴y与x之间的函数关系式为y＝52﹣3x． （2）设售价为x元/千克（x≥6且为正整数），销售额为w元， ∴w＝x（52﹣2x）＝﹣7x2+52x， ∴w＝﹣2（x﹣13）6+338， ∵6≤x≤18，且对称轴右侧，到对称轴距离越大，且13﹣6＝6， ∴x＝13时，w取得最大值， ∴x＝6时，w取得最小值， w＝﹣2x5+52x，w的最大338元． （3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，13，15， ∴x＝13时，w＝338元 ∴x＝11或15时，w＝330元， ∴x＝12或14时，w＝336元， 且：440≤﹣7x2+52x+a≤450， ∴110≤a≤112， ∵a是正整数， ∴a的值为110或111或112， 故答案为：110或111或112． 27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图①，连接BD，则∠BDC＝ 　60°　，＝ 　　； （2）如图②，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图③，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，连接PA，PC　8　． 【答案】（1）60°，； （2）2； （3）8． 【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得＝＝； （2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝4，由锐角三角函数可求MF＝BE＝x，DG＝4+x，利用（1）的结论可求解； （3）通过证明△AGC 是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝8，由旋转的性质可得PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝8，则当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，即可求解． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝4， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝4， ∴＝， ∴∠BDC＝60°， ∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°， ∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD， 即∠DAG＝∠BAE， ∴△ADG∽△ABE， ∴＝＝； 故答案为：60°，； （2）如图7，过点F作FM⊥CG于点M， ∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF， ∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°， ∴△ABE≌△GMF（AAS）， ∴BE＝MF，AB＝GM＝4， ∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG， ∴＝， ∴MF＝MD， 设 DM＝x，则， ∴DG＝GM+MD＝4+x， 由（1）可知：， ∴＝， 解得 x＝2， ∴BE＝x＝2； （3）如图4，连接AC，EA与EC重合，连接PP'， 矩形ABCD中，AD＝BC＝4， ∴tan∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝2， ∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°， ∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝8， ∴PE＝EF＝AG＝8， ∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合， ∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°， ∴PP′＝PE＝8， ∴当点P，C，P′三点共线时， 此时PA+PC的最小值为5． 故答案为：8． 28．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为（1，4），抛物线的对称轴与BC交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得S△BGH＝3S△DGH，若存在，求出点G的坐标，若不存在； （3）如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x＝1上一个动点，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）G（）； （3）N（2，﹣1）或（2，2）． 【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点A坐标代入，从而求得a的值，进一步得出结果； （2）作GW⊥x轴于点W，交BC于点Q，求直线BC的解析式，进而设G（m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3），从而表示出PQ，进而表示出S△BGH，S△DGH，进而列出方程，进一步得出结果； （3）设点E关于BC的对称点为F，从而得出∠BCF＝∠BCE＝45°，CE＝CF，进而得出F（2，3），从而得出CE＝CF＝2，从而得出E（0，1），设M（1，n），从而表示出EM2＝12+（n﹣1）2＝n2﹣2n+2，BM2＝（3﹣1）2+n2＝n2+4，BE2＝12+32＝10，从而得出n2﹣2n+2+n2+4＝10，求得n的值，进一步得出结果． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+7， ∴0＝a（3﹣3）2+4， ∴a＝﹣6， ∴y＝﹣（x﹣1）2+7＝﹣x2+2x+5； （2）如图1， 作GW⊥x轴于点W，交BC于点Q， ∵B（3，4），3）， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝7时，y＝﹣1+3＝7， ∴yH＝2， ∴DH＝yD﹣yH＝2， 设G（m，﹣m8+2m+3），Q（m， ∴PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+3m， ∴S△BGH＝＝， ∵S△DGH＝＝，S△BGH＝3S△DGH， ∴﹣m4+3m＝3（m﹣6）， ∴m＝或m＝﹣， ∴﹣（）＝2， ∴G（）； （3）如图2， 设点E关于BC的对称点为F， ∴∠BCF＝∠BCE＝45°，CE＝CF， ∴∠FCE＝90°， ∴点F和C关于直线x＝1对称， ∴F（5，3）， ∴CE＝CF＝2， ∴E（3，1）， ∵BE是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴∠BME＝90°， 设M（1，n）， ∵EM6＝12+（n﹣6）2＝n2﹣2n+2，BM2＝（2﹣1）2+n5＝n2+4，BE7＝12+82＝10， ∴n2﹣6n+2+n2+5＝10， ∴n＝2或n＝﹣1， 当n＝4时，M（1， ∴N（2，﹣2）， 当n＝﹣1时，M（1， ∴N（2，2）， 综上所述：N（2，﹣8）或（2．2) 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共30分） 1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 2．（3分）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 4．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 6．（3分）如图，∠ABC是放置在正方形网格中的一个角，A、B、C都是格点（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点2+bx+c＞kx+m的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0 8．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，若点O为△ABC的内心（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，M为PC的中点，则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，A（﹣1，1）、B（﹣1，4）、C（﹣5，4），连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，点Q的轨迹长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题（共24分） 11．（3分）已知，则的值是 　 　． 12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x1+x2＝　 　． 13．（3分）小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 　 　米． 14．（3分）如图，乐器上的一根弦AB的长度为18cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，则线段AC的长度为 　 　cm． 15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是 　 　度． 16．（3分）把二次函数y＝x2+4x﹣10向上平移k个单位长度（k＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 　 　． 17．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，，D是BC边上一点，线段AD的最大值为 　 　． 18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m与x轴交A、B两点（点A在点B左侧），则B点坐标为 　 　；与y轴交于点C，抛物线顶点为D，若△BCD是锐角三角形　 　． 三、解答题（共96分） 19．（8分）计算： （1）； （2）2cos260°﹣1+tan30°tan60°． 20．（8分）解方程： （1）x（x﹣3）＝x﹣3； （2）3x2+6x﹣1＝0． 21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点P是边BC上一动点（P点不与端点重合），PE交边AC于点E，PD交边AB于点D． （1）求证：△BPD∽△CEP； （2）若AB＝10，BD＝3，CP：BP＝1：4 22．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90；非常满意x≥90），下面给出了部分信息： 抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，89； 抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，81，84，86，87，87，89，97，98，98，98，100． 抽取的对A，B款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 m 96 45% B 88 87 n 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　，m＝ 　 　，n＝ 　 　； （2）有800名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计对A款自动洗车设备“满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 23．（10分）某地铁检票口有A、B、C、D共4个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 　 　； （2）请用“列表法”或“树状图法”求出甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 24．（10分）在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD边上确定点E，使BE＝BC．再在CD边上确定点F，作出以F为圆心的圆 （2）在（1）的条件下，若点E在直线AD上，AB＝6，且，则⊙F的半径为 　 　．（使用备用图分析） 25．（10分）如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，AB＝8，CF＝1 26．（10分）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（x≥6且为正整数）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值； （3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，请直接写出所有符合题意的a值：　 　． 27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图①，连接BD，则∠BDC＝ 　 　，＝ 　 　； （2）如图②，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图③，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，连接PA，PC　 　． 28．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为（1，4），抛物线的对称轴与BC交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得S△BGH＝3S△DGH，若存在，求出点G的坐标，若不存在； （3）如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x＝1上一个动点，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$