2025年广东省中考数学一轮复习习题课件：第四章 三角形

第四章 三角形 第20课时 解直角三角形的应用 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 2 第1题图 1.（2024·长春）2024年5月29日16时12分,“长春 净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成 功发射.如图2，当火箭上升到点时,位于海平面 处的雷达测得点到点的距离为千米,仰角为 , 则此时火箭距海平面的高度 为( ) A A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 3 2.（2023·深圳）爬坡时若坡面与水平面夹角为 ,则每爬 耗能 .如图，若某人爬了,该坡角为 ,则他耗能 （参考数据：, ）( ) B 第2题图 A. B. C. D. 4 3.如图,某货船以24海里/时的速度从处向正东方向的处航行,在 处测得某 小岛在北偏东 的方向.该货船航行30分钟后到达 处,此时测得该小岛 在北偏东 的方向上，则货船在航行中离小岛 的最短距离是( ) B 第3题图 A. 12海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 5 第4题图 4.（2024·德阳）如图，某校学生开展综合实践活动,测 量一建筑物 的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小 楼房,小李同学在小楼房楼底处测得 处的仰角为 ,在小楼房楼顶处测得处的仰角为 （，在同一平面内,， 在同一水平线上）,则建筑 物 的高为( ) B A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. 米 6 第5题图 5.（2024·盐城）如图,小明用无人机测量教学楼 的高度,将无人机垂直上升至距地面的点 处, 测得教学楼底端点的俯角为 ,再将无人机沿 教学楼方向水平飞行至点 处,测得教学楼 顶端点的俯角为 ,则教学楼 的高度约为 ____.（结果精确到 ,参考数据： ,, ） 17 7 第6题图 6.（2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有 “天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学 小组用无人机测量黄鹤楼 的高度，具体过程如下：如 图,将无人机垂直上升至距水平地面的 处,测得黄鹤 楼顶端的俯角为 ,底端的俯角为 ,则测得黄鹤楼 的高度约是____.（参考数据： ） 51 8 7.（2024·大庆）如图, 是一座南北走向的大桥,一辆汽 车在笔直的公路上由北向南行驶,在处测得桥头 在南偏 东 方向上,继续行驶1 500米后到达处,测得桥头 在南 偏东 方向上,桥头在南偏东 方向上,求大桥 的 长度.（结果精确到1米,参考数据： ） 9 解：如图，分别过点和点作的垂线，垂足分别为， . 在中，， . 10 在中， ， ， 解得米， 米， 米， 在中， ， 米, 米， （米）. 答：大桥 的长度约为548米． 8.（2024·广安）风电项目对于调整能源结 构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力 部门在某地安装了一批风力发电机.如图1,某 校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔 杆高度进行了测量,图2为测量示意图（点,,, 均在同一平面内, ）.已知斜坡长为,斜坡的坡角为 , 在斜坡顶部 处 测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为 ,坡底与塔杆底的距离 ,求该风力发电机塔杆 的高度. （结果精确到整数，参考数 据：,, , ） 12 解：如图，过点作于点，作于点 . 由题意得， . 在中，， ， ， 13 . ， 四边形 为矩形， ， . ， . 在中， ， . . 答：该风力发电机塔杆的高度约为 ． 9.（2024·广州天河区二模）如图1，小亮同学将一辆自行车水平放在地面 上,示意图如图2,车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线, 处为齿盘的中轴,测得, , . 图1 图2 15 （1）求 的长度.（结果保留整数） 解：如图，延长交于点 . 由题意得 . 在中，， ， ， 在中， ， ， . 16 答：<m></m>的长度约为<m></m>. 17 （2）若点到地面的距离为,坐垫中轴与点的距离为 . 根据小亮同学的身高比例,坐垫到地面的距离为至 之间时,骑 乘该自行车最舒适.请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到 最佳舒适度.（参考数据：,, , ） 18 解： 小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度. 如图，过点作，垂足为 . ， . 在中， ， 点到地面的距离为， ， 19 坐垫 到地面的距离 根据小亮同学的身高比例，坐垫到地面的距离为至 之间时， 骑乘该自行车最舒适， 小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． $$第四章 三角形 第17课时 等腰三角形与直角三角形 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 C组 思维创新 2 第1题图 1.（2024·潮州一模）如图,在中, , , 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 3 2.若等腰三角形的两边长分别是和 ,则这个等腰三角形的周长为 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 4 第3题图 3.（2024·佛山南海区二模）如图,在 中, ,是 边的中点,则下列结论一定成立 的是( ) C A. B. C. D. 第4题图 4.（2024·兰州）如图,在中, , ,,则 ( ) B A. B. C. D. 5 第5题图 5.（2024·贵州）如图,在中,以点 为圆心,线段 的长为半径画弧,交于点,连接.若 ,则 的长为___. 5 第6题图 6.（2024·重庆）如图,在中,, , 平分交于点.若,则 的长度为___. 2 6 第7题图 7.如图,在中, ,, , ,是边的中点,则 __. 第8题图 8.如图,和 都是边长为2的等边三角形,点 ，，在同一条直线上,连接,则 的长为_____. 7 9.（2024·佛山禅城区二模）已知：如图,点在内部,连接, , .若,，求证： . 8 证明：如图，延长交于点 . ， ， ， ， ， ． 9 第10题图 10.如图,一根竹竿斜靠在竖直的墙上,是的中点, 表示竹竿沿墙上下滑动过程中的某个位置,则竹竿 ( ) C A. 下滑时,增大 B. 上升时, 减小 C. 无论怎样滑动,不变 D. 只要滑动, 就变化 10 第11题图 11.（2024·自贡）如图,等边三角形钢架 的立柱 于点,.现将钢架立柱缩短成 , ，则新钢架减少用钢( ) D A. B. C. D. 第12题图 12. （2024·新疆）如图,在 中, , ,.若点在直线 上 （不与点,重合）,且 ,则 的长为______. 6或12 11 13.（2024·达州）如图,在中, ,点在线段 上,且 .若,,则 的面积是___. 第13题图 12 14.（2024·江西）追本溯源 题（1）来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题（2）. 图1 （1）如图1,在中,平分,交于点,过点 作 的平行线,交于点,请判断 的形状,并说明理由. 解： 的形状是等腰三角形.理由如下： 平分， ． ，， ， ， 是等腰三角形． 13 方法应用 （2）如图2,在中,平分,交边于点,过点作 交 的延长线于点,交于点 . 图2 14 ①图中一定是等腰三角形的有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 B 解析： 共有4个等腰三角形,分别是，，， . 15 ②已知,,求 的长. 解： 由（1）可知， , . ， ． ，， ， . ， . ，， . ， ． 16 15. （2024·武汉）如图是我国汉代数学家赵 爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全 等的直角三角形和中间的小正方形 拼成的一个大正 方形.直线交正方形的两边于点, ,记正方 形的面积为,正方形的面积为.若 ,则用含 的式子表示 的值是_ _____. 17 解析： 如图，过点作交的延长线于点 . 18 ，， ， ， ． 设，则 . ， ， ． ， ． ， ， ． 19 $$第四章 三角形 第18课时 图形的相似 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 2 1.如图,已知,若,,,则 的长为( ) A 第1题图 A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6 3 2.（2024·内江）已知与相似,且相似比为,则 与 的周长之比是( ) B A. B. C. D. 3.如图,,若 , ,则 的度数是 ( ) C 第3题图 A. B. C. D. 4 第4题图 4.如图,已知点,分别在的, 边上, ,则下列各式成立的是( ) B A. B. C. D. 5 第5题图 5.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金 比例,是自然界最美的鬼斧神工.如图,是 的黄金分 割点,若线段的长为,则 的长为 ( ) A A. B. C. D. 第6题图 6.（2024·青海）如图,和相交于点 ,请你添加 一个条件________________________,使得 . （答案不唯一） 6 7. （2024·扬州）物理课上我们学过小孔成像的原理,它是一种 利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔在屏幕（竖直放置）上成像,设, , 小孔到的距离为,则小孔到的距离为____ . 20 第7题图 7 第8题图 8.（2023·鄂州）如图,在平面直角坐标系中, 与位似,原点 是位似中心,且 .若,则点 的坐标是______. 第9题图 9.（2024·乐山）如图,在梯形中, ,对 角线和交于点.若,则 __. 8 10.（2024·惠州惠阳区二模）视力表对我们来说并不陌生,它蕴含着一定的 数学知识.下面我们以标准对数视力表为例,来探索视力表中的奥秘. 用硬纸板复制视力表中所对应的“ ”,并依 次编号为①,②,放在水平桌面上.如图,将② 号“”沿水平桌面向右移动,直至从观测点 看去,对应顶点,, 在同一条直线上为 止.这时我们说,在处用①号“ ”测得的视 力与在处用②号“ ”测得的视力相同. 9 （1）探究图中与 之间的关系,并说明理由； 解： .理由如下： ， ， ，即 ． 10 （2）若,,①号“”的测量距离 ,要使测得 的视力相同,求②号“”的测量距离 . 解： 且，， ， ， . 答：②号“”的测量距离是 ． 11 11.（2024·广州黄埔区一模）如图,在 中, ,,,是 上的一点, ,垂足为.若,则 的长为( ) A A. B. C. D. 3 12.如图，在中，，，是 边的中点，是边上一动点.若与 相 似，则 的长为______． 5或 12 13.（2024·资阳）【观察发现】 图1 （1）如图1,在中,点在边上.若 ,则 ,请证明. 证明：， ， ， ， . 13 【灵活运用】 （2）如图2,在中, ,为边的中点,,点 在上,连接,.若,求 的长. 图2 14 图1 解：如图1，过点作于点，过点 作 于点，则 ， . ， ， 为的中点， . ， ， 15 , ， ， ， . ， . ， ， ， ， ， ， ，即，解得 . 【拓展延伸】 （3）如图3,在菱形中,,点,分别在边, 上, ,延长,相交于点.若,,求 的长. 图3 18 解：如图2，连接 . 图2 四边形 为菱形， ，， . ， 19 ， ， 即 . ，， . ，， . ， ， ，解得 （负值舍去）， ， ， ， 为直角三角形，即 ， . 在中，根据勾股定理，得 ， . ，， ， 即，解得 ． $$第四章 三角形 第15课时 三角形及其性质 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 2 1.为了使自行车稳定停放,停放时常常放下它的脚架,这里所运用的几何原理 是( ) B A. 两点之间,线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 2.（2023·衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( ) D A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 3 第3题图 3.（2024·长沙）如图,在中, , ,,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 第4题图 4.（2023·聊城）如图,分别过的顶点, 作 .若 , ,则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 4 第5题图 5.（2024·北京燕山区二模）如图,, 的顶点 ,分别在,上, , ,则 的大小为 ( ) C A. B. C. D. 5 第6题图 6.如图,,,分别是各边的中点，连接,, .若 的周长为10,则 的周长为( ) A A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第7题图 7.如图,在中,,,是 的 中位线,的平分线交于点,则线段 的长 为( ) C A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 6 第8题图 8.（2023·杭州）如图,点,分别在 的边 ,上,且,点在线段 的延长线上.若 , ,则 _____. 第9题图 9.如图,是的中线,,.若 的周长为8,则 的周长为___. 9 10.在中,三个内角,,满足,则____ . 45 7 第11题图 11.（2023·新疆）如图,在中,若, , ,则____ . 52 12.如图,在中,是中线的中点.若 的面积是1, 则 的面积是___. 2 8 13.（2023·扬州）在中, ,,若 是锐角三角形, 则满足条件的 的长可以是( ) C A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 第14题图 14.（2024·宜宾）如图,在中, , ,以为边作,,点与点 在的两侧,则 的最大值为( ) D A. B. C. 5 D. 8 9 15.如图,点为的重心,,,分别为,, 的中点,具有性质： .已知的面积为3,则 的面积 为____. 18 第15题图 10 16.如图,在中, ,点,分别在边,上, ， 连接, . （1）若 ,求, 的度数； 11 解： ， ， . ， ， . ， 是等边三角形， ， . 12 （2）写出与 之间的数量关系，并说明理由. 解： .理由如下： 设 ， . 在中， . ， ， . 在中， ， ， ， ， 即 ． 13 $$第四章 三角形 第14课时 线、角、相交线与平行线 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 2 1.（2024·兰州）若 ,则 的补角是( ) A A. B. C. D. 2.（2024·广西）如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为( ) C 第2题图 A. B. C. D. 3 第3题图 3.如图,用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分, 发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解 释这一现象的数学知识是( ) D A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有无数条直线 C. 经过两点,有且仅有一条直线 D. 两点之间,线段最短 4 第4题图 4.（2023·北京）如图, , ,则 的大小为( ) C A. B. C. D. 5 5.如图,已知直线,被直线 所截,下列属于同旁内角的是( ) D 第5题图 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6 6.如图,,,,,则点到直线 的距离可能是 ( ) C 第6题图 A. 5.5 B. 3 C. 2 D. 4.5 7 第7题图 7. （2024·南充）如图,两个平面镜 平行放置,光线经过平面镜反射时, ,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 第8题图 8.（2024·凉山）一副直角三角尺按如图所示的方式 摆放,点在的延长线上,当时, 的度 数为( ) B A. B. C. D. 8 9.（2024·惠州惠阳区二模）如图,,.若 ,则 的 大小为( ) B 第9题图 A. B. C. D. 9 10.（2024·连云港）如图,直线,直线, ,则____ . 30 第10题图 11.将一把直尺与一个三角尺在同一平面内按如图 所示的方式放置,若 ,则 的度数为 _____. 10 12.（2024·佛山南海区二模）如图,在四边形 中,平分,, ,求 的度数. 解：平分， . ， . ， ， . 在四边形中， ，又 ， ． 11 第13题图 13.（2024·凉山）如图,在中, , 垂直平分交于点,连接.若 的周长为 ,则 ( ) C A. B. C. D. 12 14.（2024·温岭一模）如图,一束光线从点出发,经过平面镜 反射后,沿 着与平行的射线射出,此时.若 ,则 ____ . 55 第14题图 13 15.（2024·湖南）如图,在锐角三角形中,是边上的高,在, 上分别截取线段,,使；分别以点,为圆心,大于 的长为 半径画弧,两弧交于点,作射线,交于点,过点作于点 .若 ,,则 ___. 6 第15题图 14 16.如图,点在线段上,点,在线段上,, . （1）求证： ； 证明：， . ，， . 15 （2）若于点,平分, ,求 的度数. 解：， . ， ， . 平分， ， ，即的度数为 ． 16 $$第四章 三角形 第19课时 锐角三角函数 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 C组 思维创新 2 1. 的值等于( ) C A. 1 B. C. 2 D. 第2题图 2.如图,在中, ,设,, 所对的边分别为 ,, ,则下列等式成立的是( ) B A. B. C. D. 3 第3题图 3.（2024·商洛商南县三模）如图,在菱形 中, 于点,,,则菱形 的周长 是( ) C A. 10 B. 20 C. 40 D. 28 第4题图 4.（2024·武威凉州区二模）如图, 是周长为36的等腰 三角形,,,则 的值为( ) C A. B. C. D. 4 5.在中,若,则 的度数是( ) A A. B. C. D. 5 第6题图 6.（2024·资阳）第14届国际数学教 育大会 会标如图1所示,会 标中心的图案来源于我国古代数学家 赵爽的“弦图”,如图2所示的“弦图”是 由四个全等的直角三角形 和一 C A. B. C. D. 7.在中,若 ,,,则 的值为_ __. 个小正方形拼成的大正方形.若,则 ( ) 6 8.已知 是锐角,,则 的值为_ __. 9.（2023·常州）如图,在中, ,点在边上,连接 .若 ,,则 _ __. 第9题图 7 10.（2024·广州南沙区二模）如图,在矩形中,是边 的中点, ,垂足为,则 的值为_ __. 第10题图 8 11.（2024·广州黄埔区二模）如图,已知 中, ,,,,为 边 上的中线. （1）求 的长； 解：， ． 在中，， ， ． 9 （2）求 的面积. 解： 为边上的中线， ． 又 ， ． 10 第12题图 12.（2024·达州）如图,由8个全等的菱形组成的 网格中,每个小菱形的边长均为2, , 其中点,,都在格点上,则 的值为 ( ) B A. 2 B. C. D. 3 11 第13题图 13.（2023·苏州）如图,是半圆的直径,点, 在半圆 上,,连接,,,过点作,交 的 延长线于点.设的面积为,的面积为 ,若 ,则 的值为( ) A A. B. C. D. 第14题图 14.（2024·江西）将图1所示的七巧 板,拼成图2所示的四边形 ,连接 ,则 _ _. 12 15.（2024·江门一模）定义：在中, ,我们把 的对边与 的对边的比叫做的邻弦,记作,即 .请解答下 列问题： 已知：在中, . 解：如图，过点作，垂足为 ． 13 （1）若 ,求 的值； 解： 在中，，即 ． 在中，，即 ， . 14 （2）若,则_________ ； 60或120 解析： ， . ，， ， . 根据对称性，是钝角三角形时， . 故答案为60或120. 15 （3）若是锐角,探究与 的数量关系. 解： 在中， ． 在中， ． 在中，，即 ， ． 16 $$第四章 三角形 第16课时 全等三角形 1 A组 基础巩固 B组 能力进阶 C组 思维创新 2 1.如图,且 , ,则 的度数是( ) D 第1题图 A. B. C. D. 3 2.如图,已知,点在线段上, , ,则 的度数为( ) C 第2题图 A. B. C. D. 4 第3题图 3.（2023·凉山）如图,点，在上, , ,添加一个条件,不能证明 的是 ( ) D A. B. C. D. 5 4.如图1是某款雨伞的实物图,图2是该雨伞部分骨架示意图.测得, , 分别是,的三等分点,,那么 的依据是( ) B 第4题图 A. B. C. D. 6 第5题图 5.如图,,点和点是对应顶点,点 和点是对应顶点,过点作,垂足为 .若 ,则 的度数为( ) A A. B. C. D. 7 第6题图 6.如图,在中,于点,是 上一点,若 ,,,则 的周长 为( ) C A. 22 B. 23 C. 24 D. 26 第7题图 7.（2023·成都）如图,已知 ,点 ,,,依次在同一条直线上.若, , 则 的长为___. 3 8 8.（2024·汕头龙湖区一模）如图,为了测量凹槽的宽度,把一个等腰直角三 角尺放置在凹槽内,三个顶点,, 分别落在凹槽内 壁上.若 ,测得, ,则该凹槽的 宽度的长为____ . 48 第8题图 9 9.（2024·湖北）如图，在中,, 为对角 线上两点,且,连接, .求证： . 证明： 四边形 是平行四边形， ，， . 在和中， ， ． 10 10.（2024·重庆改编）如图,在中，,延长至点 ,使 ,过点作,且,连接交于点.若 ,则 ___. 3 11 11.（2024·长沙）如图,点在线段上,,, . （1）求证： ； 证明：在和中， ． 12 （2）若 ,求 的度数. 解：由（1）得 ， ， ， 是等边三角形， ． 13 12.小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图1所示的 测量方案：先在池塘外的空地上任取一点,连接,,并分别延长至点 , ,使,,连接 . 图1 图2 备用图 14 （1）如图1,求证： ； 证明：在和中， ， . 15 （2）在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施：如图2，延 长至点,使,过点作的平行线,延长至点,连接 ,测得 , ,,,请求出池塘宽度 的长. 16 解：如图，延长，交于点 . ， . 在和中， ， . 17 ， ， ， ， . , . ,, . 答：池塘宽度的长为 . 13.（2024·内江）如图,在中, ,,是 边上一点, 且,点是的内心,的延长线交于点,是 上一动点,连 接，,则 的最小值为______. 19 解析： 如图，在上取一点，使 ，连接 ，，过点作于点 . 点是 的内心， 平分， . 又，， ， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为 . ， ， ， 20 ， ， ， ， 的最小值为 ． $$