湖南省2025届高三一轮复习收官联考数学试题

数学试题 第1页共5页 姓 名________________ 准考证号________________ 绝密★启用前 湖南省2025届高三一轮复习收官联考 数 学 命题学校： 审校： 注意事项： 1 . 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2 . 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。 3 . 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合    1 , 2, 1,0,1, 2A x x B      ，则  RA B ð A． 2, 1  B． 1,0,1,2 C． 0,1,2 D． 1,2 2．记 nS 为等差数列 na 的前 n项和.若 3 22 3 6S S  ，则公差 d为 A．2 B． 2 C．1 D． 1 3．已知双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若 1ABF 的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为 A． 6 , 2       B． 10 , 2       C． 61, 2       D． 101, 2       4．已知 ( 1)f x  是偶函数，对任意 1 2, ( ,1]x x   ，且 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    ，且 (0) 0f  ， ( ) 0f x  的解集是 A． ( ,0) (2, )  B． (0,2) C． ( ,0) D． (2, ) 5．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血 木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过  n n N 年 ，则 n （参考数据： lg 2 0.3 ， lg11 1.04 ） A．9 B．8 C．7 D．6 数学试题 第2页共5页 6．函数   21 xf x x   的图象大致是 A． B． C． D． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于 22 C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平 均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位： C )： ①甲地：5个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地：5个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为 26，总体方差为10.8． 其中肯定进入夏季的地区有 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．过双曲线 2 2 1 4 12   x y 的右支上一点 P，分别向 2 21 : ( 4) 3C x y   和 2 2 2 : ( 4) 1C x y   作切线，切点分别为 ,M N ，则  PM PN NM    的最小值为 A．28 B．29 C．30 D．32 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．如图，这是某款新能源汽车在速度､稳定性､安全性､易用性､续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论 正确的是 A．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分 B．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分 C．这款新能源汽车在安全性方面的综合评分在这五个方面的综合评分中最低 数学试题 第3页共5页 D．这款新能源汽车在易用性方面的综合评分在这五个方面的综合评分中最高 10．已知 1a  ，函数 2 3, ( ) log ,a x x a f x x x a       ，下列结论正确的是 A．    , , 1x a f x    B．当 2a  时，函数  y f x a  有2个零点 C．若  f x 在  0,  上单调递增，则 a的取值范围是  1,2 D．若  f x 的图象上不存在关于原点对称的点，则 a的取值范围是 2, 3 11．如图，等腰三角形 ABC在平面 上方， 90BAC  ，若 ABC以 BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面 内的 投影可能是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．函数   2 lg 1xf x x  的零点的个数为 . 13．抛一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为 , ,x y z，则不等式 8x y z x y z x y z          成立的概率是 . 14．下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的 数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列1，2按照上述方法进行构 造；第一次得到的新数列为1， 3 2 ，2；第二次得到的新数列为1， 5 4 ， 3 2 ， 7 4 ，2；第三次得到的新数列为1， 9 8 ， 5 4 ， 11 8 ， 3 2 ， 13 8 ， 7 4 ，15 8 ，2；…，记第n次得到的新数列为1， 1x ， 2x ， 3x ，…， kx ，2，且 1 2 3n kT x x x x     .①当 5n  时， k  ，② 1 2 10T T T    ，（用数值作答） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知O为坐标原点，双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的离心率为 5，且过点 5 ,1 2        . (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线 1l 与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段 AB的中点，过点F且与 1l 垂直的直线 2l 交直线OQ于M点，点N满足MN MA MB     ； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形MANB面积的最小值. 数学试题 第4页共5页 16.（15分） 已知函数 1( ) 2 1 e , ( ) ln( 1)xf x x g x a x x           . (1)求曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程； (2)当 0a  时，证明：当 0x  时， ( ) ( )xg x f x 恒成立； (3)是否存在实数a，b，使得曲线 1y g x       关于直线 x b 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. 17.（15分） 新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答 对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学 生有100人，其中 3 4 的学生得部分分， 14的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个 书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为 X 个，求 X 的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取 n人  *0 100, Nn n   ，记这 n人得到书签的总数为  1n 个的概率为 nP，求 1 2 3 nP P P P    的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少 个书签比较合理？ 数学试题 第5页共5页 18.（17分） 如图1所示，直角梯形MBCD， / /MD BC ， BM MD ，且 2 2 3 MD BC  ，点A，E分别在线段MD，BC上，且 1MA BE  ，点 P为DC的中点，将四边形MBEA沿AE折起，使二面角C AE B  的大小为θ . (1)若 π1, 2 AE   （如图2所示），求直线AB与平面 BCD所成角的正弦值； (2)若 πθ 4  ，点Q为平面ABE内一点，若 PQ 平面ABE（如图3所示），求PQ的值； (3)若 π1,θ 2 AE   时，点N为线段 EC的中点，将 DCN 沿DN折起，使 DCN 与四边形AEBM在平面AEND的同侧且平 面CDN 平面ADE，点 R为四面体MECD内切球球面上一动点，求 1 3 RD RC 的最小值. 19.（17分） 当 ABC内一点 P满足条件 PAB PBC PCA       时，则称点 P为 ABC的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在 ABC 中，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c，点 P为 ABC的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若 30  ．求证： ① 2 2 2 4 3 ABCa b c S   △ （ ABCS 为 ABC的面积）； ② ABC为等边三角形． (2)若 2A  ，求证： 2sin sin sinA B C