拓展6-3 空间向量与立体几何的五个易错点-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

拓展6-3 空间向量与立体几何的五个易错点 一、忽略题意导致建系错误 四、混淆线面夹角与向量夹角 二、证明平行、垂直关系时出现混乱 五、混淆两个平面的夹角与二面角 三、混淆异面直线夹角与向量夹角 一、忽略题意导致建系错误 易错分析：一定要满足轴，轴，轴两两垂直，要根据题意进行找条件，切勿凭感觉建系 例1．如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，，．    (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 变式1-1．如图，三棱柱中，，，，点P是棱的中点，连接BP，，，． (1)（ⅰ）求的长；     （ⅱ）判断直线和平面BCP是否垂直，并证明你的结论． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式1-2．将两个完全相同的三角板按（图①）的方式进行拼接，将三角板沿折起，使到达点的位置（如图②），使二面角的平面角为，为中点. (1)求证：平面； (2)折起后，点是上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正切值. 变式1-3．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.                   图1                                    图2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 二、证明平行、垂直关系时出现混乱 易错分析：设分别是直线l的方向向量,分别是平面的法向量． ①证明线面平行：；②证明线面垂直：使得 ③证明面面平行：使得；④证明面面垂直： 例2．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 变式2-1．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 变式2-2．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 变式2-3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 三、混淆异面直线夹角与向量夹角 易错分析：易忽略异面直线夹角的范围为 例3．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点. (1)求EF； (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值. 变式3-1．在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（   ） A．或4 B． C． D． 变式3-2．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式3-3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E．    (1)求证：平面ABCD． (2)若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值． 四、混淆线面夹角与向量夹角 易错分析：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 例4．如图，在正四棱台中，是的中点，分别为上下底面的中心、 (1)求证：直线平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式4-1．如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 变式4-2．如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面； (2)试判断在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值是，若有，请求出的位置，若没有，请说明理由． 变式4-3．在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E是PA的中点，在线段AB上，且满足. (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 五、混淆两个平面的夹角与二面角 易错分析：若两个平面的法向量分别为,若两个平面所成的锐二面角为,则;若两个平面所成二面角为钝角,则 两个平面的夹角范围：，二面角的夹角范围： 例5．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，平面平面． (1)求证：平面； (2)若的面积为，求平面和平面夹角的余弦值． 变式5-1．如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 变式5-2．如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O． (1)求圆柱的高； (2)证明：； (3)若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值． 变式5-3．如图，在菱形中，，将沿翻折至，使得三棱锥的表面积最大． (1)求三棱锥的体积； (2)设为棱的中点，在棱上，若二面角的余弦值为，求． 1．（多选）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（   ） A．平面 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时，点G到平面的距离为 2．（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 3．如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 . 4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为 5．如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且. (1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由； (2)求二面角的正切值. 6．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. (1)证明：平面； (2)若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 7．如图四边形是边长为的菱形，，平面外的点，满足，，，四点共面，且底面，. (1)证明：； (2)若，，求与平面所成的角的余弦值. 8．如图，在三棱锥中，侧面为等腰三角形，，为的中点，为的中点，，，点在上． (1)若，证明，平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 9．如图四棱锥中，平面，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．如图1，在平行四边形中，，将沿直线翻折成如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面平面； (2)在的延长线上取一点，使得，求平面与平面的夹角的余弦值． 11．如图，在四棱锥中，底面，，，，设为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 12．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展6-3 空间向量与立体几何的五个易错点 一、忽略题意导致建系错误 四、混淆线面夹角与向量夹角 二、证明平行、垂直关系时出现混乱 五、混淆两个平面的夹角与二面角 三、混淆异面直线夹角与向量夹角 一、忽略题意导致建系错误 易错分析：一定要满足轴，轴，轴两两垂直，要根据题意进行找条件，切勿凭感觉建系 例1．如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，，．    (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为四边形是菱形，且，所以．因为，所以，所以 因为，所以． 因为平面，且，所以平面 因为平面，所以． 因为四边形是菱形，所以． 因为平面，且，所以平面． （2）记，以为原点，的方向分别为轴的正方向，平行向上为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 则． 设平面的一个法向量为， 则令，得． 设平面的一个法向量为 则令，得． 设平面与平面的夹角为， 则， 故．    变式1-1．如图，三棱柱中，，，，点P是棱的中点，连接BP，，，． (1)（ⅰ）求的长；     （ⅱ）判断直线和平面BCP是否垂直，并证明你的结论． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）直线平面BCP，证明见解析 (2) 【详解】（1）（ⅰ）由题设，，，， 所以为等边三角形，，所以，所以为等边三角形， 在中，由余弦定理，得，故， 在中，由余弦定理，得， 所以． （ⅱ）直线平面BCP． 证明如下：在中，． 由可得，由得． 又，所以． 又，平面BCP， 所以直线平面BCP． （2）由（ⅱ）知直线平面BCP，又平面， 所以平面平面BCP． 过点P作平面的垂线PD，则，PB，PD两两垂直， 故以点P为原点，，PB，PD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则点，，，， 所以，，． 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，取，则，， 则． 同理，即，取，则，则， 所以，即平面与平面夹角的余弦值是． 变式1-2．将两个完全相同的三角板按（图①）的方式进行拼接，将三角板沿折起，使到达点的位置（如图②），使二面角的平面角为，为中点. (1)求证：平面； (2)折起后，点是上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵三角板和为两个完全相同的三角板， 拼接前有和， 折后不变，即和. 又，面，面，面. （2）由①可知和， 二面角的平面角为，即. 又，为等边三角形，面， 面，面面，面面， 在平面中，过作，以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系. 令，则， 则. 因为点是线段上的四等分点且靠近点， 所以，所以， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 设直线与平面所成角为， 则. 因为且为锐角，所以，又因为，所以. 所以，直线与平面所成角的正切值为. 变式1-3．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.                  图1                                    图2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，， ，. ，，， .又，平面， ， 平面. （2）连结. ，， ， . 过点作，则. 又平面，则，，， 以为原点，，EF，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则即 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 二、证明平行、垂直关系时出现混乱 易错分析：设分别是直线l的方向向量,分别是平面的法向量． ①证明线面平行：；②证明线面垂直：使得 ③证明面面平行：使得；④证明面面垂直： 例2．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 变式2-1．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 变式2-2．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 【答案】B 【详解】取的中点，则是的中点，（理由如下：） 由于是的中点，则,故，因此在同一平面，故是的中点， 对于A，连接,则，故，故直线与直线共面，A错误， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则, 故, 由于，， 故，，平面 故直线平面，B正确， 对于C，由于，平面，平面，故平面，又平面，平面，故平面，平面，故平面平面，但由于平面与平面相交，故平面与平面不可能平行，C错误， 由于， ,, 故不垂直，且不垂直，又，故四边形不是直角梯形， 故选：B 变式2-3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 三、混淆异面直线夹角与向量夹角 易错分析：易忽略异面直线夹角的范围为 例3．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点. (1)求EF； (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）解法一：以为基底，则，，. 因为. 因此 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA， 由，，所以， 在，中，得， 有，则，即AQ是的平分线， 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由三余弦定理知，得， 所以，，，， 则，， 所以. （2）解法一：因为 而，所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 解法2： 由（1）知， 所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 变式3-1．在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（   ） A．或4 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在三棱锥中，，，所以． 因为平面，以为原点，，，为、、轴正方向建立空间直角坐标系． 可知，，． 因为，，所以， 所以，则．设，且， 则，可知，， 所以， ，． 因为异面直线与所成的角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去）．所以． 故选：D. 变式3-2．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 变式3-3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E．    (1)求证：平面ABCD． (2)若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 又因为平面ADFE，平面平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD． （2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面PAD， 所以平面ABCD，又由四边形ABCD为正方形，得． 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 由可得， 又，则，即， 又由（1），则，得 则，因 所以，所以，． 设异面直线PB与DF所成的角为， ， 故异面直线PB与DF所成角的余弦值为．    四、混淆线面夹角与向量夹角 易错分析：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 例4．如图，在正四棱台中，是的中点，分别为上下底面的中心、 (1)求证：直线平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在正四棱台中，连接交于，连接交于，连接， 由平面，又平面，得， 又平面， 所以平面. （2）在等腰梯形中，，则， 在等腰梯形中，，， 直线两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式4-1．如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接，则，且， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 建立如图空间直角坐标系， 由，得， 则， 由，得，即， 得，解得，即. 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，有，则， 又平面，所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设与平面所成角为（为锐角）， 则， 所以， 即与平面所成角的余弦值为. 变式4-2．如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面； (2)试判断在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值是，若有，请求出的位置，若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点符合题意，为中点 【详解】（1）取棱中点，连接，因为， 所以，所以． 又因为，所以，； 因为，，所以， 所以，同理， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）取中点，连接，取中点，连接，则//， 由（1）知平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，则． 以为坐标原点，所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可设，则点， ，设面的法向量为， 得，取，则，，所以 设直线与平面所角为，因为，所以 则， 解得或（舍） 所以，存在符合题意，此时为中点． 变式4-3．在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E是PA的中点，在线段AB上，且满足. (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接和，由E是PA的中点， 得，且，又， 则且，四边形为平行四边形， 于是，而平面，平面，所以平面. （2）由，，得，由平面，平面， 得，而，则 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则 由，得，解得，即 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设二面角的大小为，由图形观察得为锐角， 因此， 所以二面角的余弦值是. （3）假定存在点满足条件，设点，由， 得，则，又平面的法向量为， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，又，解得，此时， 所以存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，. 五、混淆两个平面的夹角与二面角 易错分析：若两个平面的法向量分别为,若两个平面所成的锐二面角为,则;若两个平面所成二面角为钝角,则 两个平面的夹角范围：，二面角的夹角范围： 例5．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，平面平面． (1)求证：平面； (2)若的面积为，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取的中点E，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直三棱柱中，得到平面， 因为平面，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2）因为的面积为， 所以，解得， 而两两垂直，则以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 得到， 由中点坐标公式得的中点， 则， 设平面的一个法向量，则， 令，解得，，得到， 设平面的一个法向量，则， 令，解得，，得到， 设平面和平面夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 变式5-1．如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，，所以为直角三角形， 又因为， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，平面，所以平面． （2）方法一：由（1）知，且平面， 以为原点，所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴，所在直线 为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则即令，则，所以． 设平面的一个法向量为， 则即，令，则，所以． 所以， 又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为． 方法二：如图，过点作于点，作于点，连接． 因为平面，平面，所以平面平面． 又因为平面平面，， 所以平面，又平面，则． 又因为，，且平面， 所以平面，又平面，则， 所以是二面角的平面角． 易知，，则， 所以二面角的大小为． 变式5-2．如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O． (1)求圆柱的高； (2)证明：； (3)若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）设圆柱的高为，的半径为， 因为圆柱的体积为，侧面积也为， 所以， 所以， 所以圆柱的高为. （2）连接，如图所示， 因为线段与线段交于点，所以，四点共面， 又因为圆柱的上下底面平行，圆平面，圆平面，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以； （3）延长交于点，连接，因为在上，为的直径， 所以，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 所以为直线与下底面所成的角，直线AC与下底面所成角的正切值为， 因为，所以，所以. 因为两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 所以，， 所以， 设平面的法向量为， ，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则有，则， 令，则， 设平面与平面所成的锐角为， 所以， 即平面与平面所成锐角的余弦值为. 变式5-3．如图，在菱形中，，将沿翻折至，使得三棱锥的表面积最大． (1)求三棱锥的体积； (2)设为棱的中点，在棱上，若二面角的余弦值为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）三棱锥的表面积为， ∵，∴当的面积最大时，三棱锥的表面积最大，   此时，由可知，即， 同理 方法1：设为在底面的射影，为中点，连接，， ∵平面，平面， ∴，又∵，平面，平面， ∴平面，又∵平面，∴， 又∵，∴，即在的角平分线上， 同理，在的角平分线上，∴为等边的重心． ∴，，， ∴三棱锥的体积为. 方法2：设为中点，∵，均为等边三角形， ∴，，∵平面， ∴平面， 在中，，则， ∴底边上的高为，∴的面积为， ∴， （2）方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 设（），设，则， ∴，， 设平面的一个法向量为， 则有即 令，则，，∴， 平面的一个法向量为， ∴， 解得， ∴. 方法2： 如图，过作垂直于，∴，平面， 过作垂直于，则，，平面， ∴平面，∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， ∴，， 不妨设（），则， ∵，∴，∴，解得， ∴. 1．（多选）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（   ） A．平面 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时，点G到平面的距离为 【答案】AC 【详解】因为，所以共面，又均过点， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以不平行于平面，故B错误； 所以，所以，所以平面，故C正确； 当时，， 所以点G到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 2．（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，，分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，， 故， 故，故，C正确； D选项，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 3．如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 . 【答案】 【详解】取中点M，连接 ，，， 取中点H，，，. 分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， 则，， 故， 又因为两异面直线的夹角范围是， 故异面直线和所成角为. 故答案为：. 4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为 【答案】 【详解】由于平面平面，且交线为,,平面, 故平面， 平面，故, 又，平面,故平面， 又平面，平面， 所以，，过引，则有，， 又因为，即， 以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系 设，则，，，，， 所以，，， 由于，所以，所以，即， 从而，则，，， 设平面PDC的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即， 设平面的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即，所以 设二面角的平面角为，为钝角， 所以二面角的平面角余弦值为. 故答案为： 5．如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且. (1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)是线段的中点时，平面，理由见解析 (2) 【详解】（1）当是线段的中点时，平面，理由如下： 取为线段的中点，连接， 所以，，又，所以， 又，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）在直角梯形中，取的中点，易得是矩形，且， 所以，所以是等边三角形， 取中点，连接， 可得，所以是等边三角形.又为等边三角形. 所以，又易得，又， 所以，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，又显然二面角为锐二面角， 所以， 所以，所以. 所以二面角的正切值为. 6．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，. (1)证明：平面； (2)若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题知，平面，， 故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，，， ，，平面，平面. （2）由题知，， 由（1）可知，为平面的一个法向量，，， 设平面的法向量为，则，， 令，得， 则， 二面角的正弦值为. 7．如图四边形是边长为的菱形，，平面外的点，满足，，，四点共面，且底面，. (1)证明：； (2)若，，求与平面所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）连接，与相交于点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，所以⊥，且， 因为底面，平面， 所以， 其中，，，四点共面 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，由三线合一可知； （2）过点作，交于点， 因为底面，所以底面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 因为四边形是边长为的菱形，， 所以均为等边三角形， 故， ，，故， 因为底面，平面， 所以⊥，又，故， 其中，设， 设，故， 解得，故， 又，故，解得，故，， ， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设与平面所成的角大小为， 则， 故， 所以与平面所成的角的余弦值为. 8．如图，在三棱锥中，侧面为等腰三角形，，为的中点，为的中点，，，点在上． (1)若，证明，平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为侧面为等腰三角形，，为的中点， 所以,又，所以． 若，则为的中点, 连接，因为，所以， 因为为的中点，，所以，所以， 连接，所以．又，平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为，所以． 又为的中点，为的中点，， 所以． 在中，， 则． 在中，由余弦定理， 故，则， 则有．结合（1）知． 又因为平面， 所以平面． 故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 9．如图四棱锥中，平面，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以， 因为，所以，， 由平行四边形性质得，则， 由三线合一性质得， 故，则，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面． （2）由已知得， 因为平面平面，所以， 因为，所以由勾股定理得，即， 则为等腰直角三角形，设其斜边上的高为， 由等面积公式得，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴， 过作垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， ，， 设平面的法向量为，则 取，解得，可得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 10．如图1，在平行四边形中，，将沿直线翻折成如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面平面； (2)在的延长线上取一点，使得，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）且四边形为平行四边形，， ，由平行四边形性质得． 取的中点，连接，则，且且， 为二面角的平面角， 又， 平面平面． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 由令得， 设平面的一个法向量为， 则令得． 设平面与平面所成的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为． 11．如图，在四棱锥中，底面，，，，设为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， 则， 又， 四边形为平行四边形， ， 点是中点， ， 由，平面，，平面，且，， 平面平面， 平面， 平面； （2） 由已知，，， 四边形是以为底边的等腰梯形，且，梯形的高为， 平面，平面， ， ， 如图所示，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴与轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 即，，，， 设平面的法向量， 则， 令，得， 设平面的法向量， 则， 令，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 12．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$