专题六 分式方程 2025年中考数学一轮复习讲义

专题六 分式方程（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 分式方程及其解法 1.解分式方程 ☆☆☆ 本专题从定义和解答方面命题，多以选择题和填空题的形式出现，解答题通常考查解分式方程和列方程解应用题，重点考查学生化分为整的能力，体现了转化与化归的数学思想 2.分式方程的含参问题 ☆☆ 分式方程的实际应用 3.分式方程的实际应用 ☆☆☆ 知识详解 讲解一：分式方程的概念及解法 一、分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数 分母中不含有未知数 联系 分式方程可以转化为整式方程 【注意】 （1）判断一个方程是否为分式方程，要掌握以下三点：① 是方程；② 方程中含有分母；③ 分母中含有未知数. （2）并不是含有分母的方程就是分式方程，必须是分母中含有未知数的方程才是分式方程.二、解分式方程 解分式方程的基本思路是通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解. 下表以解分式方程为例： 步骤 具体操作方法 举例 ①去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 方程两边同乘， 得 ②解方程 解整式方程 解得 ③检验 把整式方程的解代入最简公分母 最简公分母不为0，是分式方程的解 当时，， 所以是原方程的解 最简公分母为0，不是分式方程的解，是增根 当时，，所以不是原方程的解，是增根 ④写解 是原分式方程的解或原分式方程无解 故是原分式方程的解 【注意】 （1）检验是解分式方程必不可少的步骤； （2）分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解； （3）用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项. 【拓展延伸】 对增根产生的原因理解如下：增根是在解分式方程的第一步，即去分母时产生的，根据方程的同解原理，方程两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边同时乘0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. 三、分式方程的含参问题 1.根据分式方程有增根求参数的值的解题思路： 先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程，从而求出参数的值. 2.根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围的解题思路： 先将分式方程化为整式方程，并解整式方程，用含参数的代数式表示出整式方程的解，再结合分式方程解的情况列方程或不等式求出参数的值或取值范围，注意要考虑分式方程中分母不为0的限制条件. 命题精练 命题形式1 解分式方程 1.（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题． 解析：， ， ， ， ， ， 经检验是该方程的解， 故选：D． 2.（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 【答案】 【思路点拨】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 解析： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 3.（2024·浙江·中考真题）若，则 . 【答案】 解析：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 【题型解读】 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 4.（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 解析：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 5.（2024·福建·中考真题）解方程：． 【答案】． 解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 6.（2024·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【思路点拨】 本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 7.（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 【答案】 【思路点拨】 本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 命题形式2 分式方程的含参问题 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【思路点拨】 本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 解析：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 2.（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 解析：将代入方程，得 解得： 故选：B． 3.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 解析：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 4.（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 . 【答案】 【思路点拨】 本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可． 解析：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 5.（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 . 【答案】 【思路点拨】 本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 解析： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 6.（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 . 【答案】 解析：， 方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型解读】 本题考查了根据分式方程的根有增根求参数的值，等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出. 知识详解 讲解二：分式方程的实际应用 列分式方程常用的等量关系 （1）行程问题： （2）利润问题： （3）工程问题：总工作量=各个分工作量之和. （4）销售问题：. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量；找出已知的或隐含的等量关系，常用表格分析法. （2）设：设未知数（既可以设直接未知数，也可以设间接未知数）. （3）列：列出分式方程. （4）解：解这个方程. （5）验：检验，既要检验所求得的根是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的根是否符合实际意义. （6）答：写出答案. 【注意】 （1）在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系. （2）在检验过程中，不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根，还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义，如时间非负，人数非负等. （3）在一些实际问题中，有时直接设问题所求的量为未知数比较麻烦，所以可以间接地设未知数. （4）设一个未知数不容易表示等量关系时，还可以设多个未知数，即设辅助未知数. 命题精练 命题形式3 分式方程的实际应用 1.2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】 本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 解析：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 2.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 解析：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：D． 3.（2024·新疆·中考真题）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 解析：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 4.（2024·山西·中考真题）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】 题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键． 解析：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元， 根据题意得：， 故选：A． 5.（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】B 【思路点拨】 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可． 解析：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数． 故选：B． 6.（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【答案】该市谷时电价元/度 解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得， ， 解得：，经检验是原方程的解， 答：该市谷时电价元/度． 7.（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 8.（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度为 【思路点拨】 本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题． 解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意可得，， 整理得，， 解得， 经检验是该方程的解， 答：型车的平均速度为． 9.（2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 【思路点拨】 本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果． 解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子， 由题意得： ，解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为：， ∴ 答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 学科网（北京）股份有限公司 $$