第17章《勾股定理》 单元测试卷 2024--2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　） A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm， C．6cm，8cm，9cm D．1cm，， 2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝3，S3＝8，则S2的值为（　　） A．22 B．24 C．44 D．48 3．在平面直角坐标系中，A（1，3），B（1，﹣1），若点M在直线AB上，且AB＝2AM，则点M的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，1）或（1，5） C．（1，﹣2） D．（1，﹣2）或（1，5） 4．如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　） A．18 B．36 C．72 D．125 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m 6．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12nmile的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以10nmile/h的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14nmile/h的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（　　） A．1h B．2h C．3h D．4h 7．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是2，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么大正方形的面积为（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 9．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点O为对角线AC、BD的交点，点E为AD的中点，点F为AB上一动点，若OD＝2，则EF+OF的最小值为（　　） A．4 B．6 C． D． 10．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，过点A作AB1⊥OB，垂足为B1，过点B1作B1A1⊥OA，垂足为A1，过点A1作A1B2⊥OB，垂足为B2，过点B2作B2A2⊥OA，垂足为A2…按照这种方法继续操作下去．若AB＝1，则AnBn的长度为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4cm，BD是△ABC的高，点E在BC的延长线上，连接DE．若∠E＝30°，则CE的长为 　 　cm． 12．已知直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，那么直角三角形的斜边为　 　cm． 13．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是 　 　． 14．如图，三角形　 　是直角三角形，三角形　 　不是直角三角形． 15．如图，长方体的长为3，宽为2，高为5，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到A点斜对角的B点处吃食物，那么它爬行最短路程是　 　． 16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝30°，DC∥AB，DE⊥AB，垂足为E，且AE＝BE，若AD＝2，则线段AC的长度为　 　． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在△ADC中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，若AB＝CD＝6，求AD的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13cm，BC＝5cm，求CD的长． 19．如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问此时船与岸边的距离比原来近了多少米？（假设绳子是直的） 20．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝4，AD＝2， （1）求四边形ABCD的面积； （2）求∠BCD的大小． 21．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，求四边形ABCD的面积． 22．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8． （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 23．如图，在△ABC和△DAE中，∠ACB＝∠DEA＝90°，且AB⊥AD，AB＝AD． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若AB＝13，AE＝5，求CE的长． 24．已知点D在△ABC外，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线BD与△ABC的边AC交于点H，AE⊥BD，垂足为E，∠ABD＝∠ACD． （1）如图1，若∠ABE＝30°，AH＝4，求DH； （2）求证：BE＝DC+DE； （3）如图2，若∠ABE＝25°，BE＝4，点F在线段BC上，且BE＝BF，点M，N分别是射线BC、BD上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D B A D A C 一．选择题（共10小题） 1．下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　） A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm， C．6cm，8cm，9cm D．1cm，， 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决． 【解答】解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形； B、32+（）2＝42，故选项B中的三条线段能构成直角三角形； C、62+82≠92，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形； D、12+（）2＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形． 故选：C． 2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝3，S3＝8，则S2的值为（　　） A．22 B．24 C．44 D．48 【分析】根据已知条件得到AB，CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝3，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE2，于是得到结论． 【解答】解：∵S1＝3，S3＝8， ∴AB，CD＝2， 过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE＝AD，AE＝CD＝3， ∵∠ABC+∠DCB＝90°， ∴∠AEB+∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝90°， ∴BE， ∵BC＝2AD， ∴BC＝2BE＝2， ∴S2＝（2）2＝44， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，A（1，3），B（1，﹣1），若点M在直线AB上，且AB＝2AM，则点M的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，1）或（1，5） C．（1，﹣2） D．（1，﹣2）或（1，5） 【分析】根据题意得出AB与y轴平行，A、B两点的横坐标相同，又AB＝4，AM＝2，进而得出M的纵坐标，即可求解． 【解答】解：∵A（1，3），B（1，﹣1） ∴AB与y轴平行，A、B两点的横坐标相同，又AB＝4， ∵AB＝2AM，点M在直线AB上， ∴AM＝2 ∴M点纵坐标为：3+2＝5或3﹣2＝1， ∴M点的坐标为：（1，1）或（1，5） 故选：B． 4．如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　） A．18 B．36 C．72 D．125 【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积． 【解答】解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F， ∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD， ∴AF＝3，∠AFC＝90°， ∴CF4， ∵， ∴， 解得．AE， ∵BD，CD＝5， ∴BC， ∴△ABC的面积是：18， 故选：A． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2.5（m）， ∴A′B＝AB＝2.5米， 在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD2（m）， ∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）， 即小巷的宽为2.7米， 故选：D． 6．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12nmile的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以10nmile/h的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14nmile/h的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（　　） A．1h B．2h C．3h D．4h 【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示， 由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里， 过点A作AD⊥CB的延长线于点D， 在Rt△ABD中，AB＝12海里，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°， ∴BD＝AB•cos60°AB＝6海里，AD＝AB•sin60°＝6海里， ∴CD＝10x+6． 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时． 故选：B． 7．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【解答】解：∵正方形小方格边长为1 ∴BC，AC，AB2 ∵在△ABC中AB2+AC2＝52+13＝65，BC2＝65 ∴AB2+AC2＝BC2 ∴网格中的△ABC是直角三角形． 故选：A． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是2，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么大正方形的面积为（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【分析】由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：设大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积是c2， ∵a2+b2＝c2＝a2+b2＝ab+10， ∴ab+10＝c2， ∴ab＝c2﹣10， ∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝c2﹣2（c2﹣10）＝2， ∴c2＝18， 故选：D． 9．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点O为对角线AC、BD的交点，点E为AD的中点，点F为AB上一动点，若OD＝2，则EF+OF的最小值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【分析】先根据轴对称找到表示最小值的线段，再根据平行四边形的性质求解． 【解答】解：过O作OQ⊥AB于H，并延长到Q，使得QH＝OH，连接QE，交AB于点F， 则OF＝FQ，BQ＝OB， ∴EF+OF≥OE， ∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， ∴AB＝AD，OB＝OD＝2， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°，AD＝BD＝4， ∵E为AD的中点， ∴DE＝2， ∵∠BHQ＝∠BHO＝90°，BH＝NH，OH＝QH， ∴△OBH≌△QBH（SAS）， ∴∠ABQ＝∠ABO＝60°＝∠BAD，QB＝BO＝2 ∴QB∥AD，DE＝BQ＝2， ∴四边形BDEQ为平行四边形， ∴OE＝BD＝4， ∴EF+OF≥OE＝4， 即EF+OF的最小值为4， 故选：A． 10．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，过点A作AB1⊥OB，垂足为B1，过点B1作B1A1⊥OA，垂足为A1，过点A1作A1B2⊥OB，垂足为B2，过点B2作B2A2⊥OA，垂足为A2…按照这种方法继续操作下去．若AB＝1，则AnBn的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出∠B1AB＝30°，在Rt△AB1B中，利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理得B1B，AB1，同理在Rt△A1B1A中，根据AB1，∠A1B1A＝30°得A1A，A1B1，在Rt△A1B1B2中，根据∠B1A1B2＝∠A1B1A＝30°，得B1B2，A1B2，在Rt△A1B2A2中，根据∠A1B2A2＝30°，得A1A2，A2B2，……，以此内推，A3B3，A4B4，AnBn． 【解答】解：在△AOB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°， ∴∠B＝60°， ∵AB1⊥OB， ∴∠B1AB＝30°， 在Rt△AB1B中，AB＝1，∠B1AB＝30°， ∴B1BAB， 由勾股定理得：AB1， ∴B1A1⊥OA， ∴∠A1B1A＝∠B1AB＝30°， 在Rt△A1B1A中，AB1，∠A1B1A＝30°， ∴A1AAB1， 由勾股定理得：A1B1， 同理：在Rt△A1B1B2中，∠B1A1B2＝∠A1B1A＝30°， ∴B1B2A1B1，A1B2， 在Rt△A1B2A2中，∠A1B2A2＝30°， ∴A1A2A1B2，A2B2， ……，以此类推，A3B3，A4B4，AnBn． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4cm，BD是△ABC的高，点E在BC的延长线上，连接DE．若∠E＝30°，则CE的长为 　2　cm． 【分析】根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm， ∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝4cm， ∵BD是△ABC的高， ∴， ∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB， ∴∠EDC＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣30°＝30°， ∴∠EDC＝∠E， ∴CD＝CE＝2cm． 故答案为：2． 12．已知直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，那么直角三角形的斜边为　4cm或5cm．　cm． 【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4cm的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为4cm的边为斜边；（2）边长为4cm的边为直角边． 【解答】解：（1）当边长为4cm的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4cm； （2）当边长为4cm的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为5cm， 故该直角三角形斜边长为4cm或5cm， 故答案为 4cm或5cm． 13．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是 　　． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25， ∴， ∴AC2+BC2＝BA2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴， 故答案为：． 14．如图，三角形　④⑤　是直角三角形，三角形　①②③⑥　不是直角三角形． 【分析】格点三角形，可以根据网格角为直角，依据格点三角形的位置，容易判断三角形的各个角与直角的大小关系，进而判断其三角形的形状，根据格点构造直角三角形利用勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形． 【解答】解：根据网格角为直角，再根据格点三角形的位置可得：①是锐角三角形，②钝角三角形，③钝角三角形， 借助网格，构造直角三角形，由勾股定理的逆定理可得④⑤是直角三角形，⑥是锐角三角形， 故答案为：④⑤，①②③⑥． 15．如图，长方体的长为3，宽为2，高为5，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到A点斜对角的B点处吃食物，那么它爬行最短路程是　　． 【分析】分三种情况，把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：第一种情况：如图，将前面和上面展平组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和3， 则所走的最短线段是； 第二种情况：如图，将左面与上面展平组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是8和2， 所以走的最短线段是； 第三种情况：如图，将前面和右面展平组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽都是5， 所以走的最短线段是； ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：5． 16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝30°，DC∥AB，DE⊥AB，垂足为E，且AE＝BE，若AD＝2，则线段AC的长度为　2　． 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，求出AE＝1，DE，可知四边形DEFC为矩形，则CF，求出BF＝3，则由勾股定理可求出AC的长． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F， ∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝2， ∴AD＝1， ∴， ∵DC∥AB， ∴四边形DEFC为矩形， ∴CF＝DE，∠CBF＝∠DCB＝30°， ∴BF． ∴AF＝AE+BE+BF＝1+1+3＝5． 在Rt△ACF中，AC2． 故答案为：2． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在△ADC中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，若AB＝CD＝6，求AD的长． 【分析】求出AC、CD，利用勾股定理求出AD即可． 【解答】解：∵在△ADC中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，AB＝CD＝6， ∴BC＝3． ∴AC3， ∴AD3． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13cm，BC＝5cm，求CD的长． 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据三角形的面积公式求出CD的长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm， ∴AC5cm． ∵AC•BCAB•CD， ∴CDcm． 19．如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问此时船与岸边的距离比原来近了多少米？（假设绳子是直的） 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：在 Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m， ∴． 依题意得CD＝17﹣1×7＝10m． 在 Rt△CAD中，， DB＝15﹣6＝9m． 答：船离岸边距离比原来近了9m． 20．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝4，AD＝2， （1）求四边形ABCD的面积； （2）求∠BCD的大小． 【分析】（1）连接AC，由勾股定理得到AC2＝8，因此AC2+CD2＝AD2，得到△ACD是直角三角形，求出△ABC，△ACD的面积即可求出四边形ABCD的面积； （2）由△ABC是等腰直角三角形，得到∠ACB＝45°，而∠ACD＝90°，即可求出∠BCD的度数． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC2＝AB2+AC2＝8， ∵CD2＝42＝16，AD224， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∵△ABC的面积AB•BC2×2＝2，△ACD的面积CD•AC4×24， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝2+4． （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°． 21．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，求四边形ABCD的面积． 【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：如图，连接BD， 在Rt△ABD中，，AB＝3，AD＝4， 根据勾股定理得，， 在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5， ∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD36． 故答案为：36． 22．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8． （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC＝2AB＝6，根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到BC＝3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3， ∴AC＝2AB＝6， 在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10， ∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形； （2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6， ∴BC3， ∴Rt△ABC的面积为•AB•BC3×3， 又∵Rt△ACD的面积为•AC•CD8×6＝24， ∴四边形ABCD的面积为：24． 23．如图，在△ABC和△DAE中，∠ACB＝∠DEA＝90°，且AB⊥AD，AB＝AD． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若AB＝13，AE＝5，求CE的长． 【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAC＝∠D，再利用角角边证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得BC＝AE＝5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DEA＝90°， ∴∠D+∠DAE＝90°， ∵AB⊥AD，即∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠D， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）； （2）解：△ABC≌△DAE， ∴BC＝AE＝5， ∵AB＝13， ∴， ∴CE＝AC﹣AE＝12﹣5＝7． 24．已知点D在△ABC外，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线BD与△ABC的边AC交于点H，AE⊥BD，垂足为E，∠ABD＝∠ACD． （1）如图1，若∠ABE＝30°，AH＝4，求DH； （2）求证：BE＝DC+DE； （3）如图2，若∠ABE＝25°，BE＝4，点F在线段BC上，且BE＝BF，点M，N分别是射线BC、BD上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 【分析】（1）先求出BH＝2AH＝8，∠HCD＝30°，得出DHCH，再由勾股定理求出AB＝4，CH＝44，即可得出答案； （2）过点A作AF⊥CD于点F，先由AAS证得△ABE≌△ACF，得出BE＝CF，AE＝AF，再证△四边形AEDF是正方形，即可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点V，作点F关于BD的对称点R，连接RV，交BD于N，BC于M，证△BRV是等边三角形，即可得出答案． 【解答】（1）解：∵∠ABD＝∠ACD，∠AHB＝∠CHD，∠BAH＝180°﹣∠ABD﹣∠AHB，∠CDH＝180°﹣∠ACD﹣∠CHD， ∴∠BAH＝∠CDH＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴BH＝2AH＝2×4＝8，∠HCD＝30°， ∴DHCH， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB4， ∴AC＝AB＝4， ∴CH＝AC﹣AH＝44， ∴DH（44）＝22； （2）证明：如图1，过点A作AF⊥CD于点F， 则∠AEB＝∠F＝90°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴BE＝CF，AE＝AF， ∵∠BAH＝∠CDH＝90°， ∴∠AED＝∠F＝∠EDF＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵AE＝AF， ∴矩形AEDF是正方形， ∴DE＝DF， ∴BE＝CF＝DC+DF＝DC+DE； （3）解：存在，理由如下： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， 如图2，作点E关于BC的对称点V，作点F关于BD的对称点R，连接RV，交BD于N，BC于M， 此时，R、N、M、V四点在一条直线上，RV＝MV+MN+RN最小， ∴EM＝MV，NF＝NR，∠RBN＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣25°＝20°，BR＝BF＝BE＝4，BV＝BE＝4， ∴∠VBF＝∠CBD＝20°， ∴∠RBV＝∠RBN+∠CBD+∠VBF＝20°+20°+20°＝60°， ∴△BRV是等边三角形， ∴RV＝BR＝4， 此时，（EM+MN+NF）最小＝MV+MN+RN＝RV＝4 学科网（北京）股份有限公司 $$