第1讲 复数的概念和几何意义学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第1讲 复数的概念和几何意义 一、教学目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程． 2.理解复数的概念、表示法及相关概念． 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 4. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 5. 掌握实轴、虚轴、模等概念； 6. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 二、知识点梳理 1．复数的有关概念 我们把集合C＝中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位． 全体复数所成的集合C叫做复数集． 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． [点睛]　复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 3．复数的分类 对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) [点睛]　复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4．复平面 5．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Za，b . 2复数z＝a＋bia，b∈R 平面向量 . [规律总结]　实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 6．复数的模 (1)定义：向量的 模 r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． [点睛]　实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 三、典型例题及课堂练习 题型一 复数的概念 例1下列命题中，正确命题的个数是 (　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根； ⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3 解题技巧（复数概念的理解） (1)两个复数不全是实数，就不能比较大小． (2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上． (3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． 跟踪训练一 1．下列命题正确的是________． ①复数－i＋1的虚部为－1. ②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2. ③任意两个复数都不能比较大小． 题型二 复数的分类 例2实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解题技巧： (复数分类的注意事项) 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解． 跟踪训练二 1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 题型三 复数相等的充要条件 例3 根据下列条件，分别求实数x，y的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. 解题技巧（复数相等问题的解题步骤） 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解． 跟踪训练三 1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值． 题型四 复数与复平面内的对应关系 例4求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足的条件： (1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x轴上方. 解题技巧（利用复数与点的对应的解题步骤） (1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标． (2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 跟踪训练一 1、实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线x－y－3＝0上 题型五 复数与平面向量的对应关系 例5已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 (　　) A．－5＋5i　　　　　　 B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 解题技巧： (复数与平面向量对应关系的解题技巧) (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练二 1、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. （1）求向量，，对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形，求D对应的复数． 题型六 复数模的计算与应用 例6 设复数． （1）在复平面内画出复数对应的点和向量； （2）求复数的模，并比较它们的模的大小． 例7 设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）； （2）． 解题技巧（与复数的模相关的解题技巧） (1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小． (2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝可把复数模的问题转化为实数问题解决． (3)根据复数模的定义|z|＝||，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决． 跟踪训练三 1、已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于 (　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 四、课后作业 1．复数的虚部为（ ） A．2 B．1 C．-1 D．-i 2．适合的实数x，y的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数 的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．若，（为虚数单位）为实数，则的值为（ ） A．0 B．1 C． D．1或 5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是； ②若，且，则； ③若，则． A． B． C． D． 6．在复平面内，复数－2＋3i对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　 ) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i 8．如果是的共轭复数，则对应的向量的模是（ ） A．1 B． C． D．5 9．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 10．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,5) 11．以复数的虚部为实部，的实部为虚部的复数是________. 12．若是实数，是纯虚数，且，则，的值为______. 13．已知复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝________. 14．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 15．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合． 16.（1）已知，其中i为虚数单位，求实数x，y的值； （2） 已知，其中i为虚数单位，求实数x、y的值. 能力提升 1．若复数为纯虚数，，则（ ） A． B． C． D．或 2．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 3．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________. 4．若不等式成立，则实数的值为______. 5．已知复数，当实数取什么值时， （1）复数是零； （2）复数是实数； （3）复数是纯虚数. 素养达成 1．已知复数，实数a取什么值时，z是:①实数？②虚数？③纯虚数？ 2．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为. (1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||； (2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$