2025年 鲁教版（五四制）数学一轮复习 第四章 三角形 第1节 几何初步认识

第四章 三角形 第1节 几何初步认识 考点分析 考点1 直线、射线、线段 课标要求导航： ①通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念； ②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； ③掌握基本事实：两点确定一条直线；④掌握基本事实：两点之间线段最短； ⑤理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 例1 汽车灯所射出的光线可以近似地看成 ( ) A.线段 B.射线 C.直线 D.曲线 1.1 直线、线段、射线的位置如图所示，如图中能相交的是 ( ) 例2 如图，点B 是线段AC上一点，且 (1)求线段AC的长; (2)若点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长. 2.1 平面上有三点A,B,C,若AB=8,AC=5,BC=3,则 （ ） A.点 C 在线段AB 上 B.点 C 在线段AB 的延长线上 C.点 C 在线段AB 外 D.点C 可能在AB 上,也可能在AB 外 考点2 角 课标要求导航：理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 例3 如图中用量角器测得∠ABC的度数= ( ) A.50° B.80° C.130° D.150° 3.1 角的换算. (1)锐角54°24'的余角等于 度. (2)若一个角的补角等于它的余角的4倍，则这个角的度数是 度. (3)已知α与β互为补角,α=33°27′,则β= . 例4 如图,∠AOC =90°,OC 平分∠DOB,且∠DOC=22°36',∠BOA度数是 ( ) A.67°64' B.57°64' C.67°24' D.68°24' 4.1 如图,点A,O,B在同一条直线上,OD,OE 分别平分∠AOC和∠BOC. (1)求∠DOE 的度数; (2)如果∠COD=65°,求∠AOE 的度数; (3)如果∠COD:∠COE=3:2,求∠AOE 的度数. 例5 一个同学从A地出发沿南偏西 方向走到B地，再从 B 地出发沿南偏东 方向走到 C 地，那么 为 . 5.1 如图，在灯塔O 处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B 在南偏东 的方向，那么 考点3 相交线与平行线 类型1 相交线 课标要求导航： ①理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质； ②理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线； ③掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 例6 如图,直线AB,CD 相交于点 O.若 则 的度数为 ( ) A.70° 6.1 如图,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分 若 则 的度数为 ( ) A.46° B.56° C.67° D.77° 例7 如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸 B 处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 ( ) A.点到直线的距离 B.垂线段最短 C.两点确定一条直线 D.两点之间线段最短 类型2 平行线的性质与判定 课标要求导航： ①识别同位角、内错角、同旁内角； ②理解平行线的概念； ③掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ④掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； ⑤探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行； ⑥掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.了解定理的证明； ⑦探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)； ⑧能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线； ⑨能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线； ⑩了解平行于同一条直线的两条直线平行. 例8 一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图i方式放置,若∠1=20°,则∠2= ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 8.1 如图,AB∥CD,点 E在线段 BC上(不与点B,C重合),连接DE.若∠D=40°,∠BED=60°,则∠B= ( ) A.10° B.20° C.40° D.60° 8.2 如图,已知AD∥BC,BD 平分∠ABC.若∠A=110°,则∠D 的度数是 ( ) A.40° B.36° C.35° D.30° 8.3 已知直线a,b被c,d所截,若∠1=∠2=60°,∠3=55°,则∠4 的度数是( ) A.60° B.55° C.120° D.125° 8.4 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°,则∠2的度数为 . 8.5 如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 例9 已知∠AOB,点 P 为OA上一点,用尺规作图,过点 P 作OB 的平行线.下列作图痕迹不正确的是 ( ) 考点4 线段的垂直平分线、角平分线 课标要求导航： ①理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上； ②理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； ③能用尺规作图：作一个角的平分线； ④能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线. 例10 如图，在中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E,若则DC的长是 . 10.1 如图,在 中， ，DE垂直平分AB交BC于点D,若 的周长为50cm,则AC+BC= ( ) A.25 cm B.45 cm C.50cm D.55 cm 【思路点拨】根据线段垂直平分线得出 ，进而利用三角形的周长解答即可. 10.2 尺规作图 在 内找一点 P，使点 P 到A，B两点的距离相等，并且点 P 到点 C 的距离等于线段AC的长. 10.3 如图,在 中，边AB 的垂直平分线分别交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分线分别交BC,AC于点 F,N,BE (1)求 的长； (2)若 求 的面积. 例11 如图,△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=15，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA,BC 于点 M,N,再分别以点 M,N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点E,作射线 BE 交AC 于点 D,则线段AD 的长为 . 11.1 尺规作图 如图,△ABC 中, ，垂足为 D.求作∠ABC 的平分线,分别交AD,AC 于 P,Q 两点.(要求:尺规作图,保留作图痕迹，不写作法) 考点5 命题、定理与证明 课标要求导航： ①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式； ④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 例12 下列命题中，正确的是 ( ) A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为 D.直角三角形是轴对称图形 【思路点拨】根据两点之间，线段最短、菱形的性质、正多边形的外角和、轴对称图形的概念判断即可. 12.1 下列命题是真命题的是 ( ) A.同位角相等 B.菱形的四条边相等 C.正五边形是中心对称图形 D.单项式 的次数是4 12.2 对于命题“如果 ，那么 ”能说明它是假命题的反例是 ( ) 达标训练 基础达标特训 1.若∠A =80°,则∠A 的补角是 ( ) A.100° B.80° C.40° D.10° 2.如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1 的度数为 ( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 P在∠AOB的平分线上，则 ( ) A. ₁与₂一定相等 B. ₁与₂一定不相等 C. ₁与₂一定相等 D. ₁与₂一定不相等 4.跨学科·物理 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A 处分别施加推力 F₁,F₂,则 F₁ 的力臂 OA大于 F₂ 的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是 ( ) A.垂线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5.如图,直线m∥n,一块含有30°的直角三角板按如图所示放置.若∠1 =40°,则∠2的大小为 ( ) A.70° B.60° C.50° D.40° 6.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB 于E,垂足为D.如果 CE=10,则ED的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是 ( ) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 8.如图,AB∥CD,AD 平分∠BAC,∠1=30°,则∠2= ( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 9.如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通,若∠1 =120°,则∠2 的度数是 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 10.如图,A,B,C,D,E,P,Q,R,S,T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线 段 条. 11. 已知∠A =30°45',∠B =30. 45°,则∠A ∠B.(填“＞”“＜”或“＝”) 高分提能特训 12.如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1 =∠2=40°,则∠3 的度数为 ( ) A.80° B.90° C.100° D.120° 13.如图,在△ABC 中,∠ABC A＝90°,∠C=30°,以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B，D为圆心，大于 BD 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线AP 交 BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是 ( ) A. BE=DE B. AE=CE C. CE=2BE 14.综合与实践 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿 AB 折叠，量得∠1 =∠2=59°;小铁把纸带②沿 GH 折叠,发现GD与GC重合,HF 与HE 重合,且点 C,G,D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上.则下列判断正确的是( ) A.纸带①、②的边线都平行 B.纸带①、②的边线都不平行 C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 15.跨学科·物理 如图，在空心圆柱口放置一面平面镜EF，EF 与水平线CD的夹角∠EBC=70°,人射光线AB经平面镜反射后反射光线为BM(点A，B.C,D,E,F,M在同一竖直平面内).已知∠ABE=∠FBM.若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线AB与水平线CD 的夹角∠ABC 的度数调整为 ( ) A.35° B.40° C.50° D.60° 16.如图,在△ABC中,BF 平分∠ABC,过点A作BF 的垂线.交EF于点P,交 BC 于点 E,若△PBC 面积为6cm²。△APC的面积为 则△ABP的面积为( ) A.3cm² B.4cm² 17.一个角的余角比它的补角的 还少40°,则这个角的度数为 度. 18.刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是： 。 ①6，4，3，8只有两个数字正确且位置正确；②6，0，4，7只有两个数字正确但位置都不正确；③3,5,2,9四个数字都不正确;④1，8，0，9只有三个数字正确但位置都不正确. 19.将三角板 COD 的直角顶点O 放置在直线AB 上. (1)若按照图1的方式摆放,且∠AOC =52°,射线OE平分∠BOC,则∠DOE 的大小为 ; (2)若按照图2 的方式摆放，射线 OE 平分 请写出∠AOC 与. 度数的等量关系，并说明理由. 冲刺满分特训 20.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动.已知AB∥CD，BF为∠ABE 的平分线,DF 为∠CDE 的平分线,BF 和DF 相交于点 F. 探究问题 (1)在图1中,请直接写出∠BFD,∠ABF,∠CDF 之间的数量关系，并说明理由； (2)在图1中,∠BFD,∠ABE,∠CDE 之间的数量关系为： ； 知识迁移 (3)如图2,若. 试猜想 和 间的数量关系，并说明理由. 参考答案 考点分析 【例1】B 1.1 B 【例2】解:(1)∵AB+BC=AC,BC= ∴AC=AB+BC=21+7=28. (2)∵O是AC的中点, ∴OB=CO-BC=14-7=7. 2.1 A 【例3】 C 3.1:(1)35.6 (2)60 (3)146°33' 【例4】 C 4.1 解:(1)∵ OD,OE 分别平分∠AOC和∠BOC, ∴ ∠COD = ∠AOC,∠COE = ∠BOC), 即 =90°. (2)∵∠AOD=∠COD=65°,∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE =65° (3)∵∠COD:∠COE=3:2,∴设∠COD=3x,∠COE=2x. ∵∠COD+∠COE=90°,∴3x+2x=90°,解得x=18°, ∴∠COD=54°,∴∠AOD=54°, ∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE =54° 【例5】 110° 5.1 141° 【例6】 B 6.1 A 【例7】 B 【例8】 B 8.1 B 8.2 C 8.3 D 8.4 78° 8.5 20 解析:作DG⊥BC 于 G,AH⊥BC 于 H. ∵ AD∥BC,∴AH = DG. 又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴ BC =AD =5. 又∵ BE =8,∴CE=3. 又∵△DCE 的面积为6,∴DG=4,∴四边形ABCD 的面积=BC×AH=20. 【例9】 B 【例10】 4 10.1 C 10.2 解：由题意可知，点P 是线段AB 的垂直平分线与以点 C 为圆心、CA长为半径画弧的交点. 10.3:解:(1)∵ME 是边 AB 的垂直平分线，NF 是AC的垂直平分线， ∴BE=AE,FA=FC,∴AE+AF=BE+FC=7. (2)∵∠B+∠C=45°,∴∠BAC=135°. ∵BE=AE,FA=FC,∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C, ∴∠EAB+∠FAC=45°,∴∠EAF=90°. ∵AF=4,∴AE=3,∴ △AEF 的面积 【例11】 11.1:如图所示. 【例12】 A 12.1 B 12.2 A 达标训练 1. A 2. B 3. A 4. A 5. A 6. C 7. B 8. B 12. C 13. D 14. D 解析：如图， 对于纸带①，∵∠1 = ∠2 =59°,∴ ∠1 =∠ADB = 59°, ∴∠DBA =180° - ∠ADB-∠2 =62°.由翻折的性质,得∠ABC = ∠DBA = 62°.∵ ∠2≠∠ABC,∴AD与 EC 不平行. 对于纸带②，由翻折的性质，得∠CGH= ∠DGH,∠EHG= ∠FHG. 又∵C,G,D在同一直线上,点E,H,F也在同一直线上,∴ ∠CGH +∠DGH=180°,∠EHG+∠FHG=180°,∴ ∠CGH = ∠DGH = 90°,∠EHG= ∠FHG=90°,∴ ∠CGH+∠EHG =180°,∴CD∥EF. 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行. 15. C 16. C 解析:设△ABP 的面积为S cm². ∵ BF 平分∠ABC,AP⊥BF,∴BA=BE,AP=PE,∴ S△BPE S，解得 17.30 18.0418 解析:∵3,5,2,9四个数字都不正确且1，8，0，9只有三个数字正确，∴1，8，0 三个数字都正确. ∵刘老师的手机密码是四位数字，∴剩下的4，6，7 三个数字中有且只有一个数字正确. ∵6，4，3，8只有两个数字正确且位置正确，且8正确，3不正确，∴6或4正确，假设6正确，则它的位置也正确，这与6，0，4，7只有两个数字正确但位置都不正确矛盾，∴6不正确,4正确. ∵6,4,3,8只有两个数字正确(4，8)且位置正确，1，8，0，9 只有三个数字正确(1,8,0)但位置都不正确,∴0在最前面，1在4 的后面.∴正确的密码是0418. 19.解:(1)26°. (2)∠AOC=2∠DOE.理由如下: ∵∠AOB=180°,∠COD=90°,∴∠AOC+∠COD =∠AOC+90° ∴∠AOC--∠BOD=90°,∴2∠AOC-2∠BOD=180°①. ∵OE平分∠BOC,∴∠BOC=2∠BOE. ∵∠AOC+∠BOC=180°,∴ ∠AOC+2∠BOE=180°②. ①－②,得∠AOC-2(∠BOD +∠BOE)=0,∴∠AOC-2∠DOE=0,即∠AOC=2∠DOE. 20.解:(1)如图1 所示,过点 F 作 FG∥AB. ∵AB∥CD,∴AB∥FG∥CD,∴ ∠ABF = ∠BFG, ∠CDF=∠DFG. ∵∠BFG+∠DFG=∠BFD,∴ ∠BFD=∠ABF+∠CDF. (2)∠ABE+∠CDE=2∠BFD. (3)∠MDF=3∠CDM.理由如下:如图2 所示,过点 E 作 EQ∥AB,过点M作MP∥AB. 设∠CDM=x,∠ABM=y, ∵CD∥AB,∴EQ∥MP∥AB∥CD,∴ ∠CDM =∠PMD =x,∠ABM =∠PMB=y. ∵ ∠ABE + ∠QEB =180°,∠CDE+∠QED=180°,∴ ∠ABE + ∠QEB + ∠CDE +∠QED=360°,∴ ∠ABE + ∠CDE + ∠BED=360°,∴ ∠BED = 360° - ( ∠ABE +∠CDE). ∵∠E+8∠M=360°,即∠BED +8∠BMD=360°,∴ 360° - ( ∠ABE + ∠CDE) +8∠BMD=360°,∴8∠BMD=∠ABE+∠CDE. ∵ ∠BMD =∠PMD + ∠PMB =x+y,∴ 8 ∠BMD = 8x + 8y = ∠ABE+∠CDE. ∴∠EBF=4y. ∵ BF 为∠ABE 的平分线,DF 为∠CDE 的平分线,∴ ∠EBF = ∠ABF = 4y, ∠CDF=∠EDF,∴∠ABE=8y. ∵∠ABE+∠CDE=8x+8y,∴∠CDE=8x, 学科网（北京）股份有限公司 $$