基础训练（四）-2025届高三数学二轮专题复习

雅礼中学基础训练（四） 一、单项选择题 1．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的( )． A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为( )． 　第2题图 A. B. C. D. 3．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AA1＝3，AB＝BC＝CD＝，∠BCD＝120°，则直线A1B与B1C所成角的余弦值为( )． 第3题图 A. B. C. D. 二、多项选择题 4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的有( )． 　第4题图 A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列四个结论中正确的有( )． 第5题图 A．AP与CM是异面直线 B．AP，CM，DD1相交于一点 C．MN∥BD1 D．MN∥平面BB1D1D 三、填空题 6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： 　第6题图 ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为 .(填序号) 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为　　. 　第7题图 8．在三棱锥S­ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2，SA⊥BC，设异面直线SC与AB所成的角为α，则cosα＝　　. 四、解答题 9．如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． 第9题图 (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． 10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋x，则a＝f(－2)，b＝f(log29)，c＝f()的大小关系为( )． A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c 11．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，M为BC的中点，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )． A. B. C. D．1 12．已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)求证：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 雅礼中学基础训练（四） 一、单项选择题 1．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的( C )． A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为( D )． 　第2题图 A. B. C. D. 3．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AA1＝3，AB＝BC＝CD＝，∠BCD＝120°，则直线A1B与B1C所成角的余弦值为( A )． 第3题图 A. B. C. D. 二、多项选择题 4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的有( AB )． 　第4题图 A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列四个结论中正确的有( BD )． 第5题图 A．AP与CM是异面直线 B．AP，CM，DD1相交于一点 C．MN∥BD1 D．MN∥平面BB1D1D 三、填空题 6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： 　第6题图 ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为 ③④ .(填序号) 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为　　. 　第7题图 8．在三棱锥S­ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2，SA⊥BC，设异面直线SC与AB所成的角为α，则cosα＝　　. 四、解答题 9．如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． 第9题图 (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． 【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，所以DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点矛盾， 　第9题答图 故直线EF与BD是异面直线． (2)如答图，取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以∠FEG或其补角即为异面直线EF与BD所成的角．因为AC⊥BD，所以FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. B组　知识滚动练 10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋x，则a＝f(－2)，b＝f(log29)，c＝f()的大小关系为( D )． A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c 11．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，M为BC的中点，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( A )． A. B. C. D．1 12．已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)求证：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 【解析】(1)设数列{an}的公差为d，所以解得b1＝a1＝，所以a1＝b1. (2)由(1)知b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，即m＝2k－2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以满足条件的k的值为2,3,4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数为9. 学科网（北京）股份有限公司 $$