5.4.3正切函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质． 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 如何研究正切函数的性质和图象？ 【正切函数的性质】 【1】周期性： 由诱导公式 可知， 正切函数是周期函数，周期是π.   【2】奇偶性： 由诱导公式 可知， 正切函数有奇偶性，是奇函数.   表明正切函数的定义域关于原点对称 表明正切函数的图象关于原点对称 我们先来作一个周期内的图象. 2 如何画出正切函数的图象 -1 1 作法如下： 建系画圆 八等分右半圆 作正切线 移线描点 连线. 0 问题3.如何利用正切线画出函数y=tanx, 　的图像: 如何研究正切函数的性质和图象？ 【问】如何画出正切函数的全部图象？ 【答】利用奇偶性和对称性，把函数在 之间的部分进行复制平移即可. 我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴 平行的一系列直线 所隔开的无数个形状相同的曲线组成的   如何研究正切函数的性质和图象？ 【问】正切函数的图象有怎样的特征？ 【答】①图象关于原点对称 ②图象在 轴上方的部分下凹；在 轴下方的部分上凸. ②图象被相互平行的直线 隔开，图象无限 接近这些直线，但永不相交。🍌       正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。 正切函数的单调性和值域 【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增； 由周期性可知，正切函数在每个区间 上都单调递增     【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能 发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？ 【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与 横轴的交点。 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴. 一　函数y＝tan x的图象与性质 π 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　) (4)存在某个区间，使正切函数单调递减．(　　) × × √ × √ 3 (2)函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝________． 【解析】　由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1， 所以am3－bm－tan m＝－1， 所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3. √ 角度2　比较大小 　比较下列各组中三角函数值的大小： (1)tan 138°与tan 143°； 【解】 因为当90°＜x＜180°时，函数y＝tan x单调递增，且90°＜138°＜143°＜180° ， 所以tan 138°＜tan 143° . 运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数单调性比较大小关系．　 √ [－6，2] 运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数单调性比较大小关系．　 √ [跟踪训练2] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＞b＞c D．a＜c＜b 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ √ 解析式 y＝tan x 图象 (－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z) 解析式 y＝tan x 定义域 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) 值域 R 最小正周期 eq \o(□,\s\up1(1))______ 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间eq \o(□,\s\up1(2))_________________________上都单调递增 对称性 对称中心(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z) kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z (eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，0)，k∈Z 解析：令y＝tan(x－eq \f(π,4))＝0，得x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，即x＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z， 所以y＝tan(x－eq \f(π,4))的零点是x＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z. 令x－eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，即x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z， 所以y＝tan(x－eq \f(π,4))的对称中心是(eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，0)，k∈Z. 2．函数y＝tan(x－eq \f(π,4))的零点是_______________________； 对称中心是__________________． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)，k∈Z)))) 解析：由正切函数的定义域可得，2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z，故函数f(x)的定义域为{x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z}． 3．函数f(x)＝－2tan(2x＋eq \f(π,6))的定义域是_______________________． 对正切函数的性质与图象的理解 (1)正切曲线是由相互平行的直线x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线称为正切曲线的渐近线，与正切曲线无限接近但不相交．　 (2)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上单调递增，不能说正切函数在其定义域上单调递增． (3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． 【解析】　函数y＝－3tan(2x－eq \f(π,6))的最小正周期为eq \f(π,2).故选B. eq \a\vs4\al(二　正切函数的奇偶性和周期性) 　(1)函数y＝－3tan(2x－eq \f(π,6))的最小正周期为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,2) C．π D．2π 解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略 (1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)，常常利用此公式来求最小正周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　 [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为eq \f(π,2)的偶函数 B．周期为eq \f(π,2)的奇函数 C．周期为eq \f(π,4)的偶函数 D．周期为eq \f(π,4)的奇函数 f(x＋eq \f(π,2))＝|tan(2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为eq \f(π,2)，A选项正确． 解析：由2x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z， f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，f(x)的定义域关于原点对称． f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项． f(x＋eq \f(π,4))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan（2x＋\f(π,2)）)) ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(sin（2x＋\f(π,2)）,cos（2x＋\f(π,2)）)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cos 2x,sin 2x))) ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan 2x)))≠f(x)， 所以eq \f(π,4)不是f(x)的周期，C选项错误．故选A. eq \r(3) 解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为eq \f(π,8)，所以ω＝eq \f(π,T)＝8. 所以f(eq \f(π,6))＝taneq \f(4π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3). (2)函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝eq \f(π,8)所截得的线段长为eq \f(π,8)，则f(eq \f(π,6))的值是________． (－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,3)，eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,3))(k∈Z) 【解析】　y＝tan(－3x＋eq \f(π,4))＝－tan(3x－eq \f(π,4))． 由－eq \f(π,2)＋kπ＜3x－eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,3)＜x＜eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,3)(k∈Z)， 故函数y＝tan(－3x＋eq \f(π,4))的单调递减区间为(－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,3)，eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,3))(k∈Z)． eq \a\vs4\al(三　正切函数的单调性及应用) 角度1　求正切型函数的单调区间 　函数y＝tan(－3x＋eq \f(π,4))的单调递减区间为_______________________． 求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－eq \f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间．　 【解】 因为tan(－eq \f(11π,4))＝tan(－eq \f(11π,4)＋3π)＝taneq \f(π,4)， tan(－eq \f(13π,5))＝tan(－eq \f(13π,5)＋3π)＝taneq \f(2π,5)，且0＜eq \f(π,4)＜eq \f(2π,5)＜eq \f(π,2)， 结合函数y＝tan x在(0，eq \f(π,2))上单调递增， 所以taneq \f(π,4)＜tan eq \f(2π,5)， 即tan(－eq \f(11π,4))＜tan(－eq \f(13π,5))． (2)tan(－eq \f(11π,4))与tan(－eq \f(13π,5))． 角度3　值域与最值 　(1)函数y＝tan(x－eq \f(π,6))，x∈(－eq \f(π,6)，eq \f(5π,12))的值域为(　　) A．(－eq \r(3)，1) B．(－1，eq \f(\r(3),3)) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \f(\r(3),3)，1) 【解析】　设z＝x－eq \f(π,6)，因为x∈(－eq \f(π,6)，eq \f(5π,12))，所以z∈(－eq \f(π,3)，eq \f(π,4))． 因为正切函数y＝tan z在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))上单调递增，且tan(－eq \f(π,3))＝－eq \r(3)，taneq \f(π,4)＝1， 所以tan z∈(－eq \r(3)，1)．故选A. 【解析】　令t＝tan x，y＝－t2＋4t－1， 因为函数t＝tan x在[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上单调递增，当x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]时，－1≤tan x≤1，即－1≤t≤1， 又因为函数y＝－t2＋4t－1在[－1，1]上单调递增，当t∈[－1，1]时y＝－t2＋4t－1∈[－6，2]，所以函数y＝－tan2x＋4tan x－1，x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]的值域为[－6，2]． (2)函数y＝－tan2x＋4tan x－1，x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]的值域为________． 解析：由题意得，函数y＝tan x在(0，eq \f(π,2))上单调递增且tan x＞0，在(eq \f(π,2)，π)上单调递增且tan x＜0，因为eq \f(π,4)＜1＜eq \f(π,2)＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0， tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A. [－eq \r(3)，＋∞) 解析：由x∈[0，eq \f(5π,18))，可得3x－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,2))， 根据正切函数的性质，可得tan(3x－eq \f(π,3))∈[－eq \r(3)，＋∞)，即函数f(x)＝tan(3x－eq \f(π,3))在[0，eq \f(5π,18))上的值域为[－eq \r(3)，＋∞)． (2)函数f(x)＝tan(3x－eq \f(π,3))在[0，eq \f(5π,18))上的值域为________________． [－eq \f(π,6)，eq \f(π,6)) 解析：令kπ－eq \f(π,2)＜3x＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得eq \f(kπ,3)－eq \f(π,6)＜x＜eq \f(kπ,3)＋eq \f(π,6)，k∈Z， 令k＝0，则其一个单调递增区间为(－eq \f(π,6)，eq \f(π,6))，则实数m的取值范围为[－eq \f(π,6)，eq \f(π,6))． (3)若函数y＝tan 3x在区间(m，eq \f(π,6))上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 1．(教材P213练习T3改编)函数y＝eq \r(1－tan x)的定义域为(　　) A．[kπ－eq \f(π,4)，kπ]，k∈Z B．[kπ，kπ＋eq \f(π,4)]，k∈Z C．(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,4)]，k∈Z D．[kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(π,2))，k∈Z 解析：由题意可得1－tan x≥0，且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即tan x≤1， 所以x∈(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,4)]，k∈Z.故选C. 2．(多选)已知函数f(x)＝tan(x＋eq \f(π,3))，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z)))) C．f(x)是奇函数 D．f(eq \f(π,4)) ＜f(eq \f(π,3)) 对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 对D，由B知当k＝1时，f(x)在(eq \f(π,6)，eq \f(7π,6))上单调递增，所以f(eq \f(π,4))＜f(eq \f(π,3))，故D正确．故选BD. 对B，由x＋eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x≠eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))，故B正确； 解析：对A，由f(x)＝tan(x＋eq \f(π,3))，得函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(π,1)＝π，故A错误； (2k－eq \f(3,2)，2k＋eq \f(1,2))(k∈Z) 解析：对于函数f(x)＝tan(eq \f(π,2)x＋eq \f(π,4))，由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,2)x＋eq \f(π,4)＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)， 可得2k－eq \f(3,2)＜x＜2k＋eq \f(1,2)(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－eq \f(3,2)，2k＋eq \f(1,2))(k∈Z)． 3．(教材P214T14改编)函数f(x)＝tan(eq \f(π,2)x＋eq \f(π,4))的单调递增区间为____________________． 解：取－eq \f(π,2)＜2x＜eq \f(π,2)，解得－eq \f(π,4)＜x＜eq \f(π,4)，所以y＝tan 2x在(－eq \f(π,4)，eq \f(π,4))上单调递增， 即f(x)＝a－eq \r(3)tan 2x在(－eq \f(π,4)，eq \f(π,4))上单调递减，因为f(x)在闭区间[－eq \f(π,6)，b]上有最大值为7，最小值为3，所以－eq \f(π,6)＜b＜eq \f(π,4)，且f(b)＝3，f(－eq \f(π,6))＝7， 4．已知函数f(x)＝a－eq \r(3)tan 2x在闭区间[－eq \f(π,6)，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值． 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－\r(3)tan 2b＝3，,a－\r(3)tan（－\f(π,3)）＝7，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝\f(π,12)＋\f(kπ,2)，k∈Z，)) 因为－eq \f(π,6)＜b＜eq \f(π,4)，所以b＝eq \f(π,12)， 故a＝4，b＝eq \f(π,12). 1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质． 2．须贯通：研究函数y＝Atan(ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题． 3．应注意：(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)，而不是T＝eq \f(2π,|ω|)；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，对称中心(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)．　 $$