精品解析：上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024－2025学年第一学期 高一数学期末试卷 （说明：本试卷满分160分，考试时间120分钟.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.） 考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 设集合，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故的定义域为. 故答案为： 3. 扇形的圆心角为 ，半径长为2，则此扇形的面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求面积即可. 【详解】由题设，圆心角，半径， 扇形面积为. 故答案为： 4. 若，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴当时，取得最小值5. 故答案为：5． 5. 函数（常数且）的图像总是经过点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数的性质判断. 【详解】当时，，所以函数图象总经过. 故答案为：. 6. 已知，，则角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用在区间上的单调性和的周期性，即可求解. 【详解】因为在区间上单调递增， 当时，由，得，又的最小正周期为， 又，所以角为， 故答案为：. 7. 若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 8. 已知，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】对题设条件平方并结合倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 9. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 10. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【详解】， 原式 . 故答案为：. 11. 设实数、、、满足条件：，，，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质和函数单调性求范围. 【详解】令. 因为，所以或. 又. 因为，所以， 因为，所以. 又. 因为，，所以， 所以.所以原式的取值范围为. （当，，，时取到最小值0，当，，，时取到最大值2）. 故答案为：. 12. 已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】问题转换成，画出，图像，结合图像分类讨论. 【详解】原题等价于存在，，使得. 在同一坐标系中画出，图像， 如图，当时，显然成立. 当或时，显然不成立. 下面讨论时.令，. 当时，，对称轴，区间中点， 所以. 又在单调递减，在单调递增，所以 ， 所以， 综上， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：当时. ，此时. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 幂函数的图像过点，则的值为（ ） A. 64 B. 2 C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 14. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点， 即由函数在区间上没有零点，可得， 而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点， 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个严格增函数；②若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断①；利用奇偶性的性质判断②，结合选项可得答案． 【详解】对于①，取，，均不是增函数， 而，，均为增函数， 因此命题①是假命题； 对于②，，，均是奇函数， 为奇函数，同理，均是奇函数， 因此命题②是真命题，D正确. 故选： 【点睛】关键点点睛：判断命题①的真假关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等. 16. 锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简可得，据此再化简所求，利用二次函数的性质得解. 【详解】由，正弦定理得，即， 又，得； 又， 所以； 因为，因此，即，得， 由于为锐角三角形，则， 所以，解得， 又， 因为，所以， 由二次函数性质得，若存在最大值，则，解得. 故选：D 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 已知集合，． （1）若，求和B； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 18. 已知函数，且为常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【小问1详解】 时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； 【小问2详解】 ， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 19. 在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 20. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. 【小问3详解】 ， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 21. 定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【答案】（1）函数是“一致变化函数”，理由： 取，， 所以函数是“一致变化函数”. （2）4 （3） 取，， ， 所以函数是“一致变化函数”. 【解析】 【分析】（1）取，满足要求，是“一致变化函数”； （2）求出定义域，，由题意得到不等式，得到对一切成立，故有，因为，等价于成立，所以，换元，由基本不等式，求出最值，得到答案； （3）取，得到，所以是“一致变化函数”；根据为偶函数且在上为减函数，等价于研究对恒成立时的取值范围，即恒成立，对恒成立，令，对恒成立，由函数单调性得到，只需即可，解得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 定义域为， 因为是“一致变化函数”，其中， 对一切成立，故有. 因为， 所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而， 所以，令，故且， 所以，当且仅当， 即，时等号同时取到.所以的最小值为4. 【小问3详解】 ，， 因为为偶函数且在上为减函数， 所以①当时，有，设， 即， ， ②当时，有，， ， ③当时，； 综上，等价于研究对恒成立时的取值范围， 对恒成立， 恒成立，恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令，对恒成立， 又，所以在上为严格增函数， 只需即可，解得. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【挑战题】 22. 小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知，求. 题目附有解答如下：. （1）小丁认真研究题目和解答，判断（ ） A.题目正确，解答巧妙！ B.题目错误！ C.解答推理错误！ 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究（为正整数），查阅资料后她有下面的结论：若（为正整数），则的表达式为一个最高次为次的多项式. （2）求的表达式； （3）请帮她判断函数的奇偶性； （4）试帮她确定系数（用含的代数式表示）. （可使用以下她预习的证明方法） 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 【答案】（1）B （2） （3）当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 （4） 【解析】 【分析】（1）B，原解答假设可以接受不同的参数，比如，而通过变量替换的方式得到结果，但题目中可能存在是否定义在某个特定区间或者是否有唯一性的问题，原解答可能没有意识到这一点，直接进行了变量替换，所以解答过程可能有错误. （2）利用三角恒等式 ，得 ，令，则 （3）根据函数奇偶性的定义即可判断； （4）根据数学归纳法的步骤即可作答． 【小问1详解】 B， 题目中函数 的定义存在矛盾。例如，当 和 时，，但 分别取 1 和 −1，导致 无法唯一确定，因此解答错误. 【小问2详解】 ， 令，则. 【小问3详解】 判断的奇偶性.通过观察的性质，当为偶数，是偶函数，对应的多项式应仅包含偶次项，如，故为偶函数。当为奇数时，虽然本身是偶函数，但多项式展开后仅包含奇次项，如，因此为奇函数， 例如，当为偶数时，，所以，即偶函数； 当为奇数时，，但根据多项式的展开后仅包含奇次项，因此为奇函数， 所以 因此，可以判断，当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数. 【小问4详解】 证明存在一个次项系数为的次多项式，使得： ①当时，；当时，； ②假设当，（为正整数）时，结论成立， 即存在一个次和次多项式和， 使得，， 则当时，由于， 两式相加得， 综上所述，由数学归纳法得存在一个次多项式， 使得，且的次项系数为. 【点睛】对于新定义新方法下的即时应用问题，应该根据给出的定义和给出的方法进行推理，注意依据定义合理变形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期 高一数学期末试卷 （说明：本试卷满分160分，考试时间120分钟.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.） 考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 设集合，，则______． 2. 函数的定义域是______. 3. 扇形的圆心角为 ，半径长为2，则此扇形的面积为________. 4. 若，则的最小值是__________. 5. 函数（常数且）的图像总是经过点______. 6. 已知，，则角为______. 7. 若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 8. 已知，则的值为______. 9. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为______. 10. 已知，则______. 11. 设实数、、、满足条件：，，，，则的取值范围是______. 12. 已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 幂函数的图像过点，则的值为（ ） A. 64 B. 2 C. 16 D. 8 14. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个严格增函数；②若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 16. 锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 已知集合，． （1）若，求和B； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18. 已知函数，且为常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 19. 在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 20. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 21. 定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【挑战题】 22. 小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知，求. 题目附有解答如下：. （1）小丁认真研究题目和解答，判断（ ） A.题目正确，解答巧妙！ B.题目错误！ C.解答推理错误！ 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究（为正整数），查阅资料后她有下面的结论：若（为正整数），则的表达式为一个最高次为次的多项式. （2）求的表达式； （3）请帮她判断函数的奇偶性； （4）试帮她确定系数（用含的代数式表示）. （可使用以下她预习的证明方法） 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $