2025年中考数学提升训练 3 函数

数学中考提升训练3函数 第一节　平面直角坐标系与函数初步 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，点A(2，－3)位于哪个象限( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数y＝中的自变量x的取值范围是( ) A．x≠ B．x≥1 C．x＞ D．x≥ 3．点P(－3，2)关于原点对称的点是( ) A．(3，2) B．(－3，－2) C．(3，－2) D．(2，－3) 4．若点P(2，－4)，Q(x，－4)之间的距离是3，则x的值为( ) A．3 B．5 C．－1 D．5或－1 5．函数y＝中自变量x的取值范围是( ) A．x≥－2且x≠1 B．x≥－2 C．x≠1 D．－2≤x＜1 6．在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为( ) A．(3，2) B．(2，－3) C．(－3，－2) D．(3，－2) 7．已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，一个函数的图象由射线BA，线段BC，射线CD组成，其中点A(－1，2)，B(1，3)，C(2，1)，D(6，5)，则此函数( ) A．当x<1时，y随x的增大而增大 B．当x<1时，y随x的增大而减小 C．当x>1时，y随x的增大而增大 D．当x>1时，y随x的增大而减小 9．平面直角坐标系xOy中点A的坐标为(－2，1)，如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为( ) A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1) 10.如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变)，能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是( ) 11．如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道(隧道长大于火车长)，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是( ) 12．如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为( ) 13．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是( ) A．体育场离林茂家2.5 km B．体育场离文具店1 km C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min D．林茂从文具店回家的平均速度是60 m/min 二、填空题 14．点(－1，2)所在的象限是第______象限． 15．平面直角坐标系中，在x轴的下方有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为7，则点M的坐标为__________． 16．若点P(m，－3)与点Q(2，n)关于原点对称，则m＋n＝______． 17．在平面直角坐标系中，将点A(2，－3)向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是________． 18．在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标是______________． 19．已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y＋4(x，y为整数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标______________． 20．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)，“马”位于点(4，－2)，则“兵”位于点________________． 三、解答题 21．已知：A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC； (2)求△ABC的面积； (3)若点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 22．在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题． (1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？ (2)如果以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，4)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积． 23．小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 16 min回到家中．设小明出发第t min时的速度为v m/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点)． (1)小明出发第2 min时离家的距离为________m； (2)当2＜t≤5时，求s与t之间的函数解析式； (3)画出s与t之间的函数图象． 参考答案 1．D　2.D　3.C　4.D　5.A　6.D　7.A　8.A　9.A　10.D 11．A　12.A　13.C 14．二　15.(－7，－5)或(7，－5)　16.1　17.(－1，2)　18.(1，2) 19．(1，－2)(答案不唯一)　20.(－1，1) 21．解：(1)如图所示． (2)S△ABC＝3×4－×2×3－×2×4－×2×1＝12－3－4－1＝4. (3)当点P在x轴上时，S△ABP＝AO·BP＝4， 即×1·BP＝4，解得BP＝8， ∴点P的坐标为(10，0)或(－6，0)； 当点P在y轴上时，S△ABP＝BO·AP＝4， 即×2AP＝4，解得AP＝4， ∴点P的坐标为(0，5)或(0，－3)， ∴点P的坐标为(0，5)或(0，－3)或(10，0)或(－6，0)． 22．解：(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个单位长度得到的． (2)如图，过点F作FG∥直线a，交DE于点G.如果以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，4)，那么格点△DEF各顶点的坐标分别为D(0，－2)，E(－4，－4)，F(3，－3)，S△DEF＝S△DGF＋S△GEF＝×5×1＋×5×1＝5. 23．解：(1)200 (2)当2＜t≤5时，s＝100×2＋160(t－2)＝160t－120， ∴s与t之间的函数解析式为s＝160t－120. (3)s与t之间的函数解析式为 s＝ s与t之间的函数图象如图所示． 第二节　一次函数及其应用 一、选择题 1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( ) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．一次函数y＝2x－3的图象经过的象限是( ) A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 3．若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是( ) 4．直线y＝3x＋1向下平移2个单位，所得直线的解析式是( ) A．y＝3x＋3 B．y＝3x－2 C．y＝3x＋2 D．y＝3x－1 5．若一次函数y＝3x＋b的图象经过点(－1，2)，则b的值为( ) A．－7 B．－1 C．2 D．5 6．已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( ) A．kb＞0 B．kb＜0 C．k＋b＞0 D．k＋b＜0 7．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线y＝kx＋2(k＜0)上，且x1＜x2则y1，y2的大小关系是( ) A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 8．下列关于一次函数y＝kx＋b(k＜0，b＞0)的说法，错误的是( ) A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与y轴交于点(0，b) D．当x＞－时，y＞0 9．已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是( ) 10．如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是( ) A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0 11．若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b＞1的解为( ) A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1 12.小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离y(千米)和所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示，则小明出发4小时后距A地( ) A．100千米 B．120千米 C．180千米 D．200千米 13．甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的． 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380 下列说法错误的是( ) A．甲队每天修路20米 B．乙队第一天修路15米 C．乙队技术改进后每天修路35米 D．前七天甲、乙两队修路长度相等 二、填空题 14．已知y关于x的函数y＝(m－2)x＋m2－4，当m________时，该函数为一次函数；当m＝________时，该函数为正比例函数． 15．已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当________时，y随x的增大而增大． 16．把直线y＝－x－1沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为________________． 17．如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解为__________． 18．某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数解析式________________． 19．当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是______________． 20．小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为__________km. 21．如图所示，一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，且a＞0)的图象经过点A(4，1)，则不等式ax＋b＜1的解集为__________． 三、解答题 22．已知一次函数y＝kx＋2，当x＝－1时，y＝1，求此函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数图象． 23．如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝. (1)求点B的坐标； (2)若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式． 24．“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中，小红从家出发到返回家中，行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示． (1)小红从甲地到乙地骑车的速度为________km/h； (2)当1.5≤x≤2.5时，求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？ 25．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km.图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为________ km/h，快车的速度为________km/h； (2)解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为500 km. 26．为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元． (1)直接写出当0≤x≤300和x>300时，y与x的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 参考答案 1．C　2.C　3.C　4.D　5.D　6.B　7.C　8.D　9.A　10.A 11．D　12.C　13.D 14．≠2　－2 15．m<1　16.y＝－x＋1　17.x≤1　18.y＝－x＋1 19．1＜k＜3　20.0.3　21.x＜4 22．解：将x＝－1，y＝1代入一次函数解析式y＝kx＋2可得1＝－k＋2，解得k＝1， ∴一次函数的解析式为y＝x＋2. 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2， ∴函数图象经过(0，2)，(－2，0)， 此函数图象如图所示： 23．解：(1)∵点A(2，0)，AB＝， ∴BO＝＝3， ∴点B的坐标为(0，3)． (2)∵△ABC的面积为4， ∴BC·AO＝4， 即BC×2＝4，解得BC＝4. ∵BO＝3，∴CO＝4－3＝1，∴C(0，－1)． 设l2的解析式为y＝kx＋b， 则解得 ∴直线l2的解析式为y＝x－1. 24．解：(1)20 (2)1.5≤x≤2.5时，设直线BC的解析式为y＝20x＋b. 将点B(1.5，10)代入解析式得10＝20×1.5＋b， 解得b＝－20， ∴当1.5≤x≤2.5时，直线BC的解析式为y＝20x－20. 当x＝2.5时，解得y＝30. 答：乙地离小红家30千米． 25．解：(1)80　120 (2)图中点C的实际意义是快车到达乙地． ∵快车走完全程所需时间为720÷120＝6(h)， ∴点C的横坐标为6. 纵坐标为(80＋120)×(6－3.6)＝480，即点C(6，480)． (3)由题意可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500 km. 即相遇前：(80＋120)x＝720－500， 解得x＝1.1. 相遇后：∵点C的坐标为(6，480)， ∴慢车行驶20 km两车之间的距离为500 km. ∵慢车行驶20 km需要的时间是＝0.25(h)，∴x＝6＋0.25＝6.25. 答：x＝1.1或6.25时，两车之间的距离为500 km. 26．解：(1)y＝ (2)设甲种花卉种植a m2，则乙种花卉种植(1 200－a)m2，总费用为W. 由题意得 ∴200≤a≤800. 当200≤a≤300时，W＝130a＋100(1 200－a)＝30a＋120 000， ∴当a＝200时，Wmin＝126 000元； 当300<a≤800时，W＝80a＋15 000＋100(1 200－a)＝135 000－20a， ∴当a＝800时，Wmin＝119 000元． ∵119 000<126 000， ∴当a＝800时，总费用最低，最低为119 000元． 此时乙种花卉种植面积为1 200－800＝400(m2)． 答：应分配甲种花卉种植800 m2，乙种花卉种植400 m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119 000元． 第三节　反比例函数 一、选择题 1.反比例函数y＝(k＜0)，当x＞0时，图象在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知反比例函数y＝的图象经过点(1，1)，则k的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．若y＝(m＋1)xm－2是反比例函数，则m的取值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数 4．如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( ) A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2 5．点(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A．(4，－1) B．(－，1) C．(－4，－1) D．(，2) 6．已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式一定正确的是( ) A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝－x＋k与y＝(k为常数，且k≠0)的图象大致是( ) 8.如图，一次函数y1＝ax＋b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是( ) A．－2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜－2或0＜x＜4 C．x＜－2或x＞4 D．－2＜x＜0或x＞4 9．若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 10.如图，点P是反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 11．在同一直角坐标系中，若一次函数y＝k1x＋2与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1k2的取值范围是( ) A．k1k2＜－1 B．k1k2＞－1 C．k1k2＜0 D．－1＜k1k2＜0 12.如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m为常数且m≠0)的图象都经过A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b＞的解集是( ) A．x＜－1 B．－1＜x＜0 C．x＜－1或0＜x＜2 D．－1＜x＜0或x＞2 二、填空题 13．若点(3，5)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝________． 14.已知反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝______． 15．已知点P(m，n)在直线y＝－x＋2上，也在双曲线y＝－上，则m2＋n2的值为______. 16．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝(k＞0)相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC.若△ABC面积为8，则k＝______． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与正比例函数y＝kx，y＝x(k＞1)的图象分别交于点A，B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是______. 18．如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为______． 19．如图，一次函数y1＝(k－5)x＋b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝______． 三、解答题 20．已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)． (1)求该函数的解析式； (2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n(n＞0)个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向． 21．如图，一次函数y＝－x＋3的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C. (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标． 22．如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3. (1)求一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)写出不等式kx＋b＞－的解集． [来源:Z|23．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2. (1)求k和m的值； (2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围． 24．如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于第二、四象限内的点A(a，4)和点B(8，b)．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4. (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出mx＋n＜的解集； (3)在x轴上取点P，使PA－PB取得最大值时，求出点P的坐标． 参考答案 1．D　2.D　3.A　4.D　5.A　6.A　7.C　8.B　9.C　10.A 11．A　12.C 13．15　14.6　15.6　16.8　17.2　18.8　19.4 20．解：(1)设反比例函数的解析式为y＝. ∵图象经过点P(2，－3)，∴k＝2×(－3)＝－6， ∴反比例函数的解析式为y＝－. (2)∵点P沿x轴负方向平移3个单位， ∴点P′的横坐标为2－3＝－1， ∴当x＝－1时，y＝－＝6，∴n＝6－(－3)＝9， ∴点P沿着y轴平移的方向为正方向． 21．解：(1)把点A(1，a)代入y＝－x＋3得a＝2， ∴A(1，2)． 把A(1，2)代入反比例函数y＝得k＝1×2＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝. (2)∵一次函数y＝－x＋3的图象与x轴交于点C，∴C(3，0)． 设P(x，0)， ∴PC＝|3－x|，∴S△APC＝|3－x|×2＝5， ∴x＝－2或x＝8，∴P的坐标为(－2，0)或(8，0)． 22．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点， 且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3， ∴3＝－， 解得xB＝－4，∴yA＝－＝－4， 故B(－4，3)，A(3，－4)． 把A，B点代入y＝kx＋b得 解得 ∴直线解析式为y＝－x－1. (2)y＝－x－1，当y＝0时， x＝－1， ∴C点坐标为(－1，0)， 则△AOB的面积为×1×3＋×1×4＝. (3)不等式kx＋b＞－的解集为x＜－4或0＜x＜3. 23．解：(1)∵△AOB的面积为2，∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝. ∵点A(4，m)在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝1. (2)∵当x＝－3时，y＝－；当x＝－1时，y＝－4. 又∵反比例函数y＝在x＜0时，y随x的增大而减小， ∴当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－. 24．解：(1)∵点A(a，4)，∴AC＝4. ∵S△AOC＝4，即OC·AC＝4，∴OC＝2. ∵点A(a，4)在第二象限，∴a＝－2，A(－2，4)． 将A(－2，4)代入y＝得k＝－8， ∴反比例函数的关系式为y＝－. 把B(8，b)代入得b＝－1，∴B(8，－1)， 因此a＝－2，b＝－1. (2)由图象可以看出mx＋n＜的解集为－2＜x＜0或x＞8. (3)如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴交于点P，此时PA－PB最大． ∵B(8，－1)，∴B′(8，1)． 设直线AP的关系式为y＝kx＋b，将 A(－2，4)，B′(8，1)代入得 解得 ∴直线AP的关系式为y＝－x＋. 当y＝0时，即－x＋＝0，解得x＝， ∴P(，0)． 第四节　二次函数的图象与性质 一、选择题 1．二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A．(1，3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(－1，－3) 2．抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( ) A．直线x＝2 B．直线x＝－2 C．直线x＝1 D．直线x＝－1 3．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( ) A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2 4．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( ) A．开口向下 B．对称轴是x＝m C．最大值为0 D．与y轴不相交 5．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位 6．抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是( ) A．y＝2(x＋1)2 B．y＝2(x－1)2 C．y＝－2(x＋1)2 D．y＝－2(x－1)2 8．在抛物线y＝x2－4x＋m的图象上有三个点(－3，y1)，(1，y2)，(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( ) A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＝y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 9.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是( ) A．ac＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0 10．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2 11．将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是( ) A．a>3 B．a<3 C．a>5 D．a<5 12．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是( ) 13.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＜0；②c＋2a＜0；③9a－3b＋c＝0；④a－b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤4ac－b2＜0. 其中错误结论的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 14．若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是__________． 15．已知二次函数的图象与抛物线y＝－2x2＋3的开口大小、方向完全相同，且顶点坐标为(2，－1)，则该二次函数的解析式为__________________________． 16．若二次函数y＝4x2－6x－3的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为________. 17．抛物线y＝2x2－4x＋3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是__________________________． 18．将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为__________________________． 19．如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＜ax2＋bx＋c的解集是________________. 20．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示： x … －5 －4 －3 －2 －1 … y … －8 －3 0 1 0 … 当y＜－3时，x的取值范围是____________________． 21．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M______N(填“＞”“＝”或“＜”). 三、解答题 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1. (1)求该二次函数的解析式； (2)求tan∠ABC. 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)，点B(－1，0)，与y轴交于点C. (1)求拋物线的解析式； (2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上，且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标． 24．抛物线y＝ax2－2x＋b的顶点为A(m，n)，过点A的直线y＝kx－1与抛物线的另一交点为B(p，q)． (1)当a＝b＝1时，求k的值； (2)若b＝m，当－3≤a<1时，求p的取值范围． 25．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)． (1)求b，c满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 26．有这样一个问题：探究函数y＝x3－2x的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝x3－2x的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： x … －4 －3.5 －3 －2 －1 0 1 2 3 3.5 4 y … － － 0 － － m (1)求m的值为________； (2)如图，在平面直角坐标xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (3)方程x3－2x＝－2实数根的个数为______； (4)观察图象，写出该函数的一条性质________； (5)在第(2)问的平面直角坐标系中画出直线y＝x，根据图象写出方程x3－2x＝x的一个正数根约为________(精确到0.1)． 参考答案 1．A　2.C　3.D　4.D　5.D　6.C　7.B　8.A　9.C　10.D 11．D　12.B　13.A 14．0或1　15.y＝－2x2＋8x－9　16.－2　17.y＝－2x2－4x－3 18．y＝2(x＋1)2－2　19.－1＜x＜4　20.x<－4或x>0　21.＜ 22．解：(1)由题意可设抛物线解析式为y＝a(x－4)2－3(a≠0)． 把A(1，0)代入得0＝a(1－4)2－3， 解得a＝， 故该二次函数解析式为y＝(x－4)2－3. (2)令x＝0，则y＝(0－4)2－3＝， 则OC＝. ∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，A(1，0)，点B与点A关于直线x＝4对称， ∴B(7，0)，∴OB＝7，∴tan∠ABC＝＝＝， 即tan∠ABC＝. 23．解：(1)将点A(3，0)，点B(－1，0)代入y＝x2＋bx＋c， 可得b＝－2，c＝－3，∴y＝x2－2x－3. (2)P(4，3)或P(8，3)． 24．解：(1)当a＝b＝1时， 抛物线y＝x2－2x＋1的顶点为A(1，0)， ∴直线y＝kx－1过点A(1，0)，∴k＝1. (2)∵y＝ax2－2x＋b的顶点为A(m，n)，∴m＝. ∵b＝m，∴抛物线y＝ax2－2x＋，∴顶点为(，0)． ∵直线y＝kx－1过顶点(，0)，∴－1＝0，k＝a， ∴直线的解析式为y＝ax－1， ∴ax2－2x＋＝ax－1， 即ax2－(2＋a)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝1＋. ∵B与A是不同的两点，∴p＝1＋. 对于－3≤a<1， ①当－3≤a<0时，利用反比例函数性质得≤－，p≤. ②当0<a<1时，利用反比例函数性质得>1，p>2. 综上所述，p≤或p>2. 25．解：(1)将点(－2，4)代入y＝x2＋bx＋c得－2b＋c＝0，∴c＝2b. (2)m＝－，n＝，∴n＝， ∴n＝2b－m2＝－4m－m2. (3)y＝x2＋bx＋2b＝(x＋)2－＋2b，∴对称轴x＝－. 当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0； 此时y＝x2，当－5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25， ∴最大值与最小值之差为25(舍去)； 当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则Δ≤0， ∴0≤b≤8，∴－4≤－≤0. 当－5≤x≤1时，函数有最小值－＋2b， 当－4≤－≤－2时，函数有最大值1＋3b， 当－2＜－≤0时，函数有最大值25－3b； 函数的最大值与最小值之差为16， 当最大值为1＋3b时，1＋3b＋－2b＝16，∴b＝6或b＝－10. ∵4≤b≤8，∴b＝6.当最大值为25－3b时，25－3b＋－2b＝16，∴b＝2或b＝18.∵0≤b<4，∴b＝2. 综上所述，b＝2或b＝6. 26．解：(1)－ (2)如图所示． (3)3个 (4)图象关于原点中心对称(答案不唯一) (5)3.9 第五节　二次函数的综合应用 一、选择题 1．已知二次函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3m－2，若它的最大值为0，则m＝( ) A. B．2 C. D．1 2．某体训队员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x＋.则他将铅球推出的距离是( ) A．7.5 m B．8 m C．10 m D．13 m 3．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( ) A．b<1且b≠0 B．b>1 C．0<b<1 D．b<1 4．已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( ) A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2 5．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．下列结论错误的是( ) A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 m B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距O点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为1∶2 6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm总成立；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________________________． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________. 10．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m. 11．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝__________m时，矩形土地ABCD的面积最大． 三、解答题 12．由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)的关系式为y＝－2x＋1 000. (1)该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式； (2)若要使每月的利润为40 000元，销售单价应定为多少元？ (3)公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？ 13．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表： 时间t(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量m(件) 94 90 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y1＝t＋25(1≤t≤20，且t为整数)，后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y2＝－t＋40(21≤t≤40，且t为整数)． 下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： (1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式； (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为(6，0)，(4，3)，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE＋PF的值最小时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 15．如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是________(填“真”或“假”)命题； (2)若一条抛物线系数为[1，0，－2]，则其“抛物线三角形”的面积为________； (3)若一条抛物线系数为[－1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； (4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BQP∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 1．C　2.C　3.A　4.A　5.A　6.D　7.B 8．x1＝－2，x2＝1　9.－2　10.24　11.150 12．解：(1)由题意得w＝(x－200)y＝(x－200)(－2x＋1 000)＝－2x2＋1 400x－200 000. (2)令w＝－2x2＋1 400x－200 000＝40 000， 解得x＝300或x＝400. 答：销售单价应定为300或400元． (3)y＝－2x2＋1 400x－200 000＝－2(x－350)2＋45 000， 当x＝250时y＝－2×2502＋1 400×250－200 000＝25 000； 故最高利润为45 000元，最低利润为25 000元． 13．解：(1)设一次函数为m＝kt＋b， 将和代入一次函数m＝kt＋b中，则 ∴ ∴m＝－2t＋96. 经检验，其他点的坐标均适合以上解析式， 故所求函数解析式为m＝－2t＋96. (2)设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元． 由p1＝(－2t＋96)(t＋25－20) ＝(－2t＋96)(t＋5) ＝－t2＋14t＋480 ＝－(t－14)2＋578. ∵1≤t≤20，∴当t＝14时，p1有最大值578. 由p2＝(－2t＋96)(－t＋40－20) ＝(－2t＋96)(－t＋20) ＝t2－88t＋1 920 ＝(t－44)2－16. ∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44， ∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，p2随t的增大而减小， ∴当t＝21时，p2有最大值为(21－44)2－16＝529－16＝513. ∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元． (3)p1＝(－2t＋96)( t＋25－20－a) ＝－t2＋(14＋2a)t＋480－96a， 对称轴为t＝14＋2a. ∵1≤t≤20， ∴当t≤2a＋14时，p1随t的增大而增大． 又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大， ∴19.5＜2a＋14. 又∵a＜4，∴2.75＜a＜4. 14．解：(1)∵平行四边形OABC中，A(6，0)，C(4，3)， ∴BC＝OA＝6，BC∥x轴， ∴xB＝xC＋6＝10，yB＝yC＝3，即B(10，3)． 设抛物线y＝ax2＋bx＋c，将B，C，D三点代入得 解得 ∴抛物线解析式为y＝－x2＋x－. (2)如图，作点E关于x轴的对称点E′，连接E′F交x轴于点P. ∵C(4，3)，∴OC＝＝5. ∵BC∥OA，∴∠OEC＝∠AOE. ∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE， ∴∠OEC＝∠COE， ∴CE＝OC＝5，∴xE＝xC＋5＝9，即E(9，3)， ∴直线OE解析式为y＝x. ∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线 x＝－＝7， ∴F(7，)． ∵点E与点E′关于x轴对称，点P在x轴上， ∴E′(9，－3)，PE＝PE′， ∴当点F，P，E′在同一直线上时，PE＋PF＝PE′＋PF＝FE′最小． 设直线E′F的解析式为y＝kx＋h， ∴解得 ∴直线E′F的解析式为y＝－x＋21. 当－x＋21＝0时，解得x＝， ∴当PE＋PF的值最小时，点P坐标为(，0)． (3)存在．点M坐标为(3，)，(11，)或(7，4)． 15．解：(1)假 (2)2 (3)依题意得y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点(0，0)和(2b，0)， 当抛物线三角形是直角三角形时， 根据抛物线的对称性可知它一定是等腰直角三角形， ∴顶点为(b，b2)， 当b＞0时，b＝b2，解得b＝1， 此时，y＝－x2＋2x， 当b＜0时，－b＝b2，解得b＝－1， 此时，y＝－x2－2x， ∴该抛物线的解析式是y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x. (4)①当抛物线是y＝－x2＋2x时， ∵△AOB为等腰直角三角形，且△BQP∽△OAB， ∴△BPQ为等腰直角三角形， 设P(a，－a2＋2a)， ∴Q(a，0)，则|－a2＋2a|＝|2－a|. 当－a2＋2a＝2－a时，解得a＝1或a＝2(舍去)， ∴P(1，1)． 当－a2＋2a＝－(2－a)时，解得a＝－1或a＝2(舍去)， ∴P(－1，－3)． ②当抛物线是y＝－x2－2x时，同①的方法得P(－1，1)或(1，－3)． 即点P(－1，－3)或(1，1)或(－1，1)或(1，－3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$