第六章 反比例函数 讲义 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

第六章 反比例函数 第5讲 反比例函数图象、性质及应用 一．知识梳理 知识点1 反比例函数的定义与表达式： （1）一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数 （2）反比例函数有三种表达式： ①（） ②（） ③（定值）（） 知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴. 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线. 在作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交. 知识点4 反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 （） 的符号 图像 性质 ①的取值范围是，y的取值范围是 ②当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. ①的取值范围是，y的取值范围是 ②当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大. 注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小，就会与事实不符的矛盾. ☆反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点. ☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x. ☆反比例函数（y=）的图像与正比例函数（y=ax）的图像交于A(),B()两点，那么这两点关于原点对称，即，. 【补充】 中点坐标公式： 三点共线，且中间的点是中点， 则： 即若A(，)，B(，),M(x，y)在一条直线上，且M为线段AB的中点，则有： 知识点5 反比例函数的应用（略） 二.实战演练 ( 典例分析 ) 考点一 反比例函数的概念及函数关系式的确定 下列是反比例函数的有_____（填序号） ①； ②； ③； ④ ⑤ xy=-3； ⑥ 考点二 反比例函数的图像和性质 1. 反比例函数y=(a是常数)的图像分布在（ ） A. 第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二 、四象限 D.第三、四象限 2.(1)若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线y＝上的两点，且x1＞x2＞0，则y1____＜ y2． 3.反比例函数y=的图像如右图所示，则k的值可能是（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 4.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为　　． 考点三 反比例函数的应用 1.已知点P(a，b)在反比例函数的图像上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数的图像上，则k的值为_____. 2.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y元，x月结清余款．y与x的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题． （1）确定y与x的函数关系式，并求出首付款的数目； （2）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？ 考点四 一次函数与反比例函数综合问题 1.函数y=k(x-1)与在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）. 3.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式． 4.如图所示，直线与双曲线（x＞0）交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若=2，则k=____. ( 课堂训练 ) 1.已知函数是y关于x的反比例函数，则m的值是____. 2.在反比例函数的图像上有A()，B()两点，当时，，则m的取值范围是（ ）A.m＜0 B.m＞ C.m＜ D.m＞0 3.反比例函数的自变量x满足-2≤x≤-时，函数值-1≤y≤-，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 4.如图所示，等边三角形OAB的边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图像经过边OB的中点C,则点B的坐标是( , ). 5.双曲线y=经过点（-3,4），则下列点在双曲线上的是____. A.(-2,3) B.(4,3) C.(-2,-6) D.(6，-2) 6.已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A.x＜-1或0＜x＜3 B.-1＜x＜0或x＞3 C.-1＜x＜0 D.x＞3 7.如图，直线y=x+b与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且AB.AC=8，则k=_____. 8.某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米． （1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？ 9.已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6） (1)求m的值； (2)如图，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标. ( 课后作业 ) 1.已知一个反比例函数的图像位于第二、四象限内，点P()在这个反比例函数图像上，且＞-4，请你写出这个反比例函数的表达式______．（只写出符合题意的一个即可） 2.若点（-2，），（-1，），（1，）在反比例函数图象上，则下列结论中，正确的是（ ） A.＞＞ B.＞＞ C.＞＞ D.＞＞ 3.如图所示，点P(2,1)是反比例函数的图像上的一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（ ）A.x＜2 B.x＞2 C.x＜2且x≠0 D.x＞2或x＜0 4.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且，则这个反比例函数的表达式为______. 5.如图所示，矩形ABCD的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为_____. 6.已知A(2,m-2)和B(m，4)均在反比例函数图像上，则m=___. 7.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为_____. 8.如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为( ) A.（1，0）B.（1，0）或（﹣1，0） C.（2，0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1） ※9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　 ） A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50 10.某汽车油箱的容积为80升，小陈把油箱注满油后从县城载客到400千米外的省城，把客人送到目的地后马上按原路返回，请回答下列问题：  （1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a（单位：千米）与每千米平均耗油量b（单位：升）之间有怎样的函数关系？  （2）小陈以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返回走了一半路程时下起了雨，小陈降低了速度，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小陈一直以此速度行驶，油箱里的油是否能回到县城？如果不够用，至少还需加多少油？  11.如图，已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点． (1)求反比例函数的解析式，和△AOB的面积； (2)结合函数图象，直接写出不等式2x＞的解为_______； (3)在反比例函数图象上存在_____个点P，使得． 12.已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a,b)，（a+1,b+k）两点. (1)求反比例函数的解析式； (2)若点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； (3)利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第6讲 |k|的几何意义 一．知识归纳 ☆反比例函数（）中的几何意义： 如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，连接OP， 则: 【补充】|k|的几何意义常见模型： 模型一：一点一垂线 模型分析：如过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于|k|. 特别补充：反比例函数图象上的两点与原点构成的三角形面积等于由这两点向x轴作垂线构成的梯形面积. 模型二：一点两垂线 模型分析：如过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|. 模型三：原点一垂线 模型分析：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于|k|. 模型四：两点两垂线 模型分析：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形(或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形)的面积等于2|k|. 模型五：两点和一点 模型分析：反比例函数与一次函数的交点和原点(或坐标轴上一点)所构成的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法. 模型六：两曲一平行 模型分析：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解. 模型七：与四边形组合 模型分析：反比例函数图象与四边形结合，已知面积求值，或已知值求面积.通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等. 二.实战演练 ( 典例分析 ) 例1：下列图形中，阴影部分面积最大的是（　　） 例2：如图所示，反比例函数y=(x＞0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 例3：如图，A、B两点分别在反比例函数和的图像上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA，则k的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 例4:如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=的表达式为_____． 例5：如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点C，反比例函数y=(x＜0)的图象分别与AD，CD交于点E，F，若=7，=0，则等于_______. 例6：已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E. （1）用含k的代数式表示△AOE的面积是____，△BOF的面积是_____. （2）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由. ( 课堂训练 ) 1.如图所示是反比例函数和（k＜k）在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若,则k-k的值是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图，P(x，y)是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A， PB⊥y轴于点B， 随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ） A．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB，A、B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C、D两点在反比例函数y=(k＜0)的图象上，则k=_____. 4.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y＝（x＞0）在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于E、F两点，若四边形BEDF的面积为1，则k的值为_____． 5.如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为6，则k的值为_____. 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交于y轴负半轴于点E.双曲线一条分支经过点A，若S△BEC=4，则k=_______. ( 课后作业 ) 1.如图所示，直线l和双曲线y=（k＞0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合）.过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC的面积为S，△BOD的面积为S，△POE的面积为S，则有（　　） A.S1＜S2＜S3 B.S1＞S2＞S3 C.S1＝S2＜S3 D.S1＝S2＞S3 2.如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作轴、轴的垂线与反比例函数的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______. 3.某反比例函数的图像上有三点A(1，4)，B（2，m），C（4，n），则△ABC的面积为_____. 4.(1)如左下图，在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD，若△OAD的面积为1，则k的值为_______． (2)如右上图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数y＝的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为______. 5.如图，A、B两点分别在反比例函数和的图像上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA，则k的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 6.如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是________. 7.如图，在□OADB中，对角线AB、OD相交于点C，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象经过A、C两点，若平行四边形OADB面积为12，则k的值为______． 8.如图所示，双曲线y=(x＜0)经过四边形OABC的顶点A，C，∠ABC=90°，OC平分OA与x负半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是　　　　. 9.如图矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（-，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____. 10.在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ． （1）求k的值； （2）判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$