2025年 鲁教版（五四制）数学一轮复习 第四章 三角形 专项训练 相似三角形相关常考模型

第四章 三角形 专项训练 相似三角形相关常考模型 模型一 8字型 【模型分析】 有一组隐含的等角(对顶角)，此时需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等.另外，若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. 【针对训练】 1.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC 和 BD 交于点 O,若 则 2.如图,菱形ABCD 的边长为6,∠BAD=120°,过点 D 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于点 E,连接AE 分别交 BD,CD 于点F,G,则FG的长为 . 模型二 A字型 【模型分析】 有一个公共角(图①和图②)或角有公共角(图③中∠DAF +∠BAD =∠DAF +∠EAF),此时需要找另一对角相等.另外，若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D=∠C或∠D=∠B. 【针对训练】 3.如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是( ) A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC C.BC=2DE 4.如图,在△ABC中,AB =6,BC=8,点P为AB上一点,过点P作PQ∥BC交AC于点Q.设AP 的长度为x,点P,Q的距离为y1,△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2. (1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出 时x的取值范围.(近似值保留一位小数，误差不超过0.2) 模型三 母子型 【模型分析】 有一个公共角，且公共角的一边为公共边；需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等，此时 AB(AC 为公共边,AD，AB为有部分重合的边). 【针对训练】 5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,AD 是△ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点,连接 BE. 若 BE = BC,CD =2,则 BD = 模型四 手拉手型 【模型分析】 模型展示 模型特点 △AOB∽△COD,且绕公共顶点O旋转,简记为:非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似 结 论 ①△AOC∽△BOD;②; ③两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补 【针对训练】 6.如图,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=8,AC=6,F是DE 的中点.若点 E 是直线BC 上的动点，连接BF，则BF的最小值是 . 第6题图 第7题图 7.如图，在直角坐标系中，点A,B的坐标为A(0,2),B(-1,0),将△ABO绕点 O 按顺时针旋转得到△A₁B₁O,若AB⊥OB₁,则点A₁ 的坐标为( ) 模型五 一线三等角 【模型分析】 通过三角形内外角关系、内角和、直角三角形的两锐角互余等性质找一组对应角相等. 模型展示 点P在线段AB上(同侧型) 锐角 一线三等角 一线三垂直 钝角 一线三等角 点 P 在线段 AB 的延长线上(异侧型) 锐角 一线三等角 一线三垂直 钝角 一线三等角 结论 若∠1=∠2=∠3,则△ACP∽△BPD 【针对训练】 8.如图,在等边△ABC中,P 为BC上一点,D 为AC上一点,且∠APD =60°,BP=2,CD=1,则△ABC的边长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.在矩形ABCD 中,点 E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A 的对应点 P落在边 CD 上，点B 的对应点为点 G,PG交BC于点 H. (1)如图1,求证: (2)如图2,当P 为 CD 的中点, 时，求GH的长； (3)如图3,连接BG,当P,H分别为CD,BC的中点时，探究 BG 与 AB 的数量关系，并说明理由. 参考答案 1. 解析:∵ 菱形 ABCD 的边长为6,∠BAD =120°,∴ AD = BC =CD=6,AD∥BC,∠BCD =120°,∴∠DCE=60°. ∵DE⊥BC,∴ ∠DEC=90°.在 Rt△DCE 中, ∵ ∠CDE = +CE =9. ∵ AD∥BE,∴∠ADE =180°-∠DEC =90°. 在 Rt△ADE 中, 3. ∵AD∥BE,∴△AFD∽F ∥ 3. D 4.解: (2)函数y₁，y₂的图象如图所示. 当0＜x≤6时,y₁随x的增大而增大；y₂随x的增大而减小. (3)由函数图象，得当 时x的取值范围为2.1＜x≤6. 解析:连接CE,过点 E 作 EF⊥BC于点 F,如图. 设BD =x,则BC=BD+CD =x+2. ∵ ∠ACB =90°,E 为 AD 中点,∴CE=AE =DE= AD,∴∠CAE =∠ACE,∠ECD=∠EDC,∴ ∠CED =2∠CAD. ∵BE = BC,∴ ∠ECD = ∠BEC,∴∠BEC = ∠EDC. ∵AD平分∠CAB,∴ ∠CAB =2∠CAD,∴ ∠CAB = ∠CED,∴ ∠CAB =∠CBE. ∵ ∠ACB = 90°= ∠BFE,∴△ABC∽△BEF,∴ACF=BCF. E为AD中点,∴AC= 解得 或 (不合题意,舍去), ∴BD 6.4 解析:如图,连接 BD. 设 AB Dr与 DE 交于点O. ∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠ADE = ∠ABE. 又∵∠AOD = ∠EOB, ∴ △ADO ∽ 又∵ ∠DOB = ∠AOE,∴ △BDO ∽△EAO,∴ ∠DBO = ∠AEO. 又∵∠DBE=∠DBO +∠ABE = ∠AED+∠ADO=90°,∴BF= DE, ∴当DE最小时,BF最小. ∵当AE⊥BC时,AE最小,此时DE最小. ∵BC= E=8,∴ BF的最小值为4. 7. A 解析:如图,设AB 交 OB₁ 于点 T,过点 A₁ 作 A₁R⊥x轴于.R. ∵A(0,2),B(-1,0),∴OB=1,OA =2,∴ AB = ∠A₁OB₁ = 90°, ∴ ∠AOT =∠A₁OR. ∵ ∠ATO =∠A₁RO =90°, 8. B 9.解:(1)如图, ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠1+∠3=90°. ∵点E,F 分别在AD,BC 上,将四边形 ABFE 沿 EF 翻折,使点 A 的对称点 P 落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠3=∠2,∴△DEP∽△CPH. (2)∵四边形ABCD 是矩形,∴CD=AB =2,AD=BC=3,∠A =∠D=∠C=90°. ∵P为CD中点, 设EP=AE=x,∴ED=AD-x=3-x. 在Rt△EDP中, 即 解得 即 理由如下： 如图,延长 AB,PG 交于点 M,连接AP. ∵点E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿 EF 翻折,使点 A的对称点 P 落在 CD上，∴AP⊥EF,BG⊥直线EF,∴ BG∥AP. ∵AE=EP,∴∠EAP =∠EPA,∴∠BAP=∠GPA,∴ △MAP是等腰三角形,∴MA=MP. ∵ P为 CD 中点,∴设 DP =CP=y,∴AB=PG=CD=2y. ∵H为 BC中点,∴ BH=CH. ∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,∴△MBH≌△PCH(ASA), 在 中， 在 中， ∥ 学科网（北京）股份有限公司 $$